A7 Physikalisches Pendel

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1 Tobias Krähling Homepage: < Version: 1.0 Stichworte: Literatur: Kräfte und Drehmomente am Pendel, Trägheitsmoment, Schwingungsdifferentialgleichung, Trägheitsradius, Schwerpunkt von Körpern, Reduzierte Pendellänge, Theoretischer Zusammenhang zwischen Erdbeschleunigung und Breitenkreis, Messgenauigkeit, Messfelder, Kathethometer [Beu96], [Dem06], [Kuc94], [Mey06], [Tip98], [Wal94] Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabenstellung Grundlagen Versuchsdurchführung Versuch Versuch Meßwerte Aufgabe Aufgabe Auswertung Aufgabe Graphische Lösung Rechnerische Lösung Aufgabe Betrachtung als mathematisches Pendel Betrachtung als Reversionspendel Ergebnis und Betrachtung verwendete Geräte Literatur

2 1. Aufgabenstellung 1. Bestimmung der Erdbeschleunigung g mit einem Lattenpendel. 2. Bestimmung der Erdbeschleunigung g mit einem Reversionspendel. 2. Grundlagen Ein frei aufgehängter Körper beginnt zu schwingen, sofern er aus der Ruhelage bewegt und freigegeben wird. Die Schwerkraft bewirkt eine Kraft in Richtung der Gleichgewichtslage und ist bestrebt, den Körper in diesen Punkt zurückzubewegen, die Massenträgheit verursacht, daß der Körper die Gleichgewichtslage in entgegensetzte Richtung verläßt. Ist ein ausgedehnter, starrer Körper nicht in seinem Massenmittelpunkt aufgehängt, wird die Anordnung physikalischen Pendel genannt. Wenn die Masse des Pendels wesentlich am Ende des Fadens hängt, der als masselos angenommen werden kann, und die Masse gegenüber der Länge des Fadens wirkt, als sei sie punktförmig, liegt ein sogenanntes mathematisches Pendel vor. Über die Differentialgleichung Jϕ + mgdϕ = 0 (1) läßt sich für ein physikalisches Pendel in harmonischer Näherung die Schwingungsdauer zu T = 2π ω = 2π J (2) mgd bestimmen (J = Trägheitsmoment, d = Abstand Aufhängepunkt Massenmittelpunkt). In einem n-körpersystem ist die Lage des Schwerpunktes r S gegeben durch i r S = r im i i m i Das Trägheitsmoment eines Körpers ist nach Definition J = r 2 dm (3) (4) und für ein n-körpersystem bei Drehungen um den Schwerpunkt J = n m i r 2 (5) i Erfolgt die Drehung um eine Achse, die nicht durch den Schwerpunkt läuft, so kann mit Hilfe des Steiner schen Satzes das Trägheitsmoment bestimmt werden zu J = J s + ma 2 (6) mit J s als Trägheitsmoment durch eine parallele, durch den Schwerpunkt verlaufende Achse und a als Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt. Das Drehmoment läßt sich dann bestimmen zu D = n F i r i i (7) 2

3 und mit Fr = mar = m v t r = m r ω t r = mr2 α ergibt sich D = n r 2 i m iα = a i n r 2 i m i = Jα (8) i Mathematische Methoden zur Bestimmung der Genauigkeit einer Messung sind unter anderem die Bildung der Varianz als Quadrat der Standardabweichung (durchschnittliche zufällige Abweichung vom Mittelwert) oder die Gauß sche Fehlerfortpflanzung in Verwendung. Die Bildung der Varianz ist dabei bei Meßreihen sinnvoll, wenn der einzelne Wert mehrfach gemessen wird. Wird die gesuchte Größte nicht direkt gemessen, sondern aus einer Funktion mit gemessenen Werten berechnet, so pflanzen sich die Fehler fort und es kann das Fehlerfortpflanzungsgesetz verwendet werden. Vor allem wenn die einzelnen Meßgrößen nicht durch Meßreihen bestimmt werden, ist die hierfür benötigte Berechnung des Vertrauensbereichs unmöglich oder wenig sinnvoll. Hier kann dann der Maximalfehler des Funktionswertes bestimmt werden. Ebenfalls kann bei linearen Zusammenhängen der Korrelationswert der linearen Regression als Maß für die Genauigkeit verwendet werden. Wird eine lineare Regression graphisch durchgeführt, so ist der Fehler durch die Differenz der Werte für Steigung und Achsenabschnitt von den Geraden mit größter und kleinster Steigung gegeben, die den linearen Zusammenhang zwischen den Meßwerte am besten wiederspiegeln. Die Erdbeschleunigung für Bochum läßt sich über die WELMEC-Formel mit ϕ = 51, 43 o und h = 120 m (Mittel aus höchstem und niedrigsten Punkt von Bochum) bestimmen zu g = 9, (1 + 0, sin 2 ϕ 0, sin 2 2ϕ) 0, h = 9, 8116 ms 2 3. Versuchsdurchführung 3.1 Versuch 1 1. für jede s-einstellung (s = [20 cm, 22 cm,..., 40 cm]) der Pendelaufhängung wird die Schwingungsdauer für 10 vollständige Schwingungen gemessen; 2. T Ai (s i )-Diagramm während der Messung erstellen um den Zusammenhang J 0 T A = 2π g (m 0 + 2m 2 ) s + s g zu überprüfen 3. Berechnung von s 2 und ( ( ( ) s i i TA) 2 und Erstellung eines si TA) 2 s 2 i -Diagramms 4. Steigung der Ausgleichsgerade (graphisch) bestimmen 5. Aus der Steigung A nach g = 4π2 A die Erdbeschleunigung bestimmen 6. Fehlerangabe durch Zeichengenauigkeit 7. Ausgleichsgerade durch lineare Regression bestimmen und Erdbeschleunigung berechnen (mit Fehlerabschätzung) 8. Vergleich der drei ermittelten Erdbeschleunigungen (9) 3

4 3.2 Versuch 2 1. Masse m 2 von Drehachse A aus auf die einzelnen Marken verschieben und jeweils die Schwingzeit von 10 vollständigen Schwingungen für Drehungen um Achse A und B bestimmen; 2. ( s i, T Ai ) - und ( si, T Bi ) -Werte in ein (s, T)-Diagramm eintragen 3. Masse m 2 so zwischen A und B positionieren, daß = (10T A 10T B ) kleiner als 0, 01 s ist (Schnittpunkt im (s, T)-Diagramm, der dichter an der Drehachse B liegt. 4. jeweils die Schwingungszeit für 100 vollständige Schwingungen um Drehachse A und B bestimmen 5. Pendelgrößen zur Bestimmung des g-wertes nach Gleichung g = 4π 2 (b a) L [m 0 + 2m 4 ] 2mz 1 L m ( s a T 2 A s ) (10) bt 2 B mit Kathetometer vermessen. 6. Schwerebeschleunigung durch Betrachtung des Pendels als mathematisches Pendel (Pendellänge L, Schwingungsdauer T) nach bestimmen g = 4π 2 L T 2 (11) 7. Schwerebeschleunigung nach Gl. 10 unter Berücksichtigung des Auftriebs ( g korr = g ϕ2 0 + ϱ ) L mit ϱ L ϱ ϱ = 1, (12) (ϕ 0 mittlere Amplitude der Schwingung (in Bogenmaß)) 8. Fehlerabschätzung und Vergleich der 3 ermittelten Erdbeschleunigungen. 4. Meßwerte 4.1 Aufgabe 1 i n t/ s T/ s st 2 / ms 2 s 2 / m 2 s/ m ,77 1,577 0, ,0400 0, ,54 1,554 0, ,0484 0, ,39 1,539 0, ,0576 0, ,29 1,529 0, ,0676 0, ,22 1,522 0, ,0784 0, ,26 1,526 0, ,0900 0, ,29 1,529 0, ,1024 0, ,36 1,536 0, ,1156 0, ,44 1,544 0, ,1296 0, ,52 1,552 0, ,1444 0, ,62 1,562 0, ,1600 0,40 i... laufende Nummer n... Anzahl der Schwingungen t... Schwingungsdauer für n- Schwingungen (gemessen) s... Abstand Pendelaufhängung Mittelpunkt (gemessen) T... Schwingungsdauer für eine Schwingung st 2... Berechneter Wert für Diagramm s 2... Berechneter Wert für Diagramm Tabelle 1: Meßwerte Aufgabe 1 4

5 4.2 Aufgabe 2 L = 782, 22 mm m 0 = 659, 1 g d = 85, 28 mm m 1 = 961, 4 g a = 202, 3 mm m 2 = 962, 0 g b = 203, 2 mm m 3 = 84, 4 g c = 105, 2 mm m 4 = 2, 25 g Aufhängepunkt A: m 2 oben: m 2 unten: Aufhängepunkt B: 8, 10 mm 675, 14 mm 734, 94 mm 790, 32 mm Tabelle 2: Meßwerte Kathetometer Die mit gekennzeichneten Werte waren am Arbeitsplatz angegeben, die anderen wurden aus den Meßwerten mit dem Kathetometer bestimmt. i s B n t A / s t B / s T A / s T B / s ,90 1, ,52 17,59 1,752 1, ,17 17,39 1,717 1, ,85 17,23 1,685 1, ,53 17,10 1,653 1, ,27 17,05 1,627 1, ,05 17,04 1,605 1, ,88 17,06 1,588 1, ,82 17,11 1,582 1, ,86 17,20 1,586 1, ,03 17,31 1,603 1, ,40 17,45 1,640 1, ,00 17,60 1,700 1, ,99 17,79 1,799 1,779 i... laufende Nummer s B... Markierung von Aufhängepunkt B aus n... Anzahl der Schwingungen t A... Schwingzeit für n Schwingungen um A t B... Schwingzeit für n Schwingungen um B T A... Schwingzeit für eine Schwingung um A T B... Schwingzeit für eine Schwingung um B Tabelle 3: Meßwerte Teil a i 1 t B = 177, 17 s n = 100 ˆx = 3, 0 cm 2 t B = 177, 15 s n = 100 ˆx = 2, 8 cm 3 t A = 177, 12 s n = 100 ˆx = 2, 2 cm 4 t A = 177, 15 s n = 100 ˆx = 2, 0 cm i... laufende Nummer n... Anzahl der Schwingungen t A, t B... Schwingzeit für n Schwingungen ˆx... Mittlere Amplite (am unteren Ende von a bzw. b gemessen) Tabelle 4: Meßwerte Teil b 5. Auswertung 5.1 Aufgabe Graphische Lösung Für die graphische Lösung wurden zwei Regressionsgeraden in das st 2 (s 2 )-Diagramm (Abb. 2, S.7) gezeichnet, die sowohl eine gute Annäherung haben, dabei aber eine stärkste bzw. schwächste Steigung. Hieraus wurden folgende Werte entnommen: 5

6 Abbildung 1: T(s)-Diagramm RG s 2 1 / m2 s 2 2 / m2 ( st 2 ) 1 / ms2 ( st 2 ) 2 / ms2 1 0,043 0,140 0,508 0, ,042 0,142 0,500 0,904 Die Gravitationsbeschleunigung kann über g = 4πA 1 mit A = (st2 ) 2 (st 2 ) 1 bestimmt werden s 2 2 s2 1 zu g 1 = 9, 972 ms 2 g 2 = 9, 772 ms 2 ḡ = 1 ( ) g1 + g 2 = 9, 872 ms 2 2 Fehlerrechnung aus dem Diagrammmaßstab: Ablesemöglichkeit: 0, 5 mm 1 mm ˆ= S s 2 = 0, 001 m 2 1 mm ˆ= S st 2 = 0, 004 ms 2 s 2 = 0, 0005 m 2 st 2 = 0, 002 ms 2 6

7 Abbildung 2: st 2 (s 2 )-Diagramm Bestimmung der min/max-werte: g = 4π 2 s 2 2 s2 1 st 2 2 st2 1 2 [(0, , 0005) (0, 043 0, 0005)] m2 g 1,max = 4π = 10, 181 ms 2 [(0, 892 0, 002) (0, , 002)] ms2 2 [(0, 140 0, 0005) (0, , 0005)] m2 g 1,min = 4π = 9, 768 ms 2 [(0, , 002) (0, 508 0, 002)] ms2 2 [(0, , 0005) (0, 042 0, 0005)] m2 g 2,max = 4π = 9, 968 ms 2 [(0, 904 0, 002) (0, , 002)] ms2 2 [(0, 142 0, 0005) (0, , 0005)] m2 g 2,min = 4π = 9, 579 ms 2 [(0, , 002) (0, 500 0, 002)] ms2 7

8 g 1 = ± max { g1 g 1,max ; g1 g 1,min } = ±0, 209 ms 2 g 2 = ± max { g2 g 2,max ; g2 g 2,min } = ±0, 196 ms 2 g = ± 1 ( ) g1 + g 2 = ±0, 203 ms 2 2 g g = ±2, 1% Rechnerische Lösung Für die lineare Regression für die Gleichung der Form y = a + bx können die Werte a = 0, ms 2 b = 4, s 2 m 1 und für den Korrelationskoeffizienten R = 99, 996% ermittelt werden. Für die Erdbeschleunigung ergibt sich somit g = 4π 2 b 1 = 9, ms 2 Fehlerrechnung Die Varianz in y findet man mit Hilfe der Abweichung s 2 y = n 1 ( y ) 2 n 2 = n 1 ( y a bx ) 2 n 2 Die n 2 im Nenner kommt durch die Tatsache, daß zwei Meßwertpaare für die Bestimmung von a und b nötig sind. Somit ergeben sich die Varianzen für a und b zu x s 2 a = s 2 2 y n x 2 ( x) 2 (14) (13) und s 2 b = n s2 y n x 2 ( x) 2 (15) s 2 a = ±1, ms 2 s 2 b = ±1, s 2 m 1 g g = ± = 3, ms 2 b s2 b 5.2 Aufgabe Betrachtung als mathematisches Pendel Über die Meßwerte aus Teil a und der anschließenden graphischen Auftragung (Abb. 3, S. 9) konnte über den Schnittpunkt der beiden Kurven die Massenposition näherungsweise bestimmt werden. Die genaue Position wurde wie in der Versuchsbeschreibung (Punkt 3) 8

9 Abbildung 3: T(s B )-Diagramm bestimmt. Nach Gl. 11 kann die Erdbeschleunigung unter der Betrachtung als mathematischen Pendel bestimmt werden zu: g 1 = 9, ms 2 g 2 = 9, ms 2 ḡ = 1 4 g 3 = 9, ms 2 g 4 = 9, ms 2 4 g i = 9, ms 2 i=1 Fehlerrechnung Da die Meßwerte nicht über genügend große Meßreihen bestimmt wurden, so daß die standardabweichung angegeben werden kann, wird der Maximalfehler nach der Gauß schen 9

10 Fehlerfortpflanzung bestimmt zu ( g g = ± T T ) + g L ( = ± 8π 2 L T 3 T + 4π 2 ) T L Für T kann maximal zweimal die Anzeigengenauigkeit (0, 01 s) durch die Anzahl der Schwingungen angenommen werden, da das Meßgerät zu zwei Zeitpunkten schalten muß, d. h. T = s. Die Bestimmung von L basiert auf zwei Längenabmessungen mit einer Ablesegenauigkeit von 0, 01 mm. Beide Fehler addieren sich also zu L = m. Für max{ g i } erhalt man g = ±0, 003 ms Betrachtung als Reversionspendel Berechnung der noch benötigten Werte m = m 0 + m 1 + m (m 3 + m 4 ) = 2, 7558 kg [ ( z s = 1 L m m1 2 + c) ( m L 2 2 d) + m 3 (b a) ] = 6, m [ ( L m1 2 + c) ( m L 2 2 d)] = 6, m z 1 = 1 m s a = L 2 z s = 0, m s b = L 2 z s = 0, m Bestimmung der Fehler der noch benötigten Werte Der Fehler der Massen wird aus der Angabegenauigkeit bestimmt: m 0 3 = ±0, 1 g = ±10 4 kg m 4 = ±0, 01 g = ±10 5 kg Ebenso bei den gegebenen Längen: a = b = c = ±0, 1 mm = ±10 4 m Für L folg der Fehler wie oben erläutet zu L = ± m und für d zu d = ± m (da 4 Längen benötigt werden). Somit erhält man als Maximalfehler der Funktionswerte nach Gauß: m = ± [ 5 m m 4 ] = ±5, kg z s = ±9, m z 1 = ±9, m s a = ±5, m s b = ±7, m Für z s, z 1, s a und s b wurden alle Variablen partial abgeleitet, also [ F F = ± x x ] + F y y Danach kann mit folgenden Werten weitergerechnet werden m = [2, 7558 ± 0, 0006] kg z s = [6, 64 ± 0, 01] 10 2 m z 1 = [6, 639 ± 0, 009] 10 2 m s a = [0, ± 0, 00006] m s b = [0, ± 0, ] m 10

11 Bestimmung der Erdbeschleunigung Die Erdbeschleunigung kann dann über Gl. 10 bestimmt werden zu: g = 9, 8131 ms 2 Fehlerrechnung Maximalfehler nach Gauß (alle Variablen partial ableiten) mit T = ± s: g = ±0, 035 ms 2 g = (9, 81 ± 0, 04) ms 2 Berücksichtigung des Auftriebs Für den Winkel ϕ = ˆx L+b konnten Werte zwischen 0, 0304 rad und 0, 0203 rad ermittelt werden. Somit ergeben sich Werte für g korr nach Gl. 12 zu g k1 = 9, 8126 ms 2 und g k4 = 9, 8120 ms 2 Da der Fehler ohne Auftriebsberücksichtigung bereits ±0, 04 ms 2 beträgt, führt die Berücksichtigung des Auftriebs zu keiner Veränderung. 6. Ergebnis und Betrachtung Lattenpendel: Für die Erdbeschleunigung erhielt man graphisch einen Wert von [9, 9 ± 0, 2] ms 2 (9, 9(1+2%) ms 2 ) und rechnerisch von [9, ± 0, 00004] ms 2, wobei der sehr geringe Fehler verwundert (±0, 0004%) und angenommen werden muß, daß die Fehlerbetrachtung der linearen Regression in dieser Form nicht alle Fehler berücksichtigt. Zudem war bei dem Lattenpendel zu beobachten, daß Querschwingungen auftraten, die das Meßergebnis ggf. mit beeinflussen. Zudem gab es im Labor Schwingungen (Lüftung... ), die die Meßwerte ebenfalls beeinflussen können. Die Werte liegen etwas höher als der theoretisch bestimmte mit 9, 8116 ms 2. Reversionspendel: Die Betrachtung als mathematischen Pendel ergab g = (9, 841 ± 0, 003) ms 2 (9, 841 (1 ± 0, 03%) ms 2 ) bzw. 9, 81 (1 ± 0, 4%) ms 2. Die Berücksichtigung des Auftriebs ergab keine Änderung, da die Änderung der Erdbeschleunigung durch den Auftrieb kleiner al der Fehler war. Der große Fehler beim Reversionspendel läßt sich durch die Vielzahl an Variablen erklären, die bei der Fehlerrechnung berücksichtigt wurden. Der theoretische Wert wurde mit beiden Methoden jedoch besser erreicht als mit dem Lattenpendel. 7. verwendete Geräte Lattenpendel mit Aufhängung Reversionspendel mit Aufhängung elektronische Uhr mit Lichtschrnake und Schwingungszähler, t = 0, 01 s Maßstab 0 50 cm, x = 0, 5 mm Kathetometer, x = 0, 01 mm 11

12 Literatur [Beu96] [Dem06] BEUCK, Otto: Ein Eine Anleitung zum praktischen und theoretischen Umgang mit grundlegenden physikalischen Phänomenen. Mai 1996 DEMTRÖDER, Wolfgang: Experimentalphysik 1. Bd. 1: Mechanik und Wärme. 4. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York, ISBN x [Kuc94] KUCHLING, Horst: Taschenbuch der Physik. 14. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig-Köln, ISBN [Mey06] MEYER, Dirk: Physikalisches Praktikum für Studierende der Physik Versuchsanleitungen. 4. Auflage [Tip98] TIPLER, Paul A. ; GERLICH, Dieter (Hrsg.) ; JERKE, Götz (Hrsg.): Physik. 2. korrigierter Nachdruck der 1. deutschen Auflage von Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg - Berlin, ISBN [Wal94] WALCHER, Wilhelm: Praktikum der Physik. 7. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1994 Liste der Versionen Version Datum Bearbeiter Bemerkung Krä Versuchsvorbereitung Krä Versuchsdurchführung Krä Versuchsauswertung 12