Fehlerrechnung. Einführung. Jede Messung ist fehlerbehaftet! Ursachen:

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1 Fehlerrechnung Einführung Jede Messung ist fehlerbehaftet! Ursachen: Ablesefehler (Parallaxe, Reaktionszeit) begrenzte Genauigkeit der Messgeräte falsche Kalibrierung/Eichung der Messgeräte Digitalisierungs-Fehler (typ. ± 1 Digit ) Einfluss von Fremdgrößen (z.b. Temperatur) Übertragungsfehler (elektronisch oder bei Messaufschrieb) Einteilung in V\VWHPDWLVFKH)HKOHU und ]XIlOOLJH)HKOHU?@ 1

2 Systematische Fehler führen zu einer einseitigen Abweichung der gemessenen Größe sind mit statistischen Methoden nicht erfassbar oder korrigierbar o müssen möglichst ausgeschlossen werden! Zufällige Fehler führen zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung können statistisch erfasst werden erlauben eine Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes A@ Statistische Methoden zur Fehlerrechnung Bei mehreren Messungen x 1...x N ist der wahrscheinlichste richtige Wert der DULWKPHWLVFKH0LWWHOZHUW! :DUXPLVWGDVVR""""" Die Abweichung ist minimal, wenn die Fehlerfunktion ihr Minimum hat. Dies ist der Fall, wenn B) 2

3 Statistische Methoden zur Fehlerrechnung Es ist also zu berechnen: Die Ableitung ergibt: Statistische Methoden zur Fehlerrechnung Ist die Anzahl N der Messwerte ( Stichprobe ) groß, kann der mittlere Fehler eines gemessenen Einzelwertes berechnet werden als Der mittlere Fehler des Mittelwerts beträgt dann $QPHUNXQJ%HLNOHLQHQ6WLFKSUREHQ1LVWHVVLQQYROOPLWGHP PLWWOHUHQ)HKOHUGHV(LQ]HOZHUWV]XUHFKQHQ D@ 3

4 Statistische Methoden zur Fehlerrechnung Beispiel: Zeitmessung an einer Fahrbahn: L WLV 2,82 2,80 2,67 2,88 2,74 2,56 2,87 2,66 2,78 2,66 Mittelwert: Standardabweichung *HVDPWDQJDEH E@ rel. Fehler Oft interessiert nicht der absolute Fehler, sondern das Verhältnis zwischen dem Fehler (Standardabweichung) und dem eigentlichen Wert (Mittelwert). Dieser Quotient heisst relativer Fehler. Bezogen auf unser Beispiel ist also der relative Fehler der Zeitmessung: oder mit konkreten Größen: Die Gesamtangabe kann daher auch lauten: F@ 4

5 Fehlerfortpflanzung Wird eine Größe nicht direkt gemessen, sondern aus anderen gemessenen Größen berechnet, tragen die Fehler aller Einzelmessungen zum Gesamtfehler bei. In diesen Fällen berechnet man den Fehler der Zielgröße V = V(ξ 1... ξ K ) nach Gauß als: Das Symbol bezeichnet eine SDUWLHOOH$EOHLWXQJ. Hierbei betrachtet man die Funktion V so, als sei sie nur von einer Eingangsgröße abhängig. (Nicht w mit Delta G verwechseln!!! ) G@ Beispiel zur Fehlerfortpflanzung Wir nehmen an, dass mit den gemessenen Zeiten und einer bekannten Messstrecke die Beschleunigung eines Wagens berechnet werden soll. Hierfür gilt die Gleichung Der Fehler wird also berechnet als: IH@ 5

6 Beispiel zur Fehlerfortpflanzung Berechnung der partiellen Ableitungen: und Der Fehler der gemessenen Beschleunigung ist also: Für den Fehler der Zeitmessung kann die Standardabweichung aus den 10 Zeitmessungen eingesetzt werden. Die Strecke wurde nur einmal gemessen, daher ist Hs sinnvoll abzuschätzen (z.b. Ablesegenauigkeit des Lineals) Beispiel zur Fehlerfortpflanzung Die Beschleunigung beträgt also Für den Fehler erhält man: Der Fehler wird fast ausschließlich von der Zeitmessung verursacht! 6

7 Beispiel zur Fehlerfortpflanzung Korrekte Angabe der Beschleunigung oder Vereinfachungen Setzt sich eine Größe V als Potenzprodukt der Eingangsgrößen zusammen, dann kann der relative Fehler der Endgröße vereinfacht berechnet werden: Der Fehler ist die Summe der mit dem Exponenten gewichteten relativen Einzelfehler: Für das hier vorgestellte Beispiel ist dann und folglich,b) 7

8 Vereinfachungen 8