Grundlagen der Statistik und Fehlerrechnung

Transkript

1 Physikalisches Grundpraktikum Teil 1 WS 2010/2011 Grundlagen der Statistik und Fehlerrechnung Stefan Diehl HS I CHEG18

2 Inhalt Grundbegriffe der Statistik Wahrscheinlichkeitsverteilungen Fehlerfortpflanzung Graphische Darstellung und Analyse von Messwerten Fehlerrechnung bei graphischen Darstellungen

3 Warum beschäftigen wir uns mit Statistik? Alle Messgrößen sind mit Fehlern behaftet! Fehler ermöglicht Aussage über Qualität des gemessenen Wertes! Bild: Verhindert Über- oder Unterschätzung des Ergebnises Grundlage für kritisches hinterfragen des Messwertes

4 2 Arten von Fehlern Systematischer Fehler: Ursache: falsch geeichte Messgeräte, unreine Substanzen, mangelnde Wärmeisolation, Näherungsformeln außerhalb des Gültigkeitsbereichs 10 8 Beispiele: Wert x Beeinflusst Ergebnis stets in die gleiche Richtung - prinzipiell vermeidbar Immer experimentspezifisch - muss im Einzelfall abgeschätzt werden

5 Statistischer Fehler: 2 Arten von Fehlern Tritt zusätzlich zum systematischen Fehler auf! Ursache: Einstell- und Ablesefehler, Äußere Einflüsse (Temperatur-, Netzspannungsschwankungen), Statistische Natur von Prozessen (z.b. radioaktiver Zerfall)

6 2 Arten von Fehlern Beeinflusst Ergebnis in beide Richtungen unvermeidbar, kann jedoch durch wiederholte Messung reduziert werden Mittelwert? Schwankung?

7 Grundbegriffe der Statistik

8 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Definition: : Versuch Experiment mit exakt festgelegten Vorschriften und Bedingungen (Ergebnis ist reproduzierbar) Relative Häufigkeit: Absolute Häufigkeit von Ereignis r Anzahl der Durchführungen Wahrscheinlichkeit:

9 Rechenregeln Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 1 oder eine 5 zu würfeln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim zweimaligem werfen eines Würfels erst eine 1 und dann eine 5 zu würfeln? P (1 oder 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 33,3 % P ( 1 und 5) = 1/6 * 1/6 = 1/36 2,8 %

10 Mittelwert und Erwartungswert Arithmetischer Mittelwert: Erwartungswert:

11 Varianz und Standardabweichung Varianz: Maß für die Streuung der Einzelwerte um den Erwartungswert Standardabweichung:

12 Statistische Messfehler Ab jetzt: endliche Messreihe Ziel: Aus endlich vielen Messwerten soll auf den wahren Wert der Messgröße geschlossen werden Mittelwert aus N Messwerten: Mehrmalige Wiederholung der gesamten Messreihe liefert mehr oder weniger stark schwankende Mittelwerte Betrachte Mittelwert selbst als Messwert mit gleichem Erwartungswert wie die Einzelmesswerte:

13 Die mittlere quadratische Abweichung Verwende Mittelwert als Näherungswert für den gesuchten Erwartungswert: Mittlere quadratische Abweichung:

14 Zusammenhang zu Varianz und Standardabweichung Wie hängt die mittlere quadratische Abweichung mit der Varianz zusammen? Umstellen und einsetzen von s² liefert: Varianz ist Grenzwert für unendlich viele Messungen! Standardabweichung:

15 Standardabweichung des Mittelwertes Bisher: Eine Messreihe mit endlich vielen (N) Messwerten Jetzt: Messwerte sind Mittelwerte mehrerer Messreihen mit Umfang N Fragestellung: Wie groß ist die Schwankung des Mittelwertes zwischen den verschiedenen Messreihen?

16 Wichtige Formeln: Mittelwert: (Bestwert für ein Ergebnis) Standardabweichung der Einzelmessung: (Streuung der Einzelwerte) Standardabweichung des Mittelwertes: (Streuung der Mittelwerte bei identischen Messreihen mit Umfang N)

17 Verständnisfragen: 1. Was ist größer, der mittlere Fehler der Einzelmessung oder der mittlere Fehler des Mittelwertes? 2. Was passiert mit dem Fehler des Mittelwertes bei unendlich vielen Messwerten? 0 3. Bei welchen Messwerten ist die Standardabweichung größer? a) 5 ; 6 ; 7 b) 4 ; 6 ; 8 a) + b) Mittelwert = 6 ; Standartabweichung = a) 1 b) 2 4. Was ist der Unterschied zwischen Varianz und mittlerer quadratischer Abweichung? 5. Wie nennt man den Mittelwert einer Messreihe mit unendlich vielen Werten? Erwartungswert

18 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

19 Die Binomialverteilung Beispiel: System aus n Würfeln Wahrscheinlichkeit p, dass bei einem der Würfel eine bestimmte Zahl gewürfelt wird ist 1/6 Gegenwahrscheinlichkeit: q = 1 p = 5/6 p + q = 1 Betrachte nun: Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl bei x von n Würfeln auftritt und bei den übrigen nicht.

20 Die Binomialverteilung Möglichkeiten, x Würfel aus den n Würfeln auszuwählen (Anordnung der Würfel): Zusammen: Beispiel: Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen von 5 Würfeln genau 2 mal die 3 fällt. Gegeben: n=5, x=2, p=1/6, q =1 p=5/ P5,1 6 = = 0, %

21 Die Binomialverteilung Erwartungswert und Standartabweichung p = q = 0.5 p = ¼, n =12 p = 0.65, n =10

22 Aufgaben: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter Zwillingen beide Kinder männlich sind wird auf 32 % geschätzt. Wie wahrscheinlich ist es, dass bei 6 Zwillingspaaren die Hälfte der Kinder männlich ist? Gegeben: p = 0.32, n = 6, x = 3 2. Ein Expertenteam, das regelmäßig mit Prognosen zu wirtschaftlichen Entwicklungen beauftragt wird, hat eine Trefferquote von 65%. In nächster Zeit sind 10 neue Gutachten zu erstellen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Experten dabei eine Trefferquote von mindestens 80 % erzielen? Gegeben: p = 0.65, n=10 Summenregel liefert:

23 Näherungsformeln - Poissonverteilung - Problem: Berechnung von Fakultäten bei großen Zahlen schwierig Taschenrechner maximal bis 69! Lösung: Näherungsformeln 1. Poissonverteilung: (n groß, np klein ~1) mit Erwartungswert / Standardabweichung: p << 1 q = 1- p ~ 1

24 Näherungsformeln - Gaußverteilung 2. Normal- (Gauss-) ) Verteilung: (n groß und np groß p ~ 0,5) 1 1 e Konfidenzintervalle: 68,3 % Symmetrisch zu <x> σ ~ Breite der Verteilung 2 95,5 %

25 Näherungsformeln - Gaußverteilung Einfluss der Standardabweichung auf die Breite: < x > Praxis (z.b. Fitten): Unnormierte Gaußverteilung G ( x < x> ) H 2 2 σ ( x) = e 2π σ 2

26 Wichtige Formeln: Binomialverteilung: Poissonverteilung: (n groß, np klein ~1) Gaußverteilung: (n groß und np groß p ~ 0,5)

27 Aufgaben: 1. Von 100 Personen ist durchschnittlich eine Person farbenblind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 100 zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei farbenblinde Personen? Gegeben: p = 1/100 ; n = 100 n*p = 1 Poisson P( x 2) = 1 P( x = 0) P( x = 1) 0 1 = 1 e 0! 1 1 e 1! 1 1 = 1 e 1 e = 0, ,4% 2. Ein Würfel trägt 3 Einser, 2 Zweier und eine Vier. Er wird 1000 mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau 450 Einser? Gegeben: p= 3/6 = ½ ; n = 1000 ; x = 450 n*p = 500 Gauss < x >= n p = 500 σ = n p q = ,5 0,5 = 250 = 5 10 G( x) = 1 2π 5 10 e 2 ( ) 2 2 (5 10 ) 1, ,017%

28 Fehlerfortpflanzung

29 Fehlerfortpflanzung Experiment: Bestimme kinetische Energie Sowohl die Masse m als auch die Geschwindigkeit v haben einen Fehler Allgemeiner Fall: Fehler liegen als Standardabweichung der Messgröße vor Ergebnis ist Funktion mehrerer gemessener Größen: Gesamtfehler: Gaußsche Fehlerfortpflanzung

30 Beispiel: Kinetische Energie f f df := partielle Ableitung x x dx Alle übrigen Variablen werden konstant gehalten (unabhängig davon, ob diese implizit von x abhängen) Konkret gilt: Part. Ableitungen: x = m E Kin x = E y = v Kin m = 1 v 2 2 E Kin y = E Kin v = m v Zusammen: σ ( E Kin ) = v m + v 2 ( m v ) 2

31 Statistisch verteilte Messwerte Annahme: Einzelmessungen Gaußförmig um Erwartungswert verteilt Es gilt: σ = n p q sowie < x >= n p σ = < x > q mit q = 1 p 0,5 ; < x >= N >> q σ N Beispiel: Kreisflächenberechnung mit Montecarlomethoden Werfe Dartpfeile auf Wand und zähle, wie viele in einen Kreis treffen. N im N im Kreis Ges Kreis = N = 2 π r 2r 2r N im Kreis π = 4 π = = 4 π N N N im Ges Kreis Nim Kreis Ges 4 = N N im Kreis Ges

32 Größ ößtfehler (Maximalfehler) Fall: Messwert wurde nur einmal gemessen Standartabweichung nicht bekannt! Fehler muss nach oben abgeschätzt werden (Größtfehler) Zu Berücksichtigen: Ablesegenauigkeit der Skala + Experimentelle Gegebenheiten Im Praktikum: Abschätzung des Größtfehlers durch - Aufnahme einer Messreihe (3-5 Messwerte) - Bestimmung des Mittelwertes - Maximalfehler := größte Abweichung eines Messwertes vom Mittelwert

33 Größ ößtfehler (Maximalfehler) Für den Gesamtfehler gilt (Folgerung des Taylorschen Satzes): Bedingung: x << x y << y, Der Betrag ist hier wichtig, da sich die Fehler sonst evtl. auslöschen!!! Beispiel: E Kin x = E Kin m = 1 v 2 2 E Kin y = E Kin v = m v E Kin = 1 2 v 2 m + m v v

34 Der relative Fehler Der relative Fehler Liefert Ergebnis als Bruchteil von 1 Angabe in %: Beispiel: Beispiel: 100% ( ) = c b a c a b c b a z y x A y z x y b x z y x a A f f

35 Exkurs: Ablesen von Messwerten und Fehlerangabe +- 1 mm +- 0,1 mm V +- 2,5 V

36 Wichtige Formeln: Gaußsche Fehlerfortpflanzung: Maximalfehler: Wichtig: Angabe eines Messwertes ohne Fehler ist sinnlos!!! Angabe des Messwertes mit einer Genauigkeit, die besser ist als der Fehler, ist sinnlos!!!

37 Aufgaben: 1. Der Taschenrechner liefert die folgenden Werte für das Ergebnis und den Fehler. Wie wird das Ergebnis korrekt notiert? Wert: 3, m ; Fehler: 0, m Ergebnis = ( 3,45633 ± 0,00033)m 2. Im Internet steht, der Eiffelturm in Paris sei m hoch. Was ist von der Genauigkeit dieser Angabe zu halten? (Stichwort: Wärmeausdehnung) Wärmeausdehnungskoeffizient: 1,17 cm/k 3,52 m bei m Höhe 3. Ein Würfel habe Kantenlänge (18.2 ± 0.1) mm und Masse (51.9 ± 0.1) g. Berechnen Sie die Dichte des Materials inklusive absoluter Fehlerschranke. ρ = ρ = ρ = m V 1 L m = L 51,9 g (18,2 mm) 3 = = 8, m L 0,1g (18,2 mm) g mm 4 m + 3 L = + 3 0,1mm = 1, (8,61 ± 0,16) 10 3 g mm ,9 g 4 3 ( 18,2mm) g mm

38 Aufgaben Teil 2: 4. Eine Strecke von 1.80 km werde in 0.47 h zurückgelegt. Beide Größen weisen eine relative Fehlerschranke von 5 % auf. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit mit relativer und absoluter Fehlerschranke. s = 0,05 1,80 km = 0, 09km v s 1.80km = = = 3, km t 0,47h 83 t = 0,05 0,47h = 0, 024h v 1 s = s + t = 0, t t² 39 km h km v 0,39 v = 39 = = 0,11 11% v 3,38 ( 3,38 ± 0, ) h

39 Graphische Darstellung und Analyse von Messwerten

40 Die Ausgleichsgerade y 2 Funktion: 10 8 Y 6 Steigung: 4 2 x 1 y 1 x X Achsenabschnitte:

41 Logarithmische Darstellung mit Messpunkte Ausgleichsgerade 7,38906 Messpunkte Ausgleichsgerade , Y Y 1 0,36788 A = 2,34831 S = -0, y ln = y y = a y ln( ) ln( 0 ) 0 X x ln( y) = ln( y0 ) X a x

42 Logarithmische Darstellung Allgemein: f ln( f ( x)) ln( a) b x ( x) = a log ( f ( x)) = = bx a Vorteile: Bestimmung der Parameter aus einer Geraden Leichte Approximation kleinerer und größerer Messwerte Anwendung auch, um weit auseinander liegende Messpunkte darzustellen: y (linear) y (log 10 ) x x

43 Fehlerrechnung bei graphischen Darstellungen

44 Fehler der Geradensteigung Y = A + S * X A = 3,09545 S = 1,00818 y x y 2 Y x 1 y 1 x X

45 Fehler des Achsenabschnittes Y = A + S * X A = 3,09545 S = 1,00818 y x y 2 Y x 1 y 1 x X

46 Aufgabe: Die Steigung einer Ausgleichsgeraden wurde aus einem Steigungsdreieck zwischen den Punkten P 1 =( 0, 1 ) und P 2 =( 5, 26 ) zu S = 5 bestimmt. Der am weitesten von der Geraden entfernte Punkt hat einen Abstand von 0,4 in x-richtung und 0,5 in y-richtung. Bestimmen Sie den Fehler der Geradensteigung und der Achsenabschnitte. S A x A y = 2 x x x 2 1 y1 + y = 2 2 S = S S 2 2 0, = = 2 0,8 0,8 x1 + x = S = 0,8 = = 0, y y y Y Y = A + S * X A = 3,09545 S = 1,00818 x 1 y x y 2 y 1 x X S = 2 1 S 2 0,5 = 5 = 0,2 26 1

47 Zusammenfassung Mittelwert, Standardabweichung von Einzelwert und Mittelwert Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Binomialverteilung Näherungsformeln: Poissonverteilung, Gaußverteilung Fehlerfortpflanzung Gaußsche Fehlerfortpflanzung (Fehler als Standardabweichung) Maximalfehler Ergebnis muss immer mit Fehlergrenzen angegeben werden. Im Praktikum immer den Fehler Diskutieren, sowohl systematischer Fehler als auch statistischer Fehler! Graphische Darstellung von Messwerten Fehler wird aus der Grafik bestimmt!

48 Referenzen und weiterführende Links S. Lange, Anleitung zum physikalischen Grundpraktikum Teil 1, JLU Gießen (2009) W. Kühn, Dateien/v3_document.htm Bronstein, Taschenbuch der Mathematik, 7. Auflage, Kap. 16 Die Folien können k im StupIP heruntergeladen werden.