Physik für Biologen und Zahnmediziner

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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Übungen zur Klausur über das Propädeutikum Dr. Daniel Bick 08. November 2013 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

2 Information Taschenrechner Bei der Klausur sind auch graphische Taschenrechner ohne Einschränkung erlaubt. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

3 Fehlerrechnung: zwei Regeln Zwei Größen a = ā + ā und b = b + b Addition oder Subtraktion: c = a + b bzw. c = a b Werden a und b addiert oder subtrahiert, so addieren sich die absoluten Fehler zum absoluten Gesamtfehler: c = ā + b Multiplikation oder Division: c = a b bzw. c = a/b Werden a und b multipliziert oder dividiert, so addieren sich die relativen Fehler zum relativen Gesamtfehler: c c = ā ā + b b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

4 Übungsklausur C Aufgabe 13 Die Brennweite f einer Linse kann man durch Messen von Gegenstandsweite g und Bildweite b bestimmen: f = g b g + b Wenn g = (30 ± 3) mm, b = (20 ± 2) mm, wie groß ist dann der absolute Fehler von f? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

5 Lösung: Übungsklausur C Aufgabe 13 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

6 Lösung: Übungsklausur C Aufgabe 13 Fehlerfortpflanzung von Summen und Differenzen: Addition der absoluten Fehler. Fehlerfortpflanzung von Produkten und Quotienten: Addition der relativen Fehler. g = (30 ± 3) mm = 30 mm ± 10% b = (20 ± 2) mm = 20 mm ± 10% Relativer Fehler im Zähler (Produkt) g b: (g b) = 10% + 10% = 20% Absoluter Fehler im Nenner (Summe) g + b: (g + b) = g + b = 5 mm Relativer Fehler im Nenner: g + b = 50 mm (g + b) = 10% Relativer Gesamtfehler (Quotient): 20% + 10% = 30% Absoluter Gesamtfehler: f = g b 30 mm 20 mm 600 mm2 = ± 30% = ± 30% = 12 mm ± 30% g + b 30 mm + 20 mm 50 mm = (12,0 ± 3,6) mm Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

7 Klausur B Aufgabe 1 Ein Spannungsmesser hat die Güteklasse 2 (d.h. der Anzeige-Fehler ist 2% vom Vollausschlag). Wie groß ist der relative Fehler der Anzeige, wenn im 6 V-Messbereich 2,4 V abgelesen werden? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

8 Klausur B Aufgabe 5 Um den zufälligen Fehler zu halbieren, muss man die Anzahl der Messungen ungefähr A: verdoppeln B: vervierfachen C: verachtfachen D: konstant lassen, aber nur die Hälfte der Messungen berücksichtigen E: konstang lassen, aber nur die Extremwerte unberücksichtigt lassen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

9 Klausur B Aufgabe 5 Um den zufälligen Fehler zu halbieren, muss man die Anzahl der Messungen ungefähr A: verdoppeln B: vervierfachen C: verachtfachen D: konstant lassen, aber nur die Hälfte der Messungen berücksichtigen E: konstang lassen, aber nur die Extremwerte unberücksichtigt lassen Standardabweichung: (Bleibt bei vielen Messungen ungefähr konstant) Fehler des Mittelwerts Halbiert bei N = 4 σ = 1 N 1 x = N ( x x i ) 2 i=1 σ N Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

10 Beispielklausur B Aufgabe 10 Die kinetische Energie eines Körpers ist W kin = 1 2 m v2. Die Masse m sei auf 1,5%, die Geschwindigkeit v auf 3% genau bestimmt worden. Wie groß ist die maximale relative Unsicherheit der nach obiger Formel berechneten kinetischen Energie? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

11 Beispielklausur B Aufgabe 13 Der Durchmesser eine Kugel beträgt d = (50 ± 1,5) mm. Wie groß ist der relative Fehler V/V des Kugelvolumens V? V = 4 3 π ( d 2 ) 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

12 Beispielklausur C Aufgabe 15 Die Länge eines Stabes wird sechs mal gemessen. i l [m] 1 32,2 2 31,5 3 30,6 4 34,2 5 36,0 6 33,1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

13 Formelsammlung: Ableitungsregeln 1 Konstanter Faktor y = f(x) = c u(x) f (x) = c u (x) 2 Summenregel y = f(x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) 3 Produktregel y = f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) 4 Quotientenregel y = f(x) = u(x)/v(x) f (x) = (u (x) v(x) u(x) v (x))/v(x) 2 5 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = f (u) u (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

14 Klausur B Aufgabe 4 Wie groß ist die Ableitung der Funktion y(x) = (7x 2 + ln x) 3 an der Stelle x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

15 Klausur B Aufgabe 20 Wie groß is die Ableitung der Funktion y(x) = sin 2x cos x and der Stelle x = π? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

16 Klausur B Aufgabe 20 Wie groß is die Ableitung der Funktion y(x) = sin 2x cos x and der Stelle x = π? Produktregel: d (sin 2x cos x) dx d d (sin 2x cos x) = dx dx (sin 2x) cos x + sin 2x d (cos x) dx 1. Term: Ketteregel Auswerten bei x = π: = d (2x) cos 2x cos x + sin 2x ( sin x) dx = 2 cos 2x cos x sin 2x sin x 2 cos 2π cos π sin 2π sin π = 2 1 ( 1) 0 = 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

17 Aufgaben zu Teil 1 Aufgabe 7 Ein Körper bewege sich gemäß untenstehendem Weg-Zeit-Diagramm (Weg s, Zeit t). Bestimmen Sie seine Geschwindigkeit. s [m] t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

18 Aufgaben zu Teil 1 Aufgabe 7 Ein Körper bewege sich gemäß untenstehendem Weg-Zeit-Diagramm (Weg s, Zeit t). Bestimmen Sie seine Geschwindigkeit. s [m] t = 2 s s = 1 m v = s t = 1 m 2 s t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

19 Beispielklausur A Aufgabe 19 Ein Körper bewegt sich mit s(t) = 1 2 g t2 + s 0 (s 0 = 5 m, g = 9,81 m s 2 ) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t = 4 s? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

20 Beispielklausur A Aufgabe 19 Ein Körper bewegt sich mit s(t) = 1 2 g t2 + s 0 (s 0 = 5 m, g = 9,81 m s 2 ) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t = 4 s? Die Geschwindigkeit ist die Änderung des Ortes pro Zeit, also v = s t. Um die Geschwindigkeit zu einer gegebenen Zeit t zu bestimmen, muss ich mir den Differentialquotienten (die Ableitung) an dieser Stelle ansehen: ds ds dt = d ( ) 1 dt 2 g t2 + s 0 = d ( ) 1 dt 2 g t2 + d dt (s 0) = g t = g t = 9,81 m s 2 4 s = 39,24 m s dt. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

21 Beispielklausur B Aufgabe 7 Ein Körper bewegt sich mit s(t) = 1 2 g t2 + v 0 t + s 0 (s 0 = 5 m, g = 9,81 m s 2, v 0 = 5 m s ) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t = 9 s? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

22 Beispielklausur B Aufgabe 7 Ein Körper bewegt sich mit s(t) = 1 2 g t2 + v 0 t + s 0 (s 0 = 5 m, g = 9,81 m s 2, v 0 = 5 m s ) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t = 9 s? ds dt = d ( ) 1 dt 2 g t2 + v 0 t + s 0 = d ( ) 1 dt 2 g t2 + d dt (v 0 t) + d dt (s 0) = g t + v 0 = 9,81 m s 2 9 s + 5m s = 93,29 m s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

23 Beispielklausur C Aufgabe 11 Wie groß ist die Ableitung der Funktion an der Stelle x = 2? y(x) = 4x + (6x 3 5x) 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

24 Beispielklausur D Aufgabe 15 Wie groß ist der Differentialquotient von bei x = 1? y = 9x 3 8x 4 + ln x + 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

25 Beispielklausur B Aufgabe 15 Ein Kraftvektor F = (F x ; F y ) mit F x = 14 N udn F y = 5 N soll zerlegt werden in drei Komponenten F 1, F 2 und F 3. Es seien F 1 = (9; 5) N und F 2 = ( 3; 6) N. Wie lautet F 3? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

26 Beispielklausur B Aufgabe 16 Eine Gerade y = ax + b geht durch zwei Punkte P 1 = ( 2,4) und P 2 = (2,2). welche Werte a und b sind richtig? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

27 Aufgaben zu Teil 1 Aufgabe 31 Gegeben sei die Exponentialfunktion y = A 2 t t h Der dargestellte Graph zeigt die Funktion, die Achsen sind linear geteilt. y t [s] Bestimmen Sie A und t h (t h = Halbwertszeit) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

28 Aufgaben zu Teil 1 Aufgabe 31 Gegeben sei die Exponentialfunktion y = A 2 t t h Der dargestellte Graph zeigt die Funktion, die Achsen sind linear geteilt. y t [s] Bestimmen Sie A und t h (t h = Halbwertszeit) Lösung: Graph schneidet y-achse bei y = 10 (t = 0 s) 10 = A 2 0 t h = A 2 0 = A A 2 = A = 2 t h th Ablesen: t h = 2 s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

29 Aufgaben zu Teil 1 Aufgabe 33 Im folgenden Diagramm ist die Anzahl N der noch nicht zerfallenen Atomkerne eines radioaktiven Präparates gegen die Zeit t aufgetragen. Die y-achse ist logarithmisch geteilt. Bestimmen Sie die Halbwertszeit N 10 1 t [min] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

30 Lösung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

31 Lösung Aufgabe 33 Methode 1: Einfaches ablesen Punkt auf Gerade auswählen und y-wert bestimmen (z.b. t = 0 und N = 40) y-wert halbieren und dazugehörige Zeitdifferenz t ablesen. Diese Zeitdifferenz ist die Zeitspanne, in der die Anzahl N halbiert wurde, also die gesuchte Halbwertszeit. N 10 2 N = 40 N = 20 t = 3 min t [min] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

32 Lösung Aufgabe 33 Methode 2: Betrachten der Funktionsgleichung N 10 2 Exponentialfunktion y = B c x ergibt eine Gerade bei logarithmisch geteilter y-achse Steigung: c lg(b) Gesuchte Form: y = A 2 t t h, also Basis B = 2 und c = 1 t h Steigung bestimmen: N 10 1 t t [min] lg(n 2 ) lg(n 1 ) = t 2 t 1 20 lg( 40 = ) 3 min = lg(2 1 ) 3 min = lg(2) 3 min c lg(2) = 1 t h = 3 min t h lg(20) lg(40) (3 0) min lg(2) = lg(2) 3 min Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

33 Aufgaben zu Teil 1 Aufgabe 34 Beim Durchgang der Röntgenstrahlung durch Blei (Pb) wird ein Teil der Strahlung absorbiert. die folgende Abbildung zeigt die relative Schwächung der Intensität I/I 0 (I = Intensität mit Blei, I 0 = Anfangsintensität ohne Blei (Pb)) in Abhängigkeit von der Pb-Dicke. Die y-achse ist logarithmisch geteilt. Bestimmen Sie die graphisch Halbwertsdicke d 1/ ,5 I/I0 0, d [cm] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

34 Aufgaben zu Teil 1 Aufgabe 34 Beim Durchgang der Röntgenstrahlung durch Blei (Pb) wird ein Teil der Strahlung absorbiert. die folgende Abbildung zeigt die relative Schwächung der Intensität I/I 0 (I = Intensität mit Blei, I 0 = Anfangsintensität ohne Blei (Pb)) in Abhängigkeit von der Pb-Dicke. Die y-achse ist logarithmisch geteilt. Bestimmen Sie die graphisch Halbwertsdicke d 1/ ,5 d 1/2 = 4 cm I/I0 0, d [cm] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

35 Klausur B Aufgabe 8 Die Funktion f(x) = (sin x) 2 = sin 2 x hat eine gegenüber der Funktion y(x) = sin x A: gleiche Periode B: doppelte Periode C: doppelte Phatse bei gleicher Periode D: halbe periode E: doppelte Amplitude bei gleicher Periode sin(x) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27

36 Klausur B Aufgabe 8 Die Funktion f(x) = (sin x) 2 = sin 2 x hat eine gegenüber der Funktion y(x) = sin x A: gleiche Periode B: doppelte Periode C: doppelte Phatse bei gleicher Periode D: halbe periode E: doppelte Amplitude bei gleicher Periode sin(x) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November / 27