Selbsttest Mathematische Grundfertigkeiten

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1 Fachbereich Physik Selbsttest Mathematische Grundfertigkeiten Liebe potentielle Studienanfänger, da Ihnen dieser Selbsttest in die Hände gefallen ist, interessieren Sie sich offenbar für ein Studium der Physik an der Universität Osnabrück sei es als Bachelor Physik (mit Informatik), als Zwei-Fächer Bachelor oder für das Lehramt GHR oder LBS. Wie jede wissenschaftliche Disziplin hat auch die Physik ihr Fachvokabular und ihre Methoden. Das zentrale Hilfsmittel der Physik ist die Mathematik. Sie werden das in Ihrem Studium früh bemerken ohne Mathematik läuft da nicht viel. Bevor Sie daher ein Physik-Studium aufnehmen, sollten Sie Ihre mathematischen Fertigkeiten auf den Prüfstand stellen. Dazu dient dieser Selbsttest. Am Ende des Tests finden Sie kurze Hinweise zur Auswertung und unsere Vorschläge für das weitere Vorgehen. Falls Sie Fragen oder Anregungen zum Test und/oder zu Ihren Ergebnissen/Studienmöglichkeiten haben, wenden Sie sich an einen von uns: Prof. M. Rohlfing, Studiendekan, , Prof. R. Berger, Didaktik, Lehramtsstudiengänge, Prof. H.-J. Schmidt, Mathe im. & 3. Semester, , Prof. M.-B. Kallenrode, Mathe im. Semester, Mit freundlichen Grüßen, die Lehrenden des Fachbereich Physik

2 Gebrauchsanweisung Der Test gliedert sich in drei Teile, Fingerübungen zum Warmwerden, den eigentlichen Test sowie einige Multiple Choice Fragen zum Auslaufen. De Test soll ohne Hilfsmittel bearbeitet werden, die maximale Bearbeitungsdauer für die ersten beiden Teile beträgt insgesamt Stunden, für den dritten Teil ist keine Zeit vorgegeben aber Multiple Choice sollte eigentlich schnell gehen. Fingerübungen zum Aufwärmen. Vergleichen Sie die beiden Zahlen miteinander und setzen Sie die entsprechende Relation (größer, kleiner, gleich): (a) 3 69 (b) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: 3a n+ 6x n+7 9b x+ 3x n b x+ 3a mit x, a, b Markieren Sie im unten stehenden Dreieck Sinus und Kosinus von α und tragen Sie die Verläufe der Funktion in den Graphen ein: 4. Lösen Sie das Gleichungssystem 5. Differenzieren Sie f(x) = 5x 3 + sin x Bilden Sie das bestimmte Integral 7. Addieren Sie die Vektoren a = I = x + y = 0 x y =. 4 (3x + 4x) dx. und b = Auf dem 00 m langen Umfang eines Kreises bewegen sich zwei Körper. Sie begegnen sich alle 0 s, wenn sie sich in derselben Richtung bewegen und alle 4 s, wenn sie sich in entgegengesetzter Richtung bewegen. Wieviel Meter legt jeder der beiden Körper in der Sekunde zurück?

3 Der Vor-Test. In der folgenden Abbildung sind zwei Funktionsgraphen gezeigt: Um welche der folgenden Funktionen handelt es sich dabei: sin x, cos x, tan x, sin x, cos x, tan x, sin x, cos x, tan x, sin x, cos x, tan x, sin(x), cos(x), tan(x) oder vielleicht das Negative einer der Funktionen?. Skizzieren Sie in der folgenden Abbildung den Verlauf der Exponentialfunktion sowie ihrer Umkehrfunktion. Geben Sie diese an. 3. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen: f(x) = cos(ax + b) und g(x) = x a e bx. 4. Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f(x) = x 3 + 3x 4x + 8. Handelt es sich dabei um Maxima oder Minima? 5. Bestimmen Sie die folgenden Integrale I = cos(ay) dx und I = 8 dx x 3 x. 6. Bilden Sie mit den den folgenden Vektoren sowohl das Skalar- als auch das Kreuzprodukt. a = 0 und b = 6. 5 Spielt die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle? 7. Welche zwei Zahlen haben folgende Eigenschaften? Vergrößert man jede um 5, so wird die Differenz ihrer Quadrate um 00 größer, während ihr Produkt um 35 zunimmt. 3

4 3 Typische Aufgaben. Fassen Sie die folgenden Potenzen zusammen. a x+ b x+3 a 3x b x+3 a x b 3 x a x b x+ (6a b) (3a + 6b) (6a 4b ).. Welchen Grenzwert hat die Funktion f(x) = (sin(x))/x für x 0? 3. Die Bewegung eines Federpendels wird beschrieben durch die Gleichung x(t) = e γt cos(ωt + ϕ). Bestimmen Sie daraus die Geschwindigkeit v = dx/dt sowie die Beschleunigung a = dv/dt = d x/dt 4. Integrieren Sie die Funktion f(x) = x 5x Integrieren Sie die Funktion f(x) = e x sin(x) 6. Bilden Sie aus den Vektoren a = (,, 3), b = (,, 3) und c = (,, ) die folgenden Ausdrücke: a c =, ( b a) c = und ( a c) ( b c) =. 4

5 4 Einige physikalische Fragen zum Dessert. Gleichförmige und beschleunigte Bewegung. Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr: (a) bei einer gleichförmigen Bewegung wird in gleichen Zeitintervallen der gleiche Weg zurück gelegt. (b) bei einer gleichförmigen Bewegung wird in doppelten Zeiten der doppelte Weg zurück gelegt. (c) bei einer gleichförmigen Bewegung hängt der zurück gelegte Weg linear von der Zeit ab. (d) bei einer gleichförmigen Bewegung hängt der zurück gelegte Weg quadratisch von der Zeit ab. (e) bei einer gleichförmigen Bewegung hängt die Geschwindigkeit linear von der Zeit ab. (f) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung wird in doppelten Zeiten die gleiche Strecke zurück gelegt. (g) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung wird in doppelten Zeiten die vierfache Strecke zurück gelegt. (h) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung wird in doppelten Zeiten die doppelte Geschwindigkeit erreicht. (i) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung wird in gleichen Zeitintervallen die gleiche Strecke zurück gelegt. (j) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung wächst die Geschwindigkeit in gleichen Zeiten um den gleichen Betrag. (k) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung hängt der zurück gelegte Weg linear von der Zeit ab. (l) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung hängt der zurück gelegte Weg quadratisch von der Zeit ab. (m) bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung hängt die Geschwindigkeit linear von der Zeit ab. (n) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant. (o) bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung hängt die Geschwindigkeit quadratisch von der Zeit ab.. Eine Ameise, ein Elephant und ein Physikprofessor springen von einem Tisch. Vernachlässigen Sie die Reibung. Welche der folgenden Aussagen über die Bewegung der drei unmittelbar vor dem Auftreffen auf den Boden ist/sind wahr: (a) alle drei haben die gleiche kinetische Energie. (b) alle drei starten mit der gleichen potentiellen Energie. (c) alle drei haben den gleichen Impuls. (d) alle drei werden die gleiche abbremsende Kraft erfahren, wenn sie auf den Boden auftreffen. (e) alle drei haben die gleiche Geschwindigkeit. 3. Man verändert das Volumen einer bestimmten Menge Luft. Dabei wird darauf geachtet, dass am Ende des Vorgangs die Temperatur der Luft die gleiche ist wie zu Beginn. Welche(r) der folgenden Zusammenhänge gilt dann: (a) das Produkt aus Druck und Volumen ist am Anfang und Ende des Vorgangs gleich, (b) der Quotient aus Druck und Volumen ist am Anfang und Ende des Vorgangs gleich, (c) wird das Volumen halbiert, so sinkt der Druck um einen Faktor. (d) wird das Volumen halbiert, so sinkt der Druck um einen Faktor 4. 5

6 Auswertung Überprüfen sie an Hand der Lösungen, ob Sie die Aufgaben korrekt gelöst haben. Die Fragen aus dem Teil Fingerübungen sind typische Probleme, die als Nebenrechnungen in den ersten Wochen des Physikstudiums auftreten. Diese Aufgaben sollten Sie ohne Nachdenken sofort lösen können. Die Fragen aus dem Vor-Test sind noch sehr einfach, d.h. Sie müssen Sie ohne Hilfsmittel wie Buch oder Taschenrechner mit kurzem Nachdenken lösen können. Ist das nicht der Fall, so müssen Sie vor dem Beginn Ihres Studiums ihre mathematischen Fingerfertigkeiten noch sehr stark trainieren, z.b. in der Fernstudienversion des Vorkurses zur Physik der Uni Osnabrück (Anmeldung unter weitere Informationen unter Fernstudium.php. Dieser Vorkurs ist an die in den ersten beiden Semestern bei einem Studium in irgendeinem der Studiengänge (mit) Physik in Osnabrück benötigten Voraussetzungen angepasst. Insbesondere werden die mathematischen Anforderungen jeweils durch Anwendungsbeispiele aus der Physik illustriert. Die Aufgaben aus dem Abschnitt Typische Beispielaufgaben sollten Sie zwar mit Nachdenken (und vielleicht auch erst nach wiederholtem Versuch) aber auf jeden Fall ohne Hilfsmittel gelöst haben. Dann ist die Präsenzphase des Vorkurses ( ) für Sie ausreichend, sonst sollten Sie sich mit der Fernstudienversion befassen (s.o.). Alternativ können Sie Ihre Schulbücher noch einmal gründlich durcharbeiten oder sich mit einem Vorbereitungsbuch, z.b. W. Schäfer und K. Georgi, Mathematik-Vorkurs Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger, Teubner, intensiv beschäftigen. Das sollten Sie zusätzlich zum und unbedingt vor der Präzensphase des Vorkurses Physik ( ) tun. Das gilt auch für die Studierenden, deren Ziel das Lehramt ist. Ihre Vorbereitung war erfolgreich, wenn Sie anschließend problemlos eine Zusammenfassung der Schulmathematik wie Wissensspeicher Mathematik (B. Frank, W. Schulz, W. Tietz und E. Warmuth, Volk und Wissen Verlag, 000) verstehen können. Um eine grobe Vorstellung von dem zu erhalten, was Sie im ersten Semester erwartet, können Sie sich auch im Internet den Heidelberger Mathe-Vorkurs für die Physik ansehen ( hefft/vk; als Buch bei Elsevier erhältlich). Die Multiple Choice Fragen sind sehr einfach. Sollten sie dabei Probleme gehabt haben, so müssen sie auch Ihr Physikverständnis vor Studienbeginn noch einmal gründlich aufpolieren. 6

7 Lösungen Fingerübungen. erfordert Zahlengefühl: (a) 3 7 > hier müssen Sie mit Potenzen rechnen können: (b) > a n+ 6x n+7 9b x+ 3x n b x+ 3a = 3 x 7 a n. 3. Sinus rot, Kosinus blau: 4. Addition der Gleichungen liefert x = 4, y = Terme der Summe jeweils getrennt Ableiten, der letzte Summand ist eine Konstante und fällt beim Ableiten weg: df(x) dx = f (x) = 5x + cos x. 6. Die einzelnen Summanden können getrennt integriert werden: I = 4 (3x + 4x) = [ x 3 + x ] 4 = = Vektoren werden komponentenweise addiert: a + b = + 3 = 3 = Bis zur erneuten Begegnung müssen 00 m zwischen den beiden Körpern zurück gelegt werden, d.h. und damit v = 5 m/s und v = 0 m/s. v v = 00 m 0 s v + v = 00 m 4 s = 5 m s = 5 m s 7

8 Vor-Test. der rote Funktionsgraph (a) ist cos x, der blaue (b) sin(x).. die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus ln: 3. Bei f(x) die Kettenregel beachten, bei g(x) müssen Produkt- und Kettenregel beachtet werden: df(x) dx = f (x) = a sin(ax + b), dg(x) dx = g (x) = ax a e bx x a b e bx 4. Ableiten von f(x) = x 3 + 3x 4x + 8 liefert f (x) = 3x + 6x 4. Die Extrema liegen an den Nullstellen der Ableitung (waagerechte Tangente), d.h. die quadratischer Gleichung 3x + 6x 4 = 0 ist zu lösen. Lösungen: x = 4 und x =. Die zweite Ableitung f (x) = 6x + 6 unterscheidet Maxima und Minima: f (x ) = 8 < 0, d.h. an der Stelle x = 4 hat die Funktion ein lokales Maximum. f (x ) = 8 > 0, d.h. lokales Minimum bei x =. 5. Beim ersten Integral an den Vorfaktor im Argument denken, beim zweiten geschickt umschreiben: I = cos(ay) dx = a sin(ay) + C und I = 8 dx x 3 x = 8 x 4/3 dx = [ 3x /3] 8 = 3 [ ] 8 ( ) 3 = 3 x = Skalarprodukt: a b = 0 6 = ( 9) ( ) = = 7. 5 Kreuzprodukt a b = = 5 ( ) ( 0) = ( 0) 6 ( ) 58 Das Skalarprodukt ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Multiplikation spielt keine Rolle. Beim Kreuzprodukt bilden die drei Vektoren ein Rechtssystem beim Vertauschen der Reihenfolge der Multiplikation weist das Ergebnis in die entgegen gesetzte Richtung; das Kreuprodukt ist anti-kommutativ. 8

9 7. Die Aufgabe überprüft weniger Ihre mathematischern Fertigkeiten als vielmehr Ihr Textverständnis. Direkt aus der Aufgabenstellung ergibt sich das Gleichungssystem Die Gleichungen lassen sich Vereinfachen zu (x + 5) (y + 5) = x y + 00 (x + 5) (x y) = x y x y = 0 x + y = 60 mit den Lösungen x = 35 und y = 5. Typische Aufgaben. ab x+, v(t) = e γt (ω sin(ωt + ϕ) + γ cos(ωt + ϕ)) a(t) = γe γt (ω sin(ωt + ϕ) γ cos(ωt + ϕ)) e γt ( ω cos(ωt + ϕ) γω sin(ωt + ϕ) ) 4. x 5x 3 dx = (5x 3) 3/ /5 + c 5. e x sin x dx = (e x sin(x) e x cos(x)) / + c 6. a c = Multiple Choice 5. a, b, c, g, h, j, l, m. e 3. a, ( b a) c = 4 0 und ( a c) ( b c) = 30. 9