Musterlösung. für die Klausur MA2_05.1 vom 11. Februar Labor für Mathematik und Statistik. Prof. Norbert Heldermann.

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1 Fachbereich Produktion und Wirtschaft Musterlösung für die Klausur MA_05.1 vom 11. Februar 005 Labor für Mathematik und Statistik Prof. Norbert Heldermann Richard Münder Bei dem vorliegenden Dokument handelt es sich um eine Musterlösung für eine vom Labor für Mathematik und Statistik gestellte Klausur. Die Anfertigung dieser Musterlösung wurde aus Studiengebühren der Studenten des Fachbereiches Produktion und Wirtschaft der Fachhochschule Lippe und Höxter finanziert. Die Reihenfolge der Aufgaben wurde bei der Darstellung ihrer Lösungen gegenüber der Klausur beibehalten. Diese Lösungen wurden ausführlich dargestellt, reichhaltig kommentiert und verständlich mit graphischen Darstellungen ergänzt. Unter besteht eine Verbindung zur Internetseite des Labores für Mathematik und Statistik. Hier können die Klausuren und die Musterlösungen heruntergeladen werden. Darüber hinaus existiert eine Kontaktadresse für sinnvolle Verbesserungsvorschläge und zur Fehleranzeige sowie für eventuelle Rückfragen. Die in der Musterlösung enthaltenen Zeichnungen sind mit AutoCAD (Lizenz Fachhochschule Lippe und Höxter) angefertigt worden.

2 Klausur Mathematik, M Prof. Dr. N. Heldermann Dauer: Stunde. Erlaubte Hilfsmittel: Nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und lassen Sie die Rückseite frei. Die Ermittlung aller Ergebnisse ist lückenlos und nachvollziehbar zu dokumentieren. 1. Betrachtet wird die Funktion V (α, β, M) = M 1 α sin β (a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von V. (b) Schätzen Sie den linearen Fehler im Fall M = 100 ± 5, α = 0.8 ± 0., β = 3 ± (9 Punkte) (4 Punkte). Betrachtet wird x + y = r im Bereich r < x < r. Berechnen Sie die Krümmung des oberen Halbkreises. (6 Punkte) 3. (a) Zeigen Sie durch Ableitung der rechten Seite 1 cos x dx = ln(cos x sin x ) + ln(cos x + sin x ) + c, c R. [Hinweis: cos x = cos x sin x!] (6 Punkte) (b) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = ln(cos x) im Bereich π < x < π. Berechnen Sie dazu die Nullstellen und Extremwerte. (4 Punkte) (c) Zeigen Sie: 1 + tan x = 1 cos x ( Punkte) (d) Berechnen Sie die Länge der Kurve von a = π bis b = π. 3 3 Das auftretende Integral ist mittels (a) und (c) exakt zu lösen. (6 Punkte) (e) Berechnen Sie den Grenzwert lim cos x ln(cos x). x π (6 Punkte) 4. Lösen Sie die Differentialgleichung y = y + (y ). [Hinweis: Die Integrale können durch eine einfache Partialbruchzerlegung und eine Substitution gelöst werden.] (8 Punkte) 5. Lösen Sie die Differentialgleichung y + y + y = 10 sin x. (6 Punkte)

3 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 3 Aufgabe 1: Betrachtet wird die Funktion V (α, β, M) = M 1 α sin β (a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von V. (b) Schätzen Sie den linearen Fehler im Fall M = 100 ± 5, α = 0.8 ± 0., β = 3 ± (a): Vor der Berechung der einzelnen partiellen Ableitungen empfiehlt es sich, den Term ein wenig umzuformen: V = M 1 α sin β = e(1 α) ln M sin β Die partielle Ableitung nach α lautet: Die partielle Ableitung nach β lautet: Die partielle Ableitung nach M lautet: V α = 1 sin β M 1 α ( ln M) = ln M sin β M 1 α. V β = M 1 α sin β cos β. V M = 1 sin β M 1 α 1 (1 α) = 1 α sin β M α. 1(b): Der Fehler der Funktion ergibt sich aus dem totalen Differential. Dazu werden die Ausgangswerte der Variablen jeweils in die Gleichung und alle partiellen Ableitungen eingesetzt: V (0.8, 3, 100) = 17.8 V α (0.8, 3, 100) = V β (0.8, 3, 100) = V M (0.8, 3, 100) = Der lineare Fehler von V an der Stelle (0.3, 3, 100) berechnet sich nach der Formel: V (0.3, 3, 100) = V α (0.3, 3, 100) α + V β (0.3, 3, 100) β + V M (0.3, 3, 100) M = =.8 Daraus folgt: V (0.3, 3, 100) = 17.8 ±.8.

4 4 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Aufgabe : Betrachtet wird x + y = r im Bereich r < x < r. Berechnen Sie die Krümmung des oberen Halbkreises. Die gegebene Kreisgleichung liefert für den oberen Halbkreis folgenden Zusammenhang: f(x) = r x. Zur Krümmungsberechnung werden die ersten beiden Ableitungen benötigt: f (x) = x r x = x r x, und f (x) = r x x + x r x = r + x x = r x (r x ) 1.5 Die Krümmung einer Funktion berechnet sich nach der Formel: k(x) = f (x) [1 + (f (x)) ] 1.5. r (r x ) 1.5. Zur Vereinfachung des entstehenden Terms wird noch eine kleine Nebenrechnung durchgeführt: NR: 1 + (f (x)) = r x + x = r r x r x. Somit erhält man für die Krümmung des oberen Halbkreises: k(x) = r (r x ) 1.5 r = = 1 (r x ) 1.5 (r ) 1.5 r 3 r.

5 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 5 Aufgabe 3: (a) Zeigen Sie durch Ableitung der rechten Seite 1 cos x dx = ln(cos x sin x ) + ln(cos x + sin x ) + c, c R. (b) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = ln(cos x) im Bereich π < x < π. Berechnen Sie dazu die Nullstellen und Extremwerte. (c) Zeigen Sie: 1 + tan x = 1 cos x. (d) Berechnen Sie die Länge der Kurve von a = π 3 bis b = π 3. Das auftretende Integral ist mittels (a) und (c) exakt zu lösen. (e) Berechnen Sie den Grenzwert lim cos x ln(cos x). x π 3(a): Die rechte Seite der Gleichung lautet: ( t(x) = ln cos x sin x ) ( + ln cos x + sin x ) + c, c R. Zur Ableitung benötigt man mehrfach die Kettenregel: t 1 (x) = cos x sin x ( sin x cos x ) cos x + sin x ( sin x + cos x ) 1 = 1 ( sin x + cos ) x ( + sin x + cos x ( cos x sin ) ( x cos x + sin ) x ) = sin x + sin x cos x + cos x + sin x sin x cos x + cos x (cos x sin x) = ( sin x + ) cos x = 1 cos x cos x. 3(b): Für die hier gefragten Berechnungen müssen die ersten beiden Ableitungen herangezogen werden: f(x) = ln(cos x) f (x) = 1 cos x ( sin x) = tan x f (x) = 1 cos x.

6 6 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Zur Nullstellenermittlung wird die Ausgangsfunktion gleich Null gesetzt: f(x) = 0 ln(cos x) = 0 cos x = 1 x 0 = 0 im betrachteten Intervall π < x < π. Die Extremwerte ergeben sich durch Betrachtung der ersten Ableitung: ( f (x) = 0 tan x = 0 x 0 = 0 für x π, π ). Die zweite Ableitung liefert für x 0 = 0: f (x 0 ) = 1 lokales Minimum. Für die Zeichnung der Funktion fertigt man eine Wertetabelle an. Die Funktion ist offenbar symmetrisch zur Ordinate, da auch cos x achsensymmetrisch ist. 3(c): Der Term wird umgeformt mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras und der Beziehung tan x = sin x. cos x 3(d): 1 + tan x = 1 + sin x cos x = cos x + sin x cos x Aufgrund der Symmetrie gilt: l = π 3 π (f (x)) dx = π 3 0 = 1 cos x 1 + (f (x)) dx.

7 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 7 Eine kleine Nebenrechnung liefert: f (x) = tan x 1 + (f (x)) = 1 + tan x = 1 cos x 1 + (f (x)) = 1 cos x. Aus (a) folgt nun: π 3 1 ( ( l = 0 cos x dx = ln cos x sin x ) ( + ln cos x + sin x )) π 3 0 [( ( = ln cos π 6 sin π ) ( + ln cos π sin π )) ] (0) Da die Einsetzung von x = π in cos x ln(cos x) zu cos π ln(cos π) = 0 führt, 3(e): muß der Satz von H ospital angewendet werden. Dazu formuliert man das Produkt zunächst in einen Quotienten um. Dann streben Zähler und Nenner beide nach. lim x π cos x ln(cos x) = lim x π ln(cos x) cos 1 x Die erneute Anwendung des Satzes von H ospital liefert nun: lim x π ln(cos x) cos 1 x = lim x π [ln(cos x)] [cos 1 x] = lim x π sin x cos x cos x sin x = lim cos x = 0. x π

8 8 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Aufgabe 4: Lösen Sie die Differentialgleichung y = y + (y ). Da in der gegebenen Gleichung nur Terme der Form y und y vorhanden sind, bietet es sich an, eine kleine Substitution durchzuführen und die Gleichung auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zu reduzieren. So erhält man die Gleichung: z := y z = y. z = z + z Trennung der Variablen führt zu: oder 1 z + z dz = dz dx = z + z. Der linke Integrand ist eine rationale Funktion und läßt sich deshalb durch eine Partialbruchzerlegung lösen: 1 z + z = 1 z(z + 1) = A z + B z + 1. Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt sich: Daraus folgt offenbar sofort: dx. 1 = A(z + 1) + Bz = (A + B)z + A. A = 1 und B = 1. Die Integration der rechten Seite führt nun zu: 1 z dz 1 z + 1 dz = x + c, c R, wobei man die Integrationskonstante c nicht vergessen darf. Die Integration der linken Seite ergibt (die Integrationskonstanten werden in c zusammengefaßt): Schreibt man diese Gleichung in der Form ln z ln z + 1 = x + c, c R. ln z = ln z x + c, c R führt die Vorschaltung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten zu: z = z + 1 e x e c, c R. Durch eine Auflösung der Beträge erhält man z = ±(z + 1)e x e c, c R und schreibt statt ±e c einfacher a R. Auflösung nach z ergibt: z = a (z + 1)e x z = aze x + ae x z = aex 1 ae x, a R.

9 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 9 Damit wurde die Lösung z(x) für die Differentialgleichung in z erreicht. Jetzt fehlt nur noch die Rücksubstitution: ae x y = z dx = 1 ae dx = ae x x ae x 1 dx. In dem hier zu integrierenden Ausdruck liegt ein Bruch vor, bei dem die Zählerfunktion gerade die Ableitung der Nennerfunktion ist. Dieses ist aber ein Grundintegral mit dem Ergebnis: ae x ae x 1 dx = ln aex 1 + b, b R.

10 10 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Aufgabe 5: Lösen Sie die Differentialgleichung y + y + y = 10 sin x. Zur Ermittlung der Homogenen Lösung wird die Diskriminante untersucht: Es ist a 0 = a 1 =, also D = 4 8 = 4 und ω = 1 4 = 1. Somit lautet die Homogene Lösung: y H = e x (A cos x + B sin x), A, B R. Da zweimalige Ableitung der Störfunktion sin x nur noch den Funktionstyp cos x als weiteres hervorbringt und beide Funktionen nicht im Homogenen Lösungsraum liegen, lautet der Ansatz für die Partikuläre Lösung wie folgt: y = a sin x + b cos x y = a cos x b sin x y = a sin x b cos x. Einsetzung in die Ausgangsgleichung ergibt: y + y + y = ( a b + a) sin x + ( b + a + b) cos x = (a b) sin x + (a + b) cos x = 10 sin x. Durch Koeffizientenvergleich erhält man: a b = 10 und a + b = 0 a =, b = 4. Also lautet die Partikuläre Lösung: y P = sin x 4 cos x. Die Allgemeine Lösung ergibt sich aus der Summe der Homogenen und Partikulären Lösung: y A = y H + y P = e x (A cos x + B sin x) + sin x 4 cos x, A, B R.