Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

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1 Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten Übung 6: statistische Auswertung ungleichgenauer Messungen Milo Hirsch Hendrik Hellmers Florian Schill Institut für Geodäsie Fachbereich 13

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Aufgabenbeschreibung statistische Auswertung ungleichgenauer Messungen Bestimmung der Gewichte p i gewichtetes arithmetisches Mittel Standardabweichungen für gewichtete Messungen Spezielle Gewichte Varianzfortpflanzung bei Messungen verschiedenen Typs Varianzfortpflanzung beim polaren Anhängen Abschätzung der erforderlichen Messgenauigkeit Übungsaufgaben Varianzfortpflanzung bei ungleichgenauen Messungen Varianzfortpflanzung bei verschiedenartigen Messungen Einführung Nach Übung 5 besteht ein vollständiges Messergebnis aus einem plausiblen Wert und dessen Genauigkeit. Es wurde gezeigt, wie sich unter der Annahme gleichartiger und gleichgenauer Messungen der plausible Wert und dessen Genauigkeit ableiten lässt. Wir wollen nun obige Annahme fallen lassen und auch Messergebnisse angeben, die aus ungleichgenauen bzw. ungleichartigen Messungen abgeleitet wurden. Im Mittelpunkt steht dabei wieder die Angabe von Genauigkeiten für funktionale Zusammenhänge mit Hilfe der Varianzfortpflanzung. Zunächst wird die Varianzfortpflanzung bei speziellen Funktionen mit ungleichgenauen Messungen diskutiert, d.h. der Einfluss einer einzelnen Messung auf das Messergebnis wird nur durch deren Genauigkeit bestimmt, denn die partiellen Ableitungen des funktionalen Zusammenhangs nach den Messungen sind immer gleich. Schließlich wird die Varianzfortpflanzung für den allgemeinen Fall betrachtet, bei dem Messungen verschiedenen Typs in funktionalen Zusammenhängen verknüpft werden. Diese verschiedenartigen Messungen induzieren nun auch unterschiedliche partielle Ableitungen, die zusätzlich zur Genauigkeit der jeweiligen Messung das Messergebnis beeinflussen. 2 Aufgabenbeschreibung Wir wollen Genauigkeiten für Größen ableiten, die sich 1. aus Messungen gleichen Typs, aber unterschiedlicher Genauigkeit oder 2. aus Messungen verschiedenen Typs zusammensetzen. 1

3 3 statistische Auswertung ungleichgenauer Messungen Liegen Messungen unterschiedlicher Genauigkeit vor, so sollte eine Messung von höherer Genauigkeit auch einen größeren Einfluss auf das Messergebnis haben. Es wird deshalb jeder Messung x i ein (sogenanntes) Gewicht p i nach folgendem Prinzip zugeordnet: genaue ungenaue Messung x i kleine große Varianz s 2 i großes kleines Gewicht p i 3.1 Bestimmung der Gewichte p i! Übung 5: Berechnung des arithmetischen Mittels x x = n x i f x (x i ), i=1 mit f x (x i ) = 1 n x = 1 n x n x n x n Bei ungleichgenauen Messungen, setzt man f x (x i ) = p i und es folgt x G = p 1 x 1 + p 2 x p n x n! Übung 5: Berechnung der Varianz s 2 x des arithmetischen Mittels durch Varianzfortpflanzung y = f (x i ) = x G = p 1 x 1 + p 2 x p n x n x s 2 G = x G x 1 2 x 1 + x G x 2 2 x x G x n 2 x n s 2 x G = p 2 1 s2 x 1 + p 2 2 s2 x p 2 n s2 x n Bedingung: Wähle Gewichte p i so, dass die Varianz s 2 x G minimal wird! Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 2

4 Extremwertaufgabe! 1. Differenziere die Varianz s 2 x partiell nach den Gewichten p i 2. Setze partielle Ableitungen gleich null, denn beim Extremwert müssen diese = 0 sein. s 2 x p i = 2 p i x i = 0 3. Prüfe mit zweiten partiellen Ableitungen den Extremwert 2 s 2 x p 2 i = 2 x i > 0 Minimum Man erkennt p 1 x 1 = p 2 x 2 = = p n x n = const. Verhältnisse aller Gewichtskombinationen p 1 = s2 x 2 p 2 s 2 ; x 1 p1 = s2 x n ; p n p 1 pn 1 p n = s2 x n s 2 x n 1 Fazit: Man erhält für die Varianz s 2 x G ein Minimum, wenn man die Gewichte p i folgendermaßen berechnet: p i = const. s 2 x i Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 3

5 3.2 gewichtetes arithmetisches Mittel Für x G = p 1 x 1 + p 2 x p n x n will man in der Regel noch die Bedingung n p i = 1 i=1 erfüllen, um die prozentualen Anteile der Messungen im Messergebnis zu veranschaulichen. Dazu müssen die Gewichte p i entsprechend normiert werden und es folgt: p i n p i i=1 x G = p 1 x 1 + p 2 x pi pi p n pi x n = pi x i pi gewichtetes arithmetisches Mittel 3.3 Standardabweichungen für gewichtete Messungen Zur Berechnung von Standardabweichungen bei ungleichgenauen Messungen ist es sinnvoll, zunächst die Standardabweichung für eine (gedachte) Messung mit dem Gewicht p=1 zu berechnen. Aus dieser speziellen Standardabweichung können dann leicht mit p i p 0 = s2 0 s 2 i weitere Standardabweichungen abgeleitet werden. 1. Standardabweichung s 0 für eine Messung mit dem Gewicht p = 1 1 s 0 = n 1 n p i (x i x G ) 2 i=1 Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 4

6 2. Standardabweichung s i für eine Messung mit dem Gewicht p i s i = s 0 pi 3. Standardabweichung s x G des gewichteten artihmetischen Mittels x G s x G = s 0 pi 3.4 Spezielle Gewichte Für manche Messverfahren können keine separaten Messgenauigkeiten bestimmt werden, jedoch lässt sich ein empirisch bestimmtes Genauigkeitsverhalten angeben, aus dem man spezielle Gewichte ableiten kann. Beispiel: Messungen beim geometrischen Nivellement Die Genauigkeit eines nivellierten Höhenunterschiedes h ist von der Länge s des Nivellementsweges abhängig und man setzt für das Gewicht: p h = const. s [km] Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 5

7 4 Varianzfortpflanzung bei Messungen verschiedenen Typs Anhand von zwei Anwendungen für die Varianzfortpflanzung von verschiedenartigen Messungen wollen wir uns mehrere praxisrelevante Problemstellungen veranschaulichen. 4.1 Varianzfortpflanzung beim polaren Anhängen Aus polaren Messungen der Strecke s und des Richtungswinkels t auf dem Standpunkt A sollen kartesische Koordinaten X P und Y P des Punktes P berechnet werden: X P = X A + s A,P cos t A,P Y P = Y A + s A,P sin t A,P Für die Strecke s und den Richtungswinkel t konnten die Messabweichungen in Form der Standardabweichungen s s und s t quantifiziert werden. Die Koordinaten des Standpunktes A seien fehlerfrei. Berechnen Sie die Standardabweichungen für die Koordinaten X P und Y P! s X = X s 2 s + X t 2 t s Y = Y s 2 s + Y t 2 t X s = cos t; X t = s sin t Y s = sin t; Y t = s cos t Problem 1: Bei der Varianzfortpflanzung müssen die Einheiten aller Summanden gleich sein! Dies ist bei Messungen verschiedenen Typs nicht der Fall, wie nachfolgend dargestellt wird: s }{{} X = cos 2 t s }{{} + s2 sin 2 t t }{{}{}}{{}}{{}}{ [m] [/] [m 2 ] [m 2 ] [/] [gon 2 ] s }{{} Y = sin 2 t s }{{} + s2 cos 2 t t }{{}{}}{{}}{{}}{ [m] [/] [m 2 ] [m 2 ] [/] [gon 2 ] Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 6

8 Lösung Problem 1: Bei Varianzfortpflanzung von Messabweichungen verschiedenen Typs muss für Messbweichungen von Winkeln und Richtungen immer die Einheit [rad] verwendet werden. (I) s }{{} X = {}}{ [m] cos 2 t s }{{} + s2 sin 2 π 2 t s t 200 gon }{{}{}}{{}}{ [/] [m 2 ] [m 2 ] [/] [/] (I I) s Y }{{} = {}}{ [m] sin 2 t s }{{} + s2 cos 2 π 2 t s t 200 gon }{{}{}}{{}}{ [/] [m 2 ] [m 2 ] [/] [/] Problem 2: Die berechneten Standardabweichungen s X und s Y hängen von der Definition des Koordinatensystems ab! Diese Tatsache soll anhand der folgenden Messkonfiguration illustriert werden: Mit einer gemessenen Strecke s = 75 m werden unter den Richtungswinkeln t = 0 gon, t = 50 gon und t = 100 gon, jeweils kartesische Koordinaten von X und Y für 3 Punkte bestimmt. Die Standardabweichung s s der Strecke sei 2 mm und die Standardabweichung s t Richtungswinkels sei 5 mgon. des Berechnet werden für alle 3 Punkte die Standardabweichung s X und s Y der Koordinaten (vergleiche folgende Tabelle und Skizze) X t [gon] s X [m] s Y [m] 0 0,002 0, ,004 0,004 s Y s X s X s Y 100 0,006 0,002 t s X s Y Y Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 7

9 Lösung Problem 2: Es wird eine von der Definition des Koordinatensystems unabhängige Lagegenauigkeit s L mit den Standardabweichungen s X und s Y definiert: (I I I) s L = s 2 X + s2 Y Durch Einsetzen von (I) und (II) in (III) und unter Beachtung von sin 2 t + cos 2 t = 1 erhält man eine Lagegenauigkeit s L die (neben der Messgenauigkeit für Strecken s s und Winkel s t ) nur von der Strecke s abhängt s L = ss 2 + π s2 s t 200 gon So erhält man für alle 3 Punkte eine einheitliche Lagegenauigkeit von s L = 6 mm. 2 Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 8

10 4.2 Abschätzung der erforderlichen Messgenauigkeit In der Praxis gibt es häufig bestimmte Vorgaben für die Genauigkeit des zu ermittelnden Messergebnisses (z.b. um vorgegebene Toleranzen sicher einhalten zu können). Deshalb steht man oft vor der Aufgabe, schon vor Beginn der eigentlichen Messungen die erforderlichen Genauigkeiten abzuschätzen, um zum Beispiel das richtige Messinstumentarium wählen zu können. Problem: Wie genau muss die Schrägentfernung d bei der trigonometrischen Höhenbestimmung gemessen werden, wenn für den Höhenunterschied h eine Standardabweichung s h verlangt wird und der Zenitwinkel z mit der Standardabweichung s z bestimmt werden kann? Lösung des Problems: Ausgehend von der bekannten Formel für die trigonometrische Höhenbestimmung h = d cos z wird zunächst aus dem funktionalen Zusammenhang die Varianzfortpflanzung abgeleitet h 2 s 2 h = d d h 2 + z z und anschließend nach der gesuchten Genauigkeit s d aufgelöst: s 2 d = 1 2 h d s 2 h h z 2 z Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 9

11 5 Übungsaufgaben 5.1 Varianzfortpflanzung bei ungleichgenauen Messungen 1. Gewichtetes arithmetisches Mittel x G und seine Standardabweichung s x G Nach Bearbeitung von Aufgabe aus Übung 5 stehen Ihnen 3 Tagesmittel und deren Standardabweichung zur Verfügung. Berechnen Sie: a) ein gewichtetes arithmetisches Mittel x G aus den 3 Tagesmitteln. b) die Standardabweichung s x G für das gewichtete arithmetische Mittel. 2. Standardabweichungen bei ungleichgenauen Doppelmessungen Jeweils doppelt gemessen wurden die folgenden Höhenunterschiede h i der Abschnitte i einer Nivellementslinie. Für die Gewichtung dieser Messungen wurden auch die entsprechenden Strecken s i dieser Abschnitte bestimmt. Berechnen Sie Abschnitt i Strecke s i [km] h Hin i [m] h Rück i [m] 1 2,3 6,471-6, ,0-6,035 6, ,9 2,498-2, ,4 5,604-5, ,5-0,490 0,485 a) die Standardabweichung für 1 km (einfaches) Nivellement. b) die Standardabweichung für 1 km Doppelnivellement. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 10

12 5.2 Varianzfortpflanzung bei verschiedenartigen Messungen 1. Standardabweichung einer polaren Trassenabsteckung Von einem Standpunkt S aus wird eine Trasse mit einem elektronischen Tachymeter abgesteckt. Siehe folgende Abbildung: A c B a b r A r B α S Zwei Punkte A und B auf dieser Trasse sind festgelegt durch die polaren Absteckelemente: Strecken: a = 25,648 m b = 30,923 m Richtungen: r A = 20,2153 gon r B = 25,6549 gon Für die polaren Absteckelemente sind die folgenden Standardabweichungen gegeben: s A = s B = 2 mm s ra = s rb = 5 mgon Berechnen Sie die Standardabweichung s c der Trassenlänge AB = c. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 11

13 2. Berechnung Lagegenauigkeit s L Sie stecken mit einem elektronischen Tachymeter Punkte für Gebäude ab. Dazu messen Sie die Strecken mit einer Standardabweichung s s von 2 mm und die Winkel mit einer Standardabweichung s α von 2 mgon. Die maximale Entfernung s für die abgesteckten Punkte sei 80 m. Berechnen Sie die maximale Lageabweichung s L für die abgesteckten Punkte. 2 Hinweis: Formel für die Lagegenauigkeit: s 2 L = s2 s + s2 π α 200 gon 3. Abschätzung der erforderlichen Richtungsmessgenauigkeit Die geforderte Absteckgenauigkeit für maximal 200 m entfernte Punkte sei durch die Standardabweichung s L = 5 mm gegeben. Wie genau müssen mit dem elektronischen Tachymeter die Richtungen gemessen werden, wenn die Streckengenauigkeit s s = 3 mm beträgt? Hinweis: Beachten Sie, dass in der Formel für die Lagegenauigkeit (siehe Übung 6 Aufgabe 5.2.2) die Standardabweichung s α für die Winkel verwendet wird, hier aber nach der Standardabweichung s r für die Richtungen gefragt ist! Benutzen Sie deshalb die in Übung 5 (Aufgabe 5.2.1) abgeleitete Beziehung s α = f (s r )! Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 12