Fehler- und Ausgleichsrechnung

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1 Fehler- und Ausgleichsrechnung Daniel Gerth Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 1 / 12

2 Überblick Fehler- und Ausgleichsrechnung Dieses Kapitel erklärt: Wie man Ausgleichsrechnung betreibt Wie man Messreihen statistisch auswertet und interpretiert Wie man Fehlerfortpflanzung kontrolliert Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 2 / 12

3 Regressionsgerade Wir betrachten die folgende Aufgabe: Von einem gegebenen naturwissenschaftlichen Prozess sei bekannt, dass er durch einen eindimensionalen linearen Zusammenhang y = f(x) = mx + c modelliert werden kann. Unbekannt jedoch sind die Geradenparameter m (Steigung) und c (y Achsenabschnitt). Ausgehend von den x Werten x 1,..., x r, die allesamt verschieden voneinander sein sollen und welche wir als Messstellen interpretieren wollen, und den an diesen Stellen vorliegenden y Werten y 1,..., y r, interpretierbar als Messwerte, wollen wir auf die unbekannten Parameter m und c schließen. Wo liegt das Problem? (theoretisch reichen zwei Punktepaare (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) aus, um die Parameter m und c festzulegen).bedingt durch Fehler oder Ungenauigkeiten beim Messvorgang liegen die Punkte (x 1, y 1 ),..., (x r, y r) typischerweise jedoch nicht auf einer Geraden, d.h. y i = m x i + c + ɛ i wobei ɛ i klein ist. Wir suchen nach Kompromisse: Zu bestimmen ist dann eine Gerade y = mx + c welche den Punktepaaren zumindest leidlich nahekommt. Hinweis: Die hier präsentierte Theorie gilt analog für beliebige Polynome! Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 3 / 12

4 Für jedes Paar (x i, y i ) setzen wir trotz des Fehlers ɛ an: y i = m x i + c = ( x 1 1 ) ( ) m Man kann damit das gesamte Problem schreiben c als y 1 x 1 1 y 2 y =. = x 2 1 ( ) m = A v.. c y r x r 1 Es entsteht also eine Matrixgleichung mit y R r, A R r n und v R n in der typischerweise r > n. Bedingt durch die Messfehler hat diese Gleichung keine Lösung. Stattdessen sucht man nach Werten m und c, so dass der resultierende Vektor v einen kleinen Fehler produziert: v = min y A v 2 v Rn (Man kann dies für alle linearen Systeme y = Ax machen, wir behandeln hier jedoch nur den oben genannten Spezialfall) Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 4 / 12

5 Nun ist y A v 2 eine Funktion von R n nach R, fällt also in ein bekanntes Schema. Wir benötigen noch folgende hilfreiche Werkzeuge: Theorem 1 Sei x R n, y R m und M R m n. Dann gilt für das Skalarprodukt in R m bzw. R n : Mx, y = x, M T y Desweiteren gilt, falls M = A T : grad x ( Mx, x ) = 2Mx und grad x ( x, z ) = z Damit gilt: A v y 2 = A v y, A v v = A v, A v 2 A v, y + y, y = A T A v, v 2 A T y, v + y 2 Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 5 / 12

6 Um f( v) = y A v 2 zu minimieren, müssen wir den Gradienten gleich Null setzen: 0 = grad( y A v 2 ) = grad( A T A v, v 2 A T y, v + y 2 ) = 2A T A v 2A T y Damit ist v Lösung der so genannten Normalengleichung A T A v = A T y Die Lösung ist eindeutig, falls rang(a) = n. Dann ist A T A symmetrisch und positiv semidefinit, und die Lösung stellt tatsächlich ein Minimum dar. Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 6 / 12

7 Gegeben sei die Messreihe (x i, y i ): (1, 0.9) (3, 5.5) (5, 9.1) Wir suchen den linearen Zusammenhang y = mx + c, also ist 0.9 ( ) 1 1 y = 5.5 m, v =, A = 3 1 c Die Normalengleichung A T A v = A T y lautet ( ) 1 ( ) m = c 5 1 ( ( ) 35 9 m = 9 3) c ( ( ) ) ( ) 2.05 Die Lösung lautet v =, also gilt die Funktionsgleichung 0.98 y = 2.05x 0.98, zum Vergleich: die Gleichung mit fehlerlosen Daten ist y = 2x 1. Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 7 / 12

8 Messreihenauswertung Wir nehmen an, wir messen ein Größe x (z.b. die Dicke eines Blatt Papiers, den PH-Wert einer Lösung, usw). Für eine einzelne Messung haben wir folgende Begriffe: Definition 2.1 Gegeben sei eine Messgröße x, für welche ein Messwert x existiere. Der wirkliche, unbekannte Wert der Messgröße sei ebenfalls mit x bezeichnet. Dann heißt die Differenz x := x x der absolute Fehler der Größe x. Der Quotient heißt relativer Fehler der Größe x. x x = x x x Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 8 / 12

9 Angenommen, wir haben nun n Messwerte x 1, x 2,..., x n für unsere Größe x. Definition 2.2 Der Mittelwert der Messung ist x := 1 n die Standardabweichung ( gemittelter Fehler der Einzelmessungen ) beträgt σ := 1 n (x i x) n 1 2 und der mittlere Fehler des Mittelwertes, aslo die zu erwartende Unsicherheit für σ die Schätzung des Mittelwertes, ist n n i=1 i=1 x i Damit gilt bzw. P( x σ x i x + σ) = P( x 0.677σ x i x σ) = 0.5 Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 9 / 12

10 Fehlerfortpflanzung Als wichtige Anwendung des totalen Differentials wollen wir die unabhängigen Variablen x 1,..., x n einer Funktion f(x 1,..., x n ) als Messgrößen eines naturwissenschaftlichen Experiments interpretieren. Abhängig davon soll eine weitere Größe z = f(x 1,..., x n ) errechnet werden. Ideal wäre es, die obigen Messgrößen exakt zu x Messung = ( x 1,..., x n ) bestimmen zu können. Unter diesen Umständen resultierte daraus die ebenfalls exakt bestimmbare abhängige Größe z Messung = f( x 1,..., x n ). Die Wirklichkeit sieht anders aus. Bedingt durch Ungenauigkeiten der Messmethoden o.ä. sind die Messwerte x 1,..., x n fehlerbehaftet: Die wirklichen, aber leider unbekannten Messgrößen x 1,..., x n weichen von den gemessenen Werten x 1,..., x n geringfügig ab. Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 10 / 12

11 Welche Auswirkung haben kleine Abweichungen der realen Größen von den Messwerten auf das zu berechnende Endergebnis z? Wir wirken sich Fehler in den Messwerten auf die davon abhängige Größe z = f(x 1,..., x n) auf? Satz 3.1 Die Größe x 1,..., x n seien gemessen zu x 1,..., x n und fehlerbehaftet mit maximalen Abweichungen max x 1,..., max x n. Ist f differenzierbar in ( x 1,..., x n ), so gilt für den maximalen absoluten Fehler der abhängigen Größe z = f(x 1,..., x n ) max z f x1 ( x 1,..., x n ) max x f xn ( x 1,..., x n ) max x n. (1) Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 11 / 12

12 Wir betrachten zwei Größen x und y, deren Werte zu x 0 und ȳ 0 ermittelt wurden, aber maxx bzw. maxy fehlerbehaftet sind. Fehlerfortpflanzung bei Summation und Differenzbildung max z = max x + max y, wobei z = f(x, y) = x ± y. Fehlerfortpflanzung bei Produkt- und Quotientenbildung max p = ȳ max x + x max y, wobei p(x, y) = xy. wobei q(x, y) = x y. max q = 1 ȳ maxx + x ȳ 2 maxy, Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 12 / 12