Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

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1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen September 2009 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

2 Übersicht 1 2 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 2

3 Beispiel I Beispiel: Die Abstände von vier Punkten auf einer Geraden sollen bestimmt werden. x 1 x 2 x 3 {}}{{}}{{}}{ A B C D Zur Bestimmung dieser drei Abstände sind eigentlich nur drei Messungen notwendig. Wenn wir aber mit Messfehlern rechnen, ist es naheliegend, nicht nur die Strecken AB, BC und CD zu messen, sondern auch noch zusätzlich als Kontrollmessung die Abstände von AC, AD und BD zu bestimmen. Insgesamt erhalten wir das folgende lineare Gleichungssystem. Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 3

4 Beispiel II Beispiel: Die Abstände von vier Punkten auf einer Geraden sollen bestimmt werden. x 1 x 2 x 3 {}}{{}}{{}}{ A B C D x 1 = 1.1 x 1 + x 2 = 3.1 x 1 + x 2 + x 3 = 6.0 x 2 = 1.9 x 2 + x 3 = 4.9 x 3 = 3.2 A x = d Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 4

5 Dieses lineare Gleichungssystem A x = d ist nicht exakt lösbar. Je nach Wahl von x entsteht ein Fehler r. r = A x d Wir wollen nun eine Lösung x bestimmen, so dass der Fehlervektor r möglichst klein wird. Als Maß für die Beurteilung des Fehlers benutzen wir: r 2 = r r r 2 m! = Min (Bei der Beurteilung von Abweichungen, Soll-Ist-Vergleichen, Messfehlern etc. wird stets die Summe der Fehlerquadrate benutzt.) Für zwei Variable x 1, x 2 wollen wir die Beziehungen zur Bestimmung der ausgeglichenen Lösung explizit herleiten. Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 5

6 skizze I r 1 r 2. r m = a 11 a 12 a 21 a 22. a m1. a m2 ( x1 x 2 ) d 1 d 2. d m. Das Fehlerquadrat für die ite Komponente ergibt sich zu r i = a i1 x 1 + a i2 x 2 d i ri 2 = (a i1 x 1 + a i2 x 2 d i ) 2. Die Summe der Fehlerquadrate ist eine Funktion von x 1, x 2. f (x 1, x 2 ) = m r 2 i = m (a i1 x 1 + a i2 x 2 d i ) 2 Dies ist eine quadratische Funktion von x 1, x 2 und hat die Gestalt eines Paraboloids. Zur Bestimmung des Minimums müssen wir die ersten partiellen Ableitungen Null setzen. Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 6

7 skizze II m f (x x 1, x 2 ) = 2 (a i1 x 1 + a i2 x 2 d i ) a i1 1 { m = 2 a i1 a i1 x 1 + m a i1 a i2 x 2 m } a i1 d i = 2 { x 1 m a i1 a i1 + x 2 m a i1 a i2 m } a i1 d i Analog erhalten wir für die zweite partielle Ableitung { f (x x 1, x 2 ) = 2 x 1 m a i2 a i1 + x 2 m a i2 a i2 m } a i2 d i 2 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 7

8 skizze III Aus den Bedingungen x 1 f (x 1, x 2 ) = 0 x 2 f (x 1, x 2 ) = 0 erhalten wir das lineare Gleichungssystem für x 1, x 2 : { m } { m } x 1 a i1 a i1 + x 2 a i1 a i2 = m a i1 d i { m } { m } x 1 a i2 a i1 + x 2 a i2 a i2 = m a i2 d i bekannt unbekannt Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 8

9 Lösung Übersichtliche Darstellung des LGS mit Skalarprodukten. a 11 a 12 d 1 a 21 a 22 ( ).. x1 d 2 = x 2. ergibt: a m1 a m2 d m }{{}}{{}}{{} a 1 a 2 d x 1 (a 1 a 1 ) + x 2 (a 1 a 2 ) = a 1 d x 1 (a 2 a 1 ) + x 2 (a 2 a 2 ) = a 2 d Prinzip: überbestimmtes LGS A x = d Normalengleichung A T = A T A x = A T d Gültig für m Gleichungen in n Unbekannten (n < m) Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 9

10 A T A = A T d = = = = Normalengleichung: r = = x 1 = 1.125, x 2 = 1.875, x 3 = sind diejenigen Abstände zwischen den Punkten A, B und C, die am besten (im Sinne minimaler Fehlerquadrate) zu allen sechs Messungen passen. x 1 = x 2 = x 3 = D(x) = r T r = Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Folie: 10