Partielle Differenzialgleichungen FE-Methode. Finite Elemente. Fakultät Grundlagen. April 2011

Transkript

1 Finite Elemente Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Finite Elemente

2 Übersicht 1 Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung 2 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 2

3 Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Differenzenmethode für U xx (x, y) + U yy (x, y) = f (x, y) Wir legen ein regelmäßiges quadratisches Netz über das Gebiet G. Den Wert der exakten Lösungsfunktion U(x, y) in einem Gitterpunkt P(x i, y j ) bezeichnen wir mit U(x i, y j ), den zugehörigen Näherungswert mit U i,j. y h W h N P S E x Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 3

4 Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Differenzenmethode für U xx (x, y) + U yy (x, y) = f (x, y) Wir legen ein regelmäßiges quadratisches Netz über das Gebiet G. Den Wert der exakten Lösungsfunktion U(x, y) in einem Gitterpunkt P(x i, y j ) bezeichnen wir mit U(x i, y j ), den zugehörigen Näherungswert mit U i,j. U x (x i, y j ) U i+1,j U i 1,j 2h U y (x i, y j ) U i,j+1 U i,j 1 2h U xx (x i, y j ) U i+1,j 2U i,j + U i 1,j h 2 U yy (x i, y j ) U i,j+1 2U i,j + U i,j 1 h 2 y W Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 3 h h N P S E x

5 Variationsansatz Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Man kan zeigen, dass das Lösen von partiellen Differenzialgleichungen äquivalent zu sogenannten Variationsproblemen ist. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 4

6 Variationsansatz Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Man kan zeigen, dass das Lösen von partiellen Differenzialgleichungen äquivalent zu sogenannten Variationsproblemen ist. Physikalisch bedeutet dies, dass man an Stelle der Newtonschen bewegungsgleichung - formuliert als Diferenzailgleichung zweiter Ordnung - das Energieprinzip benützt. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 4

7 Variationsansatz Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Man kan zeigen, dass das Lösen von partiellen Differenzialgleichungen äquivalent zu sogenannten Variationsproblemen ist. Physikalisch bedeutet dies, dass man an Stelle der Newtonschen bewegungsgleichung - formuliert als Diferenzailgleichung zweiter Ordnung - das Energieprinzip benützt. Dabei sind Gebietsintegrale im IR 2 bzw. IR 3 über U(x, y) zu berechnen. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 4

8 Variationsansatz Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Man kan zeigen, dass das Lösen von partiellen Differenzialgleichungen äquivalent zu sogenannten Variationsproblemen ist. Physikalisch bedeutet dies, dass man an Stelle der Newtonschen bewegungsgleichung - formuliert als Diferenzailgleichung zweiter Ordnung - das Energieprinzip benützt. Dabei sind Gebietsintegrale im IR 2 bzw. IR 3 über U(x, y) zu berechnen. Dies soll zunächst an einem einfachen eindimensionalen Beispiel erklärt werden. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 4

9 Balkenbiegung I Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Zur Randwertaufgabe (Biegung eines zweiseitig gelagerten Balkens) w (x) = M(x) w(0) = w(1) = 0 wollen wir aus dem Energieprinzip die zugehörige Aufgabe der Variationsrechnung herleiten. Dazu betrachten wir E(w) = 1 0 [ ] 1 2 (w (x)) 2 + M(x)w(x) dx und suchen diejenige Funktion w(x), die E(w) zu einem Minimum macht. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 5

10 Balkenbiegung I Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Zur Randwertaufgabe (Biegung eines zweiseitig gelagerten Balkens) w (x) = M(x) w(0) = w(1) = 0 wollen wir aus dem Energieprinzip die zugehörige Aufgabe der Variationsrechnung herleiten. Dazu betrachten wir E(w) = 1 0 [ ] 1 2 (w (x)) 2 + M(x)w(x) dx und suchen diejenige Funktion w(x), die E(w) zu einem Minimum macht. Ist w(x) die optimale Funktion, so müssen alle Variationen w(x) + δ(x) mit δ(0) = δ(1) = 0 einen größeren Wert für E ergeben. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 5

11 Balkenbiegung II Wir betrachten die Differenz Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung δe = E(w +δ) E(w) = 1 0 [w (x) δ (x) + M(x) δ(x)] dx [δ (x)] 2 dx Vernachlässigen wir den Summanden mit Gliedern 2. Ordnung in δ (x), so erhalten wir einen stationären Punkt (Minimum) aus der Forderung δe = 1 0 [w (x) δ (x) + M(x) δ(x)] dx! = 0. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 6

12 Balkenbiegung II Wir betrachten die Differenz Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung δe = E(w +δ) E(w) = 1 0 [w (x) δ (x) + M(x) δ(x)] dx [δ (x)] 2 dx Vernachlässigen wir den Summanden mit Gliedern 2. Ordnung in δ (x), so erhalten wir einen stationären Punkt (Minimum) aus der Forderung δe = 1 0 [w (x) δ (x) + M(x) δ(x)] dx! = 0. Wir wenden auf den ersten Summanden die partiellen Integration an: w (x) δ (x)dx = w (x) δ(x) 1 0 da δ(0) = δ(1) = 0 0 w (x) δ(x)dx = Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: w (x) δ(x)dx

13 Balkenbiegung III Insgesamt erhalten wir: Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung δe = 1 0 [ w (x) δ(x) + M(x) δ(x)] dx }{{} =(M(x) w (x)) δ(x)! = 0. Dieser Ausdruck wird für alle Abweichungen δ(x) zu Null, wenn die ursprüngliche Differenzialgleichung w (x) = M(x) x [0, 1] erfüllt ist. Wir formulieren das zu diesem Randwertproblem gehörende Variationsproblem: Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 7

14 Balkenbiegung III Insgesamt erhalten wir: Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung δe = 1 0 [ w (x) δ(x) + M(x) δ(x)] dx }{{} =(M(x) w (x)) δ(x)! = 0. Dieser Ausdruck wird für alle Abweichungen δ(x) zu Null, wenn die ursprüngliche Differenzialgleichung w (x) = M(x) x [0, 1] erfüllt ist. Wir formulieren das zu diesem Randwertproblem gehörende Variationsproblem: Gesucht ist die Funktion w(x) mit w(0) = w(1) = 0, die den Ausdruck E(w) = 1 0 [ ] 1 2 (w (x)) 2 + M(x)w(x) dx minimal macht. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 7

15 Wärmeleitungsgleichung Die partielle Differenzialgleichung Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung U xx (x, y) + U yy (x, y) = f (x, y) beschreibt die Temperaturverteilung in einem homogenen Medium mit einer Wärmequelle f (x, y), wobei die Randtemperatur vorgegeben wird. G U(x, y) = ϕ(x, y) für (x, y) G Randtemperatur U(x, y) n = 0 für (x, y) G ideale Isolation Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 8

16 Wärmeleitung; Energieprinzip Lösungsmethoden Balkenbiegung Wärmeleitung Wir betrachten dazu den Energieausdruck: [ ( ) 1 I (U) = Ux 2 (x, y) + Uy 2 (x, y) 2 G ] + f (x, y)u(x, y) dxdy. Für die Variation δ(x, y) mit δ(x, y) = 0 bzw. gilt: δ(x, y) n = 0 auf dem Rand G δi = I (U + δ) I (U) { [ ] 1 = 2 (U x + δ x ) 2 Ux 2 + (U y + δ y ) 2 Uy 2 G = {U x δ x + U y δ y + f δ} dxdy G... G } + f (U + δ) fu dxdy { } δ 2 x + δy 2 dxdy Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 9

17 Wir zerlegen G näherungsweise in Dreiecke. Die Dreieckszerlegung () sei dabei so beschaffen, dass benachbarte Dreiecke entweder eine ganze Seite gemeinsam haben oder nur einen Punkt. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 10

18 Wir zerlegen G näherungsweise in Dreiecke. Die Dreieckszerlegung () sei dabei so beschaffen, dass benachbarte Dreiecke entweder eine ganze Seite gemeinsam haben oder nur einen Punkt. In jedem Dreieck wählen wir in Analogie zum Vorgehen bei Splines für die von U(x, y) einen bestimmten Funktionstyp als Ansatz. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 10

19 Wir zerlegen G näherungsweise in Dreiecke. Die Dreieckszerlegung () sei dabei so beschaffen, dass benachbarte Dreiecke entweder eine ganze Seite gemeinsam haben oder nur einen Punkt. In jedem Dreieck wählen wir in Analogie zum Vorgehen bei Splines für die von U(x, y) einen bestimmten Funktionstyp als Ansatz. Ũ(x, y) = c 1 + c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 10

20 Wir zerlegen G näherungsweise in Dreiecke. Die Dreieckszerlegung () sei dabei so beschaffen, dass benachbarte Dreiecke entweder eine ganze Seite gemeinsam haben oder nur einen Punkt. In jedem Dreieck wählen wir in Analogie zum Vorgehen bei Splines für die von U(x, y) einen bestimmten Funktionstyp als Ansatz. Ũ(x, y) = c 1 + c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 Diese quadratische Ansatzfunktion ist durch die Vorgabe von Funktionswerten in sechs Punkten festgelegt. Wir wählen dafür die Eckpunkte des Dreiecks und die drei Seitenmittelpunkte aus. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 10

21 Wir zerlegen G näherungsweise in Dreiecke. Die Dreieckszerlegung () sei dabei so beschaffen, dass benachbarte Dreiecke entweder eine ganze Seite gemeinsam haben oder nur einen Punkt. In jedem Dreieck wählen wir in Analogie zum Vorgehen bei Splines für die von U(x, y) einen bestimmten Funktionstyp als Ansatz. Ũ(x, y) = c 1 + c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 Diese quadratische Ansatzfunktion ist durch die Vorgabe von Funktionswerten in sechs Punkten festgelegt. Wir wählen dafür die Eckpunkte des Dreiecks und die drei Seitenmittelpunkte aus. Bei benachbarten Dreiecken stimmen jeweils drei Punkte miteinander überein. Eine Parabel ist aber durch drei Punkte festgelegt. Diese Parabel ist dann die Schnittkurve der benachbarten Ansatzfunktionen. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 10

22 Transformation Wir betrachten nun ein einzelnes Dreieck mit den sechs Knotenpunkten P 1, P 2,..., P 6, wobei die Eckpunkte des Dreiecks entsprechend der unteren Skizze im mathematisch positiven Sinne angeordnet seien. Zur Berechnung des Variationsintegrals unterwerfen wir das Dreieck T i einer linearen Transformation, sodass ein Normdreieck entsteht. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 11

23 Transformation Wir betrachten nun ein einzelnes Dreieck mit den sechs Knotenpunkten P 1, P 2,..., P 6, wobei die Eckpunkte des Dreiecks entsprechend der unteren Skizze im mathematisch positiven Sinne angeordnet seien. Zur Berechnung des Variationsintegrals unterwerfen wir das Dreieck T i einer linearen Transformation, sodass ein Normdreieck entsteht. y η P 3 P 1 (x 1, y 1 ) (0, 0) 1 P 3 P 6 P 5 T i P 1 P 2 P 4 x P 2 (x 2, y 2 ) (1, 0) P 3 (x 3, y 3 ) (0, 1) P P 5 6 P2 P 1 P4 1 ζ Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 11

24 Transformation Wir betrachten nun ein einzelnes Dreieck mit den sechs Knotenpunkten P 1, P 2,..., P 6, wobei die Eckpunkte des Dreiecks entsprechend der unteren Skizze im mathematisch positiven Sinne angeordnet seien. Zur Berechnung des Variationsintegrals unterwerfen wir das Dreieck T i einer linearen Transformation, sodass ein Normdreieck entsteht. y η P 3 P 1 (x 1, y 1 ) (0, 0) 1 P 3 P 6 T i P 1 P 2 P 4 P 5 x P 2 (x 2, y 2 ) (1, 0) P 3 (x 3, y 3 ) (0, 1) P 6 P 5 P2 P 1 P4 1 ζ x = x 1 + (x 2 x 1 ) ζ + (x 3 x 1 ) η y = y 1 + (y 2 y 1 ) ζ + (y 3 y 1 ) η ; J = (x 2 x 1 ) (x 3 x 1 ) (y 2 y 1 ) (y 3 y 1 ) Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 11

25 Transformation Wir betrachten nun ein einzelnes Dreieck mit den sechs Knotenpunkten P 1, P 2,..., P 6, wobei die Eckpunkte des Dreiecks entsprechend der unteren Skizze im mathematisch positiven Sinne angeordnet seien. Zur Berechnung des Variationsintegrals unterwerfen wir das Dreieck T i einer linearen Transformation, sodass ein Normdreieck entsteht. y η P 3 P 1 (x 1, y 1 ) (0, 0) 1 P 3 P 6 T i P 1 P 2 P 4 P 5 x P 2 (x 2, y 2 ) (1, 0) P 3 (x 3, y 3 ) (0, 1) P 6 P 5 P2 P 1 P4 1 ζ x = x 1 + (x 2 x 1 ) ζ + (x 3 x 1 ) η y = y 1 + (y 2 y 1 ) ζ + (y 3 y 1 ) η ; J = (x 2 x 1 ) (x 3 x 1 ) (y 2 y 1 ) (y 3 y 1 ) Wobei J das Flächenverhältnis T i zu darstellt. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 11

26 Ansatzfunktionen Wir wollen nun versuchen, die Ansatzfunktion im Normdreieck durch die Funktionswerte von U(x, y) in den 6 Dreieckspunkten auszudrücken. Für den Fall eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks lässt sich dies einfach explizit darstellen. Wir verwenden dazu sogenannte Formfunktionen, die jeweils in einem Punkt den Wert 1 annehmen und in den übrigen Punkten verschwinden. Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 12

27 Ansatzfunktionen Wir wollen nun versuchen, die Ansatzfunktion im Normdreieck durch die Funktionswerte von U(x, y) in den 6 Dreieckspunkten auszudrücken. Für den Fall eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks lässt sich dies einfach explizit darstellen. Wir verwenden dazu sogenannte Formfunktionen, die jeweils in einem Punkt den Wert 1 annehmen und in den übrigen Punkten verschwinden. N i (0 0) N i (1 0) N i (0 1) N i ( 1 2 0) N i( ) N i(0 1 2 ) N 1 = (1 ζ η) (1 2ζ 2η) N 2 = ζ (2ζ 1) N 3 = η (2η 1) N 4 = 4ζ (1 ζ η) N 5 = 4ζ η N 6 = 4η (1 ζ η) Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 12

28 Ansatzfunktion N 1 (ζ, η) N 1 (ζ, η) = (1 ζ η) (1 2ζ 2η) Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 13

29 Ansatzfunktion N 4 (ζ, η) N 4 (ζ, η) = 4ζ (1 ζ η) Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 14

30 Auswertung des Integrals f (x, y)dxdy i f (x, y)dxdy = i J i f i (ζ, η)dζdη i Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 15

31 Auswertung des Integrals f (x, y)dxdy i f (x, y)dxdy = i J i f i (ζ, η)dζdη i Im Normdreieck approximieren wir f i (ζ, η) durch Interpolation der sechs Punkte auf den Bergrenzungsgeraden: f i (ζ, η) 6 f i,j N j (ζ, η) j=1 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 15

32 Auswertung des Integrals f (x, y)dxdy i in i gilt: f 1 = f (0, 0) = f (x 1, y 1) f 2 = f (1, 0) = f (x 2, y 2) f 3 = f (0, 1) = f (x 3, y 3) f 4 = f ( 1, 0) = f ( x 1+x 2, y 1+y f 5 = f ( 1, 1 ) = f ( x 2+x 3, y 2+y f 6 = f (0, 1 ) = f ( x 1+x 3, y 1+y f (x, y)dxdy = J i i f i (ζ, η)dζdη ) 2 ) 2 ) 2 i Im Normdreieck approximieren wir f i (ζ, η) durch Interpolation der sechs Punkte auf den Bergrenzungsgeraden: f i (ζ, η) 6 f i,j N j (ζ, η) j=1 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 15

33 Auswertung des Integrals f (x, y)dxdy i in i gilt: f 1 = f (0, 0) = f (x 1, y 1) f 2 = f (1, 0) = f (x 2, y 2) f 3 = f (0, 1) = f (x 3, y 3) f 4 = f ( 1, 0) = f ( x 1+x 2, y 1+y f 5 = f ( 1, 1 ) = f ( x 2+x 3, y 2+y f 6 = f (0, 1 ) = f ( x 1+x 3, y 1+y f (x, y)dxdy = J i i f i (ζ, η)dζdη ) 2 ) 2 ) 2 i Im Normdreieck approximieren wir f i (ζ, η) durch Interpolation der sechs Punkte auf den Bergrenzungsgeraden: f i (ζ, η)dζdη 6 j=1 f i,j N j (ζ, η)dζdη f i (ζ, η) 6 f i,j N j (ζ, η) j=1 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 15

34 Auswertung des Integrals f (x, y)dxdy i in i gilt: f 1 = f (0, 0) = f (x 1, y 1) f 2 = f (1, 0) = f (x 2, y 2) f 3 = f (0, 1) = f (x 3, y 3) f 4 = f ( 1, 0) = f ( x 1+x 2, y 1+y f 5 = f ( 1, 1 ) = f ( x 2+x 3, y 2+y f 6 = f (0, 1 ) = f ( x 1+x 3, y 1+y f (x, y)dxdy = J i i f i (ζ, η)dζdη ) 2 ) 2 ) 2 i Im Normdreieck approximieren wir f i (ζ, η) durch Interpolation der sechs Punkte auf den Bergrenzungsgeraden: f i (ζ, η)dζdη 6 j=1 f i,j N j (ζ, η)dζdη = f i (ζ, η) 6 f i,j N j (ζ, η) j=1 6 f i,j j= für j = 1 für j = 2, 3 für j = 4, 5, 6 Fakultät Grundlagen Finite Elemente Folie: 15