*** 2.2. Variation mit Nebenbedingung (Ergänzung: wird nicht geprüft)

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Paulina Schulze
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1 *** 2.2. Variation mit Nebenbedingung (Ergänzung: wird nicht geprüft) In manchen Problemen sind nicht alle möglichen Funktionen als Lösung erlaubt, sondern nur Funktionen, die zusätzliche Bedingungen erfüllen. Beispiel: Ein Seil sei an zwei Punkten im Schwerefeld aufgehängt. Durch welche Kurve wird die Gleichgewichtslage beschrieben? y 1 y(x) y 2 x 2 x 1

2 Das Seil stellt sich so ein, dass die potenzielle Energie minimal wird. Wenn y(x) die gesuchte Kurve ist, dm ein Massenelement mit homogener Massendichte ρ (Masse pro Länge l), so dass dm = ds = 1 y' 2 dx mit dem Wegelement ds, dann lautet die Gleichgewichtsbedingung P 2 x 2 J = U pot = dm gy = g P 1 y 1 y ' 2 dx = minimal Mathematisch haben wir wieder ein Variationsproblem mit festen Randwerten y = y 1, y x 2 = y 2. Die mögliche Kurve y(x) unterliegt aber der zusätzlichen Einschränkung, dass die Länge L des Seils fest vorgegeben ist. Wir haben damit die Nebenbedingung x 2 K [ y] = dx 1 y' 2 = L = const. 2

3 Diese Art von Nebenbedingung K[y] = const. nennt man isoperimetrisch (= von gleichem Umfang). Zuerst lösen wir das einfachere Problem, das Extremum einer Funktion mehrerer Variabler unter einer Nebenbedingung zu finden. Lagrange-Multiplikatoren y gegebene Funktion f(x,y) Höhenlinien f(x,y) = const. Nebenbedingung: Punkt auf Linie g(x,y) = 0 y 1 g(x,y)=0 x Wir suchen die Werte und y 1, für die f(x,y) unter der Nebenbedingung g(x,y)=0 minimal wird. Die Nebenbedingung g(x,y)=0 sei in der Form y=y g (x) darstellbar, so dass g(,y g (x)) = 0. 3

4 Wir suchen dann das Minimum von f auf der Kurve y g (x). Damit können wir f als Funktion der Variablen x schreiben f(x, y g (x)). d dx f x, y g x = f x, y g x f x, y g y dy g dx = 0 Das ist eine Gleichung zur Bestimmung von, der Wert für y 1 = y g ( ). Mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren können wir die explizite Auflösung von g(x,y)=0 nach y g (x) umgehen. Die folgenden Gleichungen sind äquivalent zur obigen Bestimmungsgleichung von. f x, y x f x, y y g x, y = 0 x g x, y = 0 y g x, y = 0 Um zu zeigen, dass diese 3 Gleichungen die obige Bestimmungsgleichung für gibt, stellen wir uns vor, wir kennen y g (x). Die letzte Gleichung lautet dann g x, y = y y g x = 0 Wir setzen dies für g(x,y) in die ersten beiden Gleichungen ein und eliminieren λ. 4

5 f x y ' g x = 0 f y = 0 f x f y y' = 0 g Damit können wir unser Problem in der folgenden Art lösen: Man sucht ohne Rücksicht auf die Nebenbedingung die Lösung von h(x,y) = f(x,y) λg(x,y) = minimal Die gefundene Lösung y = y(x, λ) enthält einen Parameter λ. Dieser Parameter wird so angepasst, dass die Nebenbedingung erfüllt wird. Natürlich erscheint es sehr umständlich, mehrere Gleichungen statt einer Gleichung zu lösen. Der Vorteil ist aber, dass die Nebenbedingung g(x,y)=0 nicht nach y aufgelöst werden muss, vor allem, da solch eine Auflösung nicht immer einfach möglich ist (g(x,y)=sin(x 2 +y 2 )). 5

6 Verallgemeinerung auf N Variablen: f(,..., x N ) = minimal mit g α (,..., x N ) = 0 (α = 1,..., R) Nebenbedingungen. Man erhält N + R Gleichungen x i R f,..., x N g,..., x = 0 N =1 i = 1,..., N g,..., x N = 0 =1,..., R für N+R Unbekannte x i und λ α. 6

7 Variation mit Nebenbedingung: Wir kommen nun zu unserem ursprünglichen Problem in allgemeiner Form zurück: Minimierung eines Funktionals mit isoperimetrischen Randbedingungen mit der Nebenbedingung x 2 J [ y]= dx F y, y', x = minimal x 2 K [ y] = dx G y, y ', x = C = const. mit festen Rändern y( )=y 1 und y(x 2 )=y 2. Erinnerung: Beispiel Kettenlinie y 1 y(x) y 2 x 7

8 Die Funktion y(x) sei die gesuchte Funktion. Um die Nebenbedingung K[y] zu erfüllen, benötigen wir zwei linear unabhängige Funktionen η 1 (x) und η 2 (x), die auf den Rändern verschwinden K 1, 2 = K [ y ] = C Die Bedingung K(є 1,є 2 ) = C ist eine Kurve in der є 1 - є -Ebene. Eine Variation der 2 Form y+є 1 η 1 +є 2 η 2 ist genau dann mit der Nebenbedingung verträglich, wenn є 1 und є 2 auf der Kurve K(є 1,є 2 ) = C liegen. Für die gesuchte Funktion y gilt J 1, 2 = J [ y ] = minimal mit K 1, 2 = C Das Minimum muss bei є 1 = є 2 = 0 liegen. Dieses Problem haben wir bereits mit den Lagrange-Multiplikatoren gelöst. 8

9 Die Nebenbedingung ist g = K(є 1,є 2 ) - C und f = J(є 1,є 2 ). Da die Konstante C keinen Einfluss auf die Lage des Minimums hat, kann sie bei den Ableitungen weggelassen werden. J K 1 = 0 J K 2 = 0 Die resultierende Bedingung lautet: K 1, 2 = C x 2 x 2 dx H y, y ', x = dx F G = minimal. Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind Lösung d dx H y, y ', x y ' = H y, y ', x y d F dx y ' G y' = F y G y 9

10 Die Lösung dieser Differenzialgleichung 2. Ordnung enthält zwei Integrationskonstanten c 1, c 2 und den Parameter λ, y = y(x,c 1,c 2,λ). c 1 und c 2 werden durch die Randbedingung gegeben, λ durch die Nebenbedingung. Beispiel Seil (Kettenlinie) H = F G = y 1 y ' 2 1 y' 2 = 1 y ' 2 y H hängt nicht explizit von x ab H / x = 0. d dx H y, y ' = H y y ' H y ' y ' ' d H dx y ' y ' = d d x H y ' y ' H y ' y' ' 10

11 Subtraktion beider Gleichungen liefert d dx H d H dx y ' d dx H H y ' y ' = H y ' = 0 y d H dx y ' Euler Lagrange Gleichung y ' d dx H y ' = H y Damit brauchen wir die Lösung für H H y ' = const. = a y ' H = [ y 1 y ' 2 y ' ] = y y ' y ' 1 y ' 2 H H y ' = y y ' 1 y ' = a 2 11

12 Umformen nach y' 2 gibt y 2 = a 2 1 y' 2 y ' 2 = 1 a 2 y 2 1 Durch Einsetzen kann man überprüfen, dass y x = a cosh x a b eine Lösung ist. cosh x = e x e x 2 sinh x = e x e x 2 Die Parameter a, b und λ werden durch Anfangs- und Nebenbedingung bestimmt. x 2 y = y 1, y x 2 = y 2 und dx 1 y ' 2 =L Wir wählen für die Aufhängepunkte, y 1 = -1,0 und x 2, y 2 = 1,0 12

13 Dann folgt 0 = a cosh 1 mit den Werten b = 0 a b 0 = a cosh 1 a b = a cosh 1 a Der verbliebene Parameter a wird durch die Länge L bestimmt. x 2 1 L = dx 1 y ' 2 = 1 dx 1 sinh x a 2 1 = dx cosh x 1 a = a sinh a = 2 a sinh 1-1 a Der minimale Abstand der Aufhängepunkte beträgt 2. Für L < 2 existiert keine Lösung. Für L > 2 existieren zwei Lösungen a = a 0 und a =-a 0 13

14 a = a 0 > 0) Diese Lösung entspricht dem durch hängenden Seil. L = 3, a 0 = 0, a = -a 0 < 0) Für diese Lösung ist die potenzielle Energie maximal. Diese Lösung entspricht der optimalen Linie für einen Torbogen aus druckfestem Material (Beton). Das Gewicht wird durch Druckkräfte kompensiert, die Seitenkräfte verschwinden. 14

15 Die Kettenlinienform wurde annähernd für den 192 m hohen Gateway Arch in St. Louis (Missouri) gewählt. 15

16 Als Konstruktionsprinzip bei der Kathedrale Sagrada Família von Antoni Gaudí genutzt. 16

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