Mathematisches Proseminar - Rotationssymmetrisches Wirbelstromproblem

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1 Mathematisches Proseminar - Rotationssymmetrisches Wirbelstromproblem Daniel Leumann 9. Oktober 3 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung 3 Methoden 4. Schwache Lösung DasGalerkin-Verfahren FiniteElementeMethode Aufstellen der Gleichungen 6 3. Anfangsbedingunenbzw.Randbedingungen MaxwellscheGleichungen Berechnung 4. BerechnungderSteifigkeitsmatrix Berechnung der Diagonalelemente BerechnungdesrechtenElementes Berechnung des rechten oberen Elementes BerechnungdesoberenElementes BerechnungdeslinkenoberenElementes Assemblierung der Matrix Der Vektor l = j Tests 7 5. Exakte LösungmitvorgegebenenE-Feld... 7

2 5. Berechnungen fürverschiedeparameter ω = Für f =5Hz bzw. ω = 34.6 s Für f = Hz bzw. ω = 683. s...

3 Zusammenfassung Das Ziel dieser Aufgabe ist die Berechnung der phi-komponente des elektrischen Feldes in einem Medium, dessen Geometrie vorgegeben wird. Der erste Teil der Aufgabe besteht darin, sich mit der Methode der Finiten Elemente vertraut zu machen. Dann soll mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen das physikalische Problem beschrieben werden, wobei die Randbedingungen die vorgegeben sind) eine zentrale Rolle spielen. Die Gleichungen werden in der Schwachen Formulierung dargestellt. Zur Lösung dieses Problems wird das Galerkin- Verfahren verwendet, dessen praktische Realisierung auf die Finite Elemente Methode basiert. Die gesuchten Grössen werden mit Matlab) numerisch ermittelt. - Resultate: Die Werte für E φ erschienen vorerst richtig. Doch zeigte sich der erwartete Skin-Effekt nicht. Die Implementierung weist Fehler bei Metallübergängen auf. Die Werte von E φ sind dort deutlich zu hoch. Vor allem für tiefe Kreisfrequenzen. 3

4 Methoden. Schwache Lösung Betrachtet werden polygonale Gebiete R. Das sind Gebiete deren Rand aus einer endlichen Vereinigung geradliniger Kanten besteht. Auf diesen Gebieten gilt die Greensche Formel v udx= v ν uds σgradvgradudx ) Γ für u C ) und v C ) wobei ν u = νgrad u die Ableitung von u in Richtung der Äusseren Normalen ν am Rand des Gebietes und... das entsprechende Randintegral. Γ Eine wichtige Verallgemeinerung der Greenschen Formel ist das folgende Integral für hinreichend oft differenzierbare σ, u, v vdivσ gradu)dx = v ν uds σgradvgradudx ) Γ Bisher war gefordert, dass u zweimal stetig differenzierbar ist. Aufgrund der Gültigkeit der Cauchy-Schwarz-Ungleichungen und bei Voraussetzung der Dirichlet Randbedingungen lässt sich als Beispiel folgendes Randwertproblem schwach formulieren: Es seien σ und c beschränkte Funktionen mit cx) c und <σ σx) σ. Dann hat das Randwertproblem L[u] = divσgradu)+cu = f mit u Γ =dielösung. σgradugradvdx+ cuv dx = fvdx 3). Das Galerkin-Verfahren Um die Schreibweise zu vereinfachen, schreibt man: au, v) = σgradugradvdx+ und lv) = cuv dx 4) fv dx 5) Mit diesen Definitionen lässt sich die schwache Lösung als Variationsproblem formulieren. au, v) =lv) 6) Das Galerkin-Verfahren besteht darin, dass ein Teilgebietes als Ansatz- und Testgebiet gewählt wird und eine Funktion u h aus dem Teilgebiet mit au h,v)=fv) 7) Ist φ,...,φ eine Basis des Teilgebietes, dann führt der Lösungsansatz u h = n u i φ i 8) i= 4

5 auf das Gleichungssystem Au h = b 9) mit A =[aφ i,φ j )] ij R n n b =[blφ j ))] j R n ).3 Finite Elemente Methode Das zu untersuchende Gebiet wird in Quadrate aufgeteilt, wobei die jeweiligen Punkte lexikographisch numeriert sind. Die Basisfunktionen sind: β = r ) z ) h r hz ) r z ) β 3 = hz h r ) r β = z ) h r hz β 4 = r ) z ) h r hz ) ) 5

6 3 Aufstellen der Gleichungen 3. Anfangsbedingunen bzw. Randbedingungen Eine der zentralen Randbedingungen ist das rotationssymmetrische Wirbelfeld φ =.Weiter sind die Permeabilität und der spezifische Leitwert lokal konstante Grössen: = r, z) =, 3) σ = σr, z) =σ, 4) 5) Wobei σ =für Werte ausserhalb des Metalles. Am Rand des betrachteten Gebietes werden die Felder als null angenommen. 3. Maxwellsche Gleichungen Um die elektrischen, wie magnetischen Felder in einem Medium zu berechnen, geht man von den Maxwellgleichungen aus, wobei hier schon eine erste Randbedingung eine wichtige Rolle spielt: D =. Dadurch vereinfachen sich die Maxwellgleichungen zu rote = iωh 6) roth = σe + j 7) Die Rotation rotv für einen beliebigen Vektor in Zylinderkoordinaten ist rot r V = r φv z z V φ 8) rot φ V = z V r r V z 9) rot z V = r { rrv φ ) φ V r } ) ) 6

7 Benutzt man nun die Randbedingung φ =, so folgt, dass für die Gleichung 6) heisst das und weiter für Gleichung 7) rot r V = z V φ ) rot φ V = z V r r V z 3) rot z V = r { rrv φ )} 4) 5) rot r E = z E φ = iωh r 6) rot φ E = z E r r E z = iωh φ 7) rot z E = r { rre φ )} = iωh z 8) 9) rot r H = z H φ = σe r + j r 3) rot φ H = z H r r H z = σe φ + j φ 3) rot z H = r { rrh φ )} = σe z + j z 3) um nun die die φ-komponente des E-Feldes zu bestimmen, muss man H r,h z eliminieren. Setzt man also aus den Gleichungen 6), 8) H r,h z in die Gleichung 3) ein, so folgt: iωσe φ + j φ )= z { ze φ } { } + r r rre φ ) Gesucht ist nun die schwache Formulierung des Problems: Für u C ),v C ) und das beschränkte polygonale Gebiet R v u dx = vν grad u ds grad v grad u dx 34) Die verallgemeinerte Greensche Formel vdivσ gradu) dx = Λ Λ vσ ν u ds 33) σv grad u dx 35) ermöglicht, die Beschreibung des Problems durch die schwache Formulierung. Die nächste Punkt, ist also die Gleichung für E φ 33) so auszudrücken, dass die verallgemeinerte Greensche Formel benutzt werden kann. Dazu muss man die Operatoren div, grad) inzy- linderkoordinaten ausdrücken. Wobei hier die Randbedingung φ = schon eingesetzt wurde div V = r rrv r )+ z V z 36) grad u = e r r u + e z z u 37) 7

8 Weiter benötigt man für die Integration die Funktionaldeterminante. Für Zylinderkoordinaten: x = rcosφ 38) y = rsinφ 39) z = z 4) Die Funktionaldeterminante ist dann r x φ x z x r y φ y z y r z φ z z z = cosφ) rsinφ) sinφ) rcosφ) = r 4) Allgemein gilt für die partielle Integration in Zylinderkoordinaten v divu + u vdx = u n vds 4) mit den Gleichungen 36), 37) und mit v = folgt ) v r rru r )+ z u z rdrdz= u r r v + u z z v) rdrdz 43) Nun muss das Resultat 33) auf die Form 43) gebracht werden { } { }) v z zeφ + r r rre φ ) rdrdz= 44) = { } v z zeφ rdrdz+ umgeformt ergibt das { } v z zeφ rdrdz+ mit Gleichung 43) folgt ze φ ) z v)rdrdz daraus folgt: = und mit Gleichung 33) rv) r r { } { v z zeφ + r { } v r r rre φ ) rdrdz { } r rre φ ) rdrdz= 45) r rre φ ) r rv)rdrdz= 46) }) r rre φ ) z E φ ) z v)+ r rre φ ) r rv) rdrdz= 47) ) rdrdz 8

9 z E φ ) z v)+ ) r rre φ ) r rv) rdrdz= iω vσe φ + j φ )rdrdz 48) und daraus { z E φ ) z v)+ ) } r rre φ ) r rv) + iωvσe φ rdrdz= iω vj φ rdrdz 49) 9

10 4 Berechnung 4. Berechnung der Steifigkeitsmatrix Definiert man nun den linken Teil der Gleichung mit { au, v) = z u) z v)+ ) r rru) r rv) } + iωσuv rdrdz 5) und den rechten Teil mit lv) = iω vj φ rdrdz 5) so lässt sich das Problem folgendermassen schreiben au, v) =lv) 5) bzw. für dieses Problem ae φ,v)=lv) 53) Die Steifigkeitsmatrix wird folgendermassen berechnet A =[aβ i,β j )] ij 54) wobei es sich bei β i um die Basisfunktionen handelt, die so angeordnet sind, so dass für einzelne Punkte folgendes Bild entsteht: Graphisch dargestellt: 4.. Berechnung der Diagonalelemente Um die ersten N Elemente der Steifigkeitsmatrix zu berechnen, muss man die Basisfunktionen in die Gleichung 49) einsetzen

11 z r.8 Abbildung : Basisfunktion β z r.8 Abbildung : Basisfunktion β z r.8 Abbildung 3: Basisfunktion β 3

12 z r.8 Abbildung 4: Basisfunktion β 4 A ii = jh ih j )h i )h jh i+)h j )h ih j+)h ih jh i )h j+)h i+)h jh ih { { { z β 3) z β 3)+ ) } r rrβ 3) r rβ 3) + iωσβ 3β 3 rdrdz+ z β 4) z β 4)+ ) } r rrβ 4) r rβ 4) + iωσβ 4β 4 rdrdz+ { z β ) z β )+ ) } r rrβ ) r rβ ) + iωσβ β rdrdz+ z β ) z β )+ ) } r rrβ ) r rβ ) + iωσβ β rdrdz 55) Wobei für Elemente bei r = gilt { A j = z E φ ) z v)+ ) r rre φ ) r rv) { = r r E φ ) r v)+e φ r v + v r E φ + E ) φv r 4.. Berechnung des rechten Elementes } + iωσe φ v rdrdz= 56) } + iωσe φ vr drdz

13 Dementsprechend ist aufzuintegrieren und die entsprechenden Basisfunktionen einzusetzen. Die Werte sind auszuwerten bei i =...N 57) j =...N 58) Die Werte sind A ij = jh i+)h j )h ih j+)h i+)h jh ih { { z β 3) z β 4)+ ) } r rrβ 3) r rβ 4) + iωσβ 3β 4 rdrdz+ z β ) z β )+ ) } r rrβ ) r rβ ) + iωσβ β rdrdz 59) 4..3 Berechnung des rechten oberen Elementes i =...N 6) j =...N 6) A ij = j+)h i+)h jh ih { z β 3) z β )+ ) } r rrβ 3) r rβ ) + iωσβ 3β rdrdz 6) 4..4 Berechnung des oberen Elementes Die Werte sind A ij = j+)h ih jh i )h j+)h i+)h jh ih { { i =...N 63) j =...N 64) z β 3) z β )+ ) } r rrβ 3) r rβ ) + iωσβ 3β rdrdz+ z β 4) z β )+ ) } r rrβ 4) r rβ ) + iωσβ 4β rdrdz 3 65)

14 Wobei wiederum für Elemente bei r = gilt { A j = r r E φ ) r v)+e φ r v + v r E φ + E ) φv r 4..5 Berechnung des linken oberen Elementes } + iωσe φ vr drdz 66) Die Werte sind A ij = j+)h ih jh i )h i =...N 67) j =...N 68) { z β 4) z β )+ ) } r rrβ 4) r rβ ) + iωσβ 4β rdrdz 69) 4. Assemblierung der Matrix Die entsprechenden Werte werden jetzt in die Matrix eingetragen. Wobei die Matrix symmetrisch ist! 4

15 Die Matrix hat 9N 4N 4 7) Elemente. Es lohnt sich also die sparse-matrizen Funktionen von Matlab zu benutzen, da schon für kleine Matrizen das Verhältnis fast dem des Limes N entspricht. Das Besetzungsdichteverhältnis in Funktion von N ist 9N 4N 4 N 7) 8 Besetzungsdichte-Verhaeltnis N Am effizientesten ist es, die einzelnen Vektoren zu bestimmen und diese dann zu einer Matrix zusammenzusetzen. 4.3 Der Vektor l = j Die Rechte Seite der Gleichung 49): { z E φ ) z v)+ r rre φ ) r rv) ) + iωvσe φ } rdrdz= iω vj φ rdrdz 5

16 lässt sich durch numerische Quadratur bestimmen j φ vr drdz = Q Und es gilt: Q Q j φ vr drdz 7) fdrdz= 4 4 Q fa i ) 73) wobei a i die Eckpunkte des jeweiligen Quadrates Q ist und Q die Fläche des jeweiligen Quadrates. Setzt man nun für f = j φ vr, so folgt: Q i= j φ vr drdz = 4 4 Q j φ a i )vr 74) und daraus: j φ vr drdz = 4 4 Q j φ a i )vr 75) Q i= Die Summe über alle Quadrate muss nicht berechnet werden, da die Basisfunktionen ausserhalb des Quadrates null sind. Hinzu kommt noch, dass j φ nur dann nicht null ist, wo der Leiter den Strom führt. i= 6

17 5 Tests 5. Exakte Lösung mit vorgegebenen E-Feld Der Code wird nun so überprüft, dass bei vorgegebenem E φ der Strom mittels der exakten Lösung bestimmt wird. Wegen den partiellen Ableitungen muss konstant gewählt werden. Löst man die Gleichung 33) nach j φ auf, so folgt j φ = σe φ + iω z { ze φ und wenn für E φ folgendes setzt, mit N = 5 und h =.5 was folgendermassen aussieht: E φ } + { } iω r r rre φ ) 76) E φ = rr Nh)zz Nh) E φ = rr 5)zz 5) 77) 5 4 z r erhält man für j φ mit Gleichung 76) 5 4 z r 7

18 Benutzt man nun diesen Strom, um das Feld E φ mit der Steifigkeitsmatrix zu berechnen erhält man: r z was der ursprünglichen analytischen Funktion 77) entspricht. 8

19 r 5. Berechnungen für verschiede Parameter 5.. ω = Für tiefe Frequenzen ω zeigen sich Probleme bei den Metallübergängen. Dieses Beispiel wurde mit folgenden Parametern bestimmt: N = 5, h =., ω =, für Eisen ist: =4π 7 Vs, 7 Vs Am =4π, σ Am =. 7 S, σ m =. Und das Metall und der stromdurchflossenen Leiter sind folgendermassen angeordnet. Das obere kleine Rechteck ist der stromdurchflossene Leiter. Das Rechteck unten ist das Metall z Die φ-komponente des E-Feldes E φ hat dann folgende gestallt: 4 8 r z Die Erhöhung des Feldes in der Nähe des stromdurchflossenen Leiters sollte nicht da sein. 9

20 5.. Für f =5Hz bzw. ω = 34.6 s Mit den selben Parametern wie im oben erwähnten Beispiel und der selben Anordnung. Das ergibt für E φ 4 8 r z

21 5..3 Für f = Hz bzw. ω = 683. s Mit den selben Parametern wie im oben erwähnten Beispiel und der selben Anordnung. Das ergibt für E φ 4 8 r z Hier sollte der Skin-Effekt zu beobachten sein. Was nicht der Fall ist.