FEM isoparametrisches Konzept

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2 Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente 2. Finite-Element-Typen 3. Geometrie 4. Lagrange sche und Hermite sche Elementfamilie 5. Ansatzfunktion 6. Kartesische-natürliche Koordinaten 7. Isoparametrisches Konzept 8. Beispiel zum isoparametrischen Konzept /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/inhaltsverzeichnis.tex Seite 2 von 25. p.2/25

3 Interpolationsfunktion für FEM Bei der Methode der finiten Elemente gilt folgendes: Die globale Funktion einer gesuchten Funktion besteht aus einer Summe von lokalen Funktionen: E e= G e N e i dg e Standard Galerkin Verfahren: Interpolationsfunktion entspricht der Gewichtsfunktion Ritz Verfahren: globales Variationsprinzip wird aus der Summe der lokalen Variationsprinzipien konstruiert. /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/interpol_funkt.tex Seite 3 von 25. p.3/25

4 Interpolationsfunktion für FEM Kritischer Schritt bei der FEM: Wahl geeigneter Interpolationsfunktionen, die durch die Form der finiten Elemente und die Approximationsordnung gekennzeichnet sind. Die Wahl der finiten Elemente hängt ab von der Geometrie des globalen Gebietes, der gewünschten Genauigkeit des Gebietes, der einfachen Integration über das Gebiet. /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/interpol_funkt2.tex Seite 4 von 25. p.4/25

5 Finite Element Typen Um spezielle physikalische Probleme formulieren zu können, sind oft mehrere Elementtypen erforderlich. Sie werden unterschieden nach der Geometrie (-D, 2-D oder 3-D), Wahl der Interpolationsfunktion (Polynome; Lagrange sche oder Hermite sche Polynome), Wahl der Elementkoordinaten (Kartesische oder natürliche Koordinaten), Wahl der an den Knoten spezifizierten Variablen und Gradienten derselben (Lagrange sche Gruppe mit lediglich Variablen oder Hermite sche Gruppe auch mit deren Ableitungen). /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/fe_typen.tex Seite 5 von 25. p.5/25

6 Beispiele für Geometrien a) Quadratische Elemente mit geraden Seitenkanten b) Quadratische Elemente mit gekrümmten Seitenkanten c) Kubische Elemente /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/geometrie.tex Seite 6 von 25. p.6/25

7 Ansatzfunktion (D Lagrange) Lagrange sche Polynome: u = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x oder u = a 0 + a i x i mit i = lineare Veränderliche i = 2 quadratische Veränderliche i = 3 kubische Veränderliche -D-Element mit zwei Knoten: 2 Für jeweils eine Variable an zwei Knoten benötigen wir eine lineare Veränderlichkeit. /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/ansatz_lagrange.tex Seite 7 von 25. p.7/25

8 Lagrange sche Polynome Lagrange sche Interpolationsfunktionen ersparen uns eine Invertierung der Koeffizientenmatrix, die bei der Nutzung von Standard Polynomen notwendig wäre. Sie haben die folgende Form u(x) = L (x)u + L 2 (x) + + L n (x)u n. wobei L N (x) so ausgewählt wird, dass L N (x) hat die folgende Form L N (x m ) = δ NM. L N (x) = c N (x x )(x x 2 )... (x x N )(x x N+ )... (x x n ). /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/lagrangian_poly.tex Seite 8 von 25. p.8/25

9 Lagrange sche Polynome c N wird bestimmt als c N = (x N x )(x N x 2 )... (x N x N )(x N x N+ )... (x N x n ). Das Polynom ergibt sich damit wie folgt L N (x) = (x x )(x x 2 )... (x x N )(x x N+ )... (x x n ) (x N x )(x N x 2 )... (x N x N )(x N x N+ )... (x N x n ). Bei einer quadratischen Näherung ergibt sich L (x) = (x x 2)(x x 3 ) (x x 2 )(x x 3 ) L 3 (x) = (x x )(x x 2 ) (x 3 x )(x 3 x 2 ). L 2 (x) = (x x )(x x 3 ) (x 2 x )(x 2 x 3 ) /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/lagrangian_poly2.tex Seite 9 von 25. p.9/25

10 Lagrangian polynomials Für das folgende Element 0 erhalten wir L = x (x ), 2 L 2 = x 2, L L 3 L 2 L 3 = x (x + ). 2 0 /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/lagrangian_poly3.tex Seite 0 von 25. p.0/25

11 Ansatzfunktion (D Hermite) Hermite sche Polynome: Bei eindimensionalen Elementen mit 2 Knoten kann ein kubischer Ansatz mit Hilfe der Ableitungen der Funktionen realisiert werden. ( ) û ũ(ξ) = Hj 0 (ξ)û j + Hj (ξ) j =, 2 ξ ũ(ξ) = N r w r r =, 2, 3, 4 N = H 0 = 3ξ 2 + 2ξ 3 N 2 = H2 0 = 3ξ 2 2ξ 3 N 3 = H = ξ 2ξ 2 + ξ 3 N 4 = H2 = ξ 3 ξ 2 /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/ansatz_hermite.tex Seite von 25. p./25

12 Ansatzfunktion (D Hermite) Die Funktionen sehen dann wie folgt aus. Jede Funktion bzw. deren Ableitung ist an den beiden Knoten in drei von vier Fällen null und nur in einem Fall eins. 0.8 H 0 H H 0 H /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/ansatz_hermite_2.tex Seite 2 von 25. p.2/25

13 Natürliche Koordinaten Der generelle Ansatz stützt sich auf die Verwendung natürlicher Koordinaten, ξ. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt dabei entweder am linken Ende (obere Abbildung) oder im Zentrum des Gebiets (unteres Abbildung). ξ=0 ξ= ξ=0 2 ξ= 2 ξ= /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/natural_coord.tex Seite 3 von 25. p.3/25

14 Natürliche Koordinaten Die Interpolationsfunktionen lauten dann für die obere Abbildung ϕ = ξ ϕ 2 = ξ, für die untere Abbildung ϕ = ( ξ) 2 ϕ 2 = ( + ξ). 2 /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/natural_coord22.tex Seite 4 von 25. p.4/25

15 Kartesische natürliche Koordinaten Isoparametrische Elemente Definition: Es wird die gleiche parametrische Funktion, die die Geometrie beschreibt, für die Interpolation der Variablen (Verschiebung, Wasserstand etc.) innerhalb eines Elementes benutzt. Einführung eines lokalen Koordinatensystems, da dort die Basisfunktionen für jedes Element gleich sind. 2 s r 3 4 N = ( r) ( = 4 N 2 = 4 N 3 = 4 N 4 = s) ( + r)( + s) Analog: ( r)( + s) ( r)( s) ( + r)( s) /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/koordinaten.tex Seite 5 von 25. p.5/25

16 Kartesische natürliche Koordinaten Weitere Beispiele für Interpolationsfunktionen:. Interpolationsfunktion für ein 2-D-Element mit einer von 4 bis 9 variablen Knotenzahl y s s = Knoten s = 0 r 3 r = - 7 r = 0 r = + 4 s = - x /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/koordinaten2.tex Seite 6 von 25. p.6/25

17 Kartesische natürliche Koordinaten i = 5 i = 6 i = 7 i = 8 i = 9 h = ( + r)( + s) 4 h h 2 8 h 4 9 h 2 = ( r)( + s) 4 h 2 5 h 2 6 h 4 9 h 3 = ( r)( s) h 2 6 h 2 7 h 4 9 h 4 = ( + r)( s) h 2 7 h 2 8 h 4 9 h 5 = ( 2 r2 )( + s) h 2 9 h 6 = ( 2 s2 )( r) h 2 9 h 7 = ( 2 r2 )( s) h 2 9 h 8 = ( 2 s2 )( + r) h 2 9 h 9 = ( r 2 )( s 2 ) /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/koordinaten3.tex Seite 7 von 25. p.7/25

18 Isoparametrisches Konzept y 7 s G e 5 T ii + i R e 3 + r x iii iv 25 Man kann sich viel Arbeit ersparen, wenn man seine Ansatzfunktionen nicht für jedes Element neu aufstellt, sondern nur einmal für ein Referenzelement. Diese Ansatzfunktionen kann man dann durch eine geeignete Transformation auf jedes globale Element anwenden. /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/isopara_concept.tex Seite 8 von 25. p.8/25

19 Isoparametrisches Konzept Bei technischen Anwendungen (z.b. Grundwasser W ĥ) sind häufig Ausdrücke in kartesischen Koordinaten zu differenzieren oder zu integrieren. Da die Funktionen durch isoparametrische Koordinaten dargestellt werden, sucht man eine Transformation zwischen den beiden Koordinatensystemen, dem globalen x,y-system und dem lokalen r,s-koordinatensystem. Dies kann mit der Kettenregel erreicht werden. x = r y = r ( r ) x + s ( ) r y + s ( s ) x ( ) s y = r x r y s x s y r s /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/iso_para_.tex Seite 9 von 25. p.9/25

20 Isoparametrisches Konzept Die Berechnung von r etc. ist nicht immer einfach, deshalb wird x der umgekerhte Weg beschritten: r s = x r x s y r y s [ ] x y = J J die Jacobi Matrix, kann leichter bestimmt werden. x y /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/iso_para_b.tex Seite 20 von 25. p.20/25

21 Isoparametrisches Konzept Hierzu verwenden wir die Eigenschaft unserer Ansatzfunktionen. Wie können unsere räumliche Variable x auch durch die Ansatzfunktionen und die x-koordinaten der Stützwerte ausdrücken. x = n e i= N i x i x = [N, N 2, N 3, N 4 ] (lineare Interpolation der Koordinaten zwischen den Knoten, n e = Anzahl der Knoten pro Element) x x 2 x 3 y = [N, N 2, N 3, N 4 ] y y 2 y 3 x 4 y 4 /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/iso_para_2.tex Seite 2 von 25. p.2/25

22 Isoparametrisches Konzept Diese Beschreibung der x- bzw. y-variablen können wir nun einsetzen und die konstanten Stützwerte vor den Differentialoperator ziehen, so dass wir folgenden Ausdruck erhalten. r s = N r N s N 2 r N 2 s N 3 r N 3 s N 4 r N 4 s x y x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 } {{ } J Die Ansatzfunktionen N i sind die Funktionen, die wir auf dem natürlichen Koordinatensystem definiert haben und sind entsprechend leicht differenzierbar. x y /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/iso_para_3.tex Seite 22 von 25. p.22/25

23 Isoparametrisches Konzept Beispiel Für das Element auf der linken Seite soll die Jacobimatrix berechnet werden. Dies kann auf zwei Arten gemacht werden: einmal wie auf der vorigen Seite beschriebenen oder der nun gezeigten Art. cm y cm P = (, 25) cm 2 x 0.75 cm P 2 = ( 0, 25) P 3 = ( 0, 75) P 4 = ( 0, 75) 3 2 cm 4 /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/transf_bsp_.tex Seite 23 von 25. p.23/25

24 Isoparametrisches Konzept Beispiel Die globalen Koordinaten kann man also wie folgt in lokale Koordinaten transformieren. x = n = r y = n n n N i x i = N i y i = 4 {( + r)( + s)() + ( r)( + s)( ) + ( r)( s)( ) + ( + r)( s)()} { ( + r)( + s) ( r)( + s) 4 + ( r)( s) 3 } + ( + r)( s) = 4 r s + 4 rs /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/transr_bsp_2.tex Seite 24 von 25. p.24/25

25 Isoparametrisches Konzept Beispiel Diese Ausdrücke müssen nun nur noch abgeleitet werden J = x r x s y r y s. Eingesetzt ergibt sich (r) ( r + 3s + rs) r r J = = (r) ( r + 3s + rs) s s [ ] ( + s) ( 3 + r) 4 4. /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/transf_bsp_3.tex Seite 25 von 25. p.25/25