Numerische Methoden I FEM/REM
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- Matilde Franke
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1 Numerische Methoden I FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: Markus.Kaestner@tu-dresden.de Dresden,
2 Zusammenfassung 8. Vorlesung. Schiefwinklige Scheibenelemente Numerischer vs. physikalischer Bereich Parameterdarstellung der Elementgeometrie (Geometrieinterpolation) Isoparametrisches Konzept Gleiche Ansätze für Interpolation der Elementgeometrie und der Verschiebungen ( ) ( ) ex ( ) ( eu x ξ =N ξ u ξ =N ξ) Starrkörperbewegung verzerrungsfrei abbildbar 2. Scheibenelemente höherer Ordnung Motivation: verbesserte Lösung 9-Knoten-Scheibenelement 8-Knoten-Randpunktelement Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie von 8
3 3..7 3D-Kontinuumselemente analog zu2d Formfunktionen z. B. aus vollständiger Produktbildung der D-Lagrange-Polynome trilinear: 8-Knoten-Quader triquadratisch: 27-Knoten-Quader 20-Knoten-Randpunktelement Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 2 von 8
4 Stützstellen und Gewichte für Gauss-Quadratur* Anzahl derstützstellen n Stützstelle ξ i Gewicht a i ξ = 0,5 a = 2 ξ = 0, a = 0,5 ξ 2 = 0, a 2 = 0,5 3 ξ = 0,27067 a = 0, ξ 2 = 0,5 a 2 = 0, ξ 3 = 0, a 3 = 0, ξ = 0, a = 0, ξ 2 = 0, a 2 = 0, ξ 3 = 0, a 3 = 0, ξ 4 = 0, a 4 = 0, * Integrationsbereich ξ [0, ] entnommen aus Hellmann, Numerische Methoden (FEM,REM), 202 Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 3 von 8
5 3.2.3 Berechnung von Spannungen und Verzerrungen Lösung desgesamtgleichungssystems u e bekannt Verzerrungen ( ) ( eu+ε0 ε ξ =B ξ) Spannungen ( ) ( ( ) ) eu+ε0 σ ξ =C B ξ +σ 0 ε 0... Anfangsverzerrungen σ 0... Anfangsspannungen Auswertung an den Gauss-Punkten und Extrapolation auf Knoten Mittelung der Knotenwerte benachbarter Elemente Interpolation mittels Formfunktionen σ = i N i σ i σ i... Knotenwerte derspannung Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 4 von 8
6 3.2.3 Berechnung von Spannungen und Verzerrungen Lösung desgesamtgleichungssystems u e bekannt Verzerrungen ( ) ( eu+ε0 ε ξ =B ξ) Spannungen ( ) ( ( ) ) eu+ε0 σ ξ =C B ξ +σ 0 ε 0... Anfangsverzerrungen σ 0... Anfangsspannungen Auswertung an den Gauss-Punkten und Extrapolation auf Knoten Mittelung der Knotenwerte benachbarter Elemente Interpolation mittels Formfunktionen σ = i N i σ i σ i... Knotenwerte derspannung Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 4 von 8
7 3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten? Assemblierungsprozess gewährleistet: Kompatibiliät der Knotenverformungen Gleichgewicht der Knotenlasten Polynomiale Ansatzfunktionen stetige Feldgrößen im Element: Verschiebungen Verzerrungen Spannungen Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 5 von 8
8 3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten? Assemblierungsprozess gewährleistet: Kompatibiliät der Knotenverformungen Gleichgewicht der Knotenlasten Polynomiale Ansatzfunktionen stetige Feldgrößen im Element: Verschiebungen Verzerrungen Spannungen Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 5 von 8
9 3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten? Assemblierungsprozess gewährleistet: Kompatibiliät der Knotenverformungen Gleichgewicht der Knotenlasten Polynomiale Ansatzfunktionen stetige Feldgrößen im Element: Verschiebungen Verzerrungen Spannungen Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 5 von 8
10 3.3. Fehlerquellen Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) Mechanisches Modell (D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) Lasten Randbedingungen Materialverhalten FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) Elementtyp ungeeignet Vernetzung ungeeignet Numerische Fehler Abbruch- bzw. Rundungsfehler Fehler bei der(iterativen) Lösung des Problems Diskretisierungsfehler Geometrie Feldgrößen Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 6 von 8
11 3.3. Fehlerquellen Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) Mechanisches Modell (D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) Lasten Randbedingungen Materialverhalten FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) Elementtyp ungeeignet Vernetzung ungeeignet Numerische Fehler Abbruch- bzw. Rundungsfehler Fehler bei der(iterativen) Lösung des Problems Diskretisierungsfehler Geometrie Feldgrößen Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 6 von 8
12 3.3. Fehlerquellen Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) Mechanisches Modell (D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) Lasten Randbedingungen Materialverhalten FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) Elementtyp ungeeignet Vernetzung ungeeignet Numerische Fehler Abbruch- bzw. Rundungsfehler Fehler bei der(iterativen) Lösung des Problems Diskretisierungsfehler Geometrie Feldgrößen Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 6 von 8
13 3.3. Fehlerquellen Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) Mechanisches Modell (D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) Lasten Randbedingungen Materialverhalten FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) Elementtyp ungeeignet Vernetzung ungeeignet Numerische Fehler Abbruch- bzw. Rundungsfehler Fehler bei der(iterativen) Lösung des Problems Diskretisierungsfehler Geometrie Feldgrößen Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 6 von 8
14 3.3.2 Konvergenz Ziel: Berechnung einer verbesserten Lösung Verringerung des Diskretisierungsfehlers. Erhöhung der Elementanzahl h-konvergenz 2. Erhöhung der Ordnung der Formfunktionen p-konvergenz h... charakteristische Elementlänge p... Polynomgrad Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 7 von 8
15 Voraussetzungen für Konvergenz. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n -ten Ableitung Beispiel Stab Π = Ω 2 EAu 2 dx+π a Ordnung n =. vollständiger Ansatz n = -ter Ordnung erforderlich kontinuierliche Felder im Element Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung Wahl der Ansatzfunktionen: vollst.. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x Konvergenz unvollst. 4. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x +a 2 x 4 wie. Ordnung unvollst. 2. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a 2 x 2 keine Konvergenz 2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 8 von 8
16 Voraussetzungen für Konvergenz. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n -ten Ableitung Beispiel Stab Π = Ω 2 EAu 2 dx+π a Ordnung n =. vollständiger Ansatz n = -ter Ordnung erforderlich kontinuierliche Felder im Element Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung Wahl der Ansatzfunktionen: vollst.. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x Konvergenz unvollst. 4. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x +a 2 x 4 wie. Ordnung unvollst. 2. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a 2 x 2 keine Konvergenz 2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 8 von 8
17 Voraussetzungen für Konvergenz. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n -ten Ableitung Beispiel Stab Π = Ω 2 EAu 2 dx+π a Ordnung n =. vollständiger Ansatz n = -ter Ordnung erforderlich kontinuierliche Felder im Element Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung Wahl der Ansatzfunktionen: vollst.. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x Konvergenz unvollst. 4. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x +a 2 x 4 wie. Ordnung unvollst. 2. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a 2 x 2 keine Konvergenz 2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 8 von 8
18 Voraussetzungen für Konvergenz. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n -ten Ableitung Beispiel Stab Π = Ω 2 EAu 2 dx+π a Ordnung n =. vollständiger Ansatz n = -ter Ordnung erforderlich kontinuierliche Felder im Element Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung Wahl der Ansatzfunktionen: vollst.. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x Konvergenz unvollst. 4. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a x +a 2 x 4 wie. Ordnung unvollst. 2. Ordnung: ũ(x) = a 0 +a 2 x 2 keine Konvergenz 2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 8 von 8
19 Beispiel: Stab durch Linienlast und Einzelkraft belastet s. Fish/Belytschko 2007 S. 5ff x EA 2l q= cx 2 F= cl lineares Element Verschiebung u/(c/ea) 0.5 Verschiebungsverlauf analyt. FEM globale Koordinate x/2l Schnittkraft F/(cl 2 ) Schnittkraftverlauf 0.5 analyt. FEM globale Koordinate x/2l Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 9 von 8
20 2 lineare Elemente Verschiebung u/(c/ea) 0.5 Verschiebungsverlauf analyt. FEM globale Koordinate x/2l Schnittkraft F/(cl 2 ) Schnittkraftverlauf 0.5 analyt. FEM globale Koordinate x/2l Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 0 von 8
21 0 lineare Elemente Verschiebung u/(c/ea) 0.5 Verschiebungsverlauf analyt. FEM globale Koordinate x/2l Schnittkraft F/(cl 2 ) Schnittkraftverlauf 0.5 analyt. FEM globale Koordinate x/2l Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie von 8
22 quadratisches Element Verschiebung u/(c/ea) 0.5 Verschiebungsverlauf analyt. FEM globale Koordinate x/2l Schnittkraft F/(cl 2 ) Schnittkraftverlauf 0.5 analyt. FEM globale Koordinate x/2l Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 2 von 8
23 2 quadratische Elemente Verschiebung u/(c/ea) 0.5 Verschiebungsverlauf analyt. FEM globale Koordinate x/2l Schnittkraft F/(cl 2 ) Schnittkraftverlauf 0.5 analyt. FEM globale Koordinate x/2l Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 3 von 8
24 0 quadratische Elemente Verschiebung u/(c/ea) 0.5 Verschiebungsverlauf analyt. FEM globale Koordinate x/2l Schnittkraft F/(cl 2 ) Schnittkraftverlauf 0.5 analyt. FEM globale Koordinate x/2l Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 4 von 8
25 Fehlernormen und Konvergenzrate Fehlernorm Konvergenzverhalten L 2 linear L quadratisch Energie linear Energie quadratisch Elementlà nge h [m] e L2 = (u(x) ũ(x)) 2 dx Ω e L2 h p+ e en = e en h p ( )... exakte Lösung 2 E(ε(x) ε(x))2 dx Ω p... vollständiger Polynomgrad h... Elementgröße Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 5 von 8
26 Beispiel Diskretisierungsfehler: Scheibe mit Loch x 2 x Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 6 von 8
27 Beispiel: Scheibe mit Loch bilineare Elemente Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 7 von 8
28 Beispiel: Scheibe mit Loch 8-Knoten-Randpunktelemente Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 8 von 8
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