Computational Biology: Bioelektromagnetismus und Biomechanik

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1 Coputational Biology: Bioeletroagnetisus und Bioechani Finite Eleente Methode I

2 Gliederung Wiederholung Gewöhnliche Differentialgleichungen Finite Eleente Methode Direte Methode Extrealprinzipien Methode von Galerin Forfuntionen Zusaenfassung Seite

3 Motivation Finite Eleente Methode erlaubt nuerische Berechnung diverser Feldproblee unter Berücsichtigung von Anisotropie Inhoogenität Nichtlinearität Gesucht: Orts-/zeitabhängige Funtion, die Randbedingungen und Anfangswerte erfüllt Bereiche Eletrostati (Quasi-)stationäre eletrische Felder Ausbreitung eletroagnetischer Wellen Teperaturverteilung Kontinuusechani Koerzielle Prograpaete Ansys EMAS... Seite 3

4 Übersicht über Finite Eleente Methode Matheatische Beschreibung des Feldprobles Aufstellen der Eleentatrix Einbringen von Randbedingungen Aufstellen/Lösen von Gleichungssysteen (Systeatrix) Disretisierung des Feldgebiets Zerlegung in finite Eleente Bestiung der Ansatzfuntion für Eleente Feldfuntion u(x, y, z) Seite 4

5 Finite Eleente Methode: Erstellung der Eleentatrix Direte Methode Wahl der Integralgleichung Wahl des Eleenttyps und der Ansatzfuntion Eleentfuntion u e (x, y, z) Methode von Galerin Extrealprinzipen Wahl der Differentialgleichung Eleentatrix Seite 5

6 Direte Methode Wahl von Energie-/Leistungsteren, bspw.: W W e e : = Ú ee dv V gespeicherte eletrische Energie E: eletrische Feldstäre e: Dieletrizitätszahl P L P : L = Ú se dv V eletrische Leistung E: eletrische Feldstäre s: eletrische Leitfähigeit Welast = Ú Ee dv W elast : V Elastische Energie E: Elastizitätodul e: Relative Dehnung Seite 6

7 Extrealprinzipien: Aufgabenstellung Klassische Randwertaufgabe Ê ˆ Á Ë + Ê ( ) ˆ Á x x y u x y Ë x y u,, V xy, u fxy, y ( ) + ( ) = ( ) c 3 G c c, Œ ( ) f Œ C ( G) Œ ( ) «( ) C G V, u C G C G G = G» C Stetigeitsanforderungen C=c»c»c 3 it Dirichletschen und allgeeinen Cauchyschen Randbedingungen für C bzw. C Seite 7

8 Extrealprinzipien: Lösung I Mache Ê u u = ( x y) Ê ˆ Á + ( x y) Ê ˆ ˆ Á Á xy u fxy u dxdy G Ë Ë x Ë y - ÚÚ ( ) + ( ),, V,, + Ú a( ) - ( ) C stationär! s u g s u ds Analogie: I ~ Energieter Ableiten nach Freiheitsgraden liefert Kräfte F. Syste i Gleichgewicht für F=. Beweis ittels Variationsrechnung (siehe Schwarz Methode der finiten Eleente, S. 3) Seite 8

9 Methode von Galerin: Ritz-Ansatz Aufgabe: Bestiung einer Lösungsfuntion u für Differentialgleichungen ausgehend von linear unabhängigen, probleangepassten Funtionen f und Randbedingungen ux c ( ) = f + Â f : f : : = Indiretes Verfahren, d. h., nicht ( ) + ( ) = fux, qux, c f Potentialfuntion, erfüllt inhoogene Randbedingungen u ( x) = c Potentialfuntion, erfüllt hoogene Randbedingungen u ( x) = zu bestiende Koeffizienten u: Potentialfuntion q: Quellter f: Differentialgleichung x: Variable wird gelöst, sondern (Methode der gewichteten Residuen) Seite 9

10 Methode von Galerin II II Ú Rw dx = Residuu: Rux, fux, qux, Gewichtungsfuntion: ( ) = ( ) + ( ) w( x) Galerins Idee: Setze Gewichtungsfuntion gleich probleangepassten Funtionen ( ) wx Galerin-Methode liefert für lassische Randwertaufgabe gleiche Ergebnisse wie Extrealprinzipien! Ê f Á Á Ëf M ˆ Seite

11 Beispiel: Ströung einer Flüssigeit Ströung: stationär Flüssigeit: visos/inopressibel Ausgangsgleichungen: - + p Ê u u ˆ Á = (Moentengleichung) x Ë x y - Ê Á + p v v ˆ = y Ë x y u + v = (Kontinuitätsgleichung) x y u,v: Geschwindigeit in x - bzw. y - Richtung : Zähigeit p: Druc Seite

12 ÚÚ G Bespiel: Grundfuntionen und Einsetzen Linearobinationen der Grundfuntionen: uxy, j xy, u j xy, vxy, y xy, v y xy, pxy, c xy, p c xy, ( ) = ( ) + Â ( ) ( ) = ( ) + Â ( ) ( ) = ( ) + Â ( ) = = q = Einsetzen in Ausgangsgleichung: ÚÚ È q c c Ê ˆ Í + Âp - ÁDf + Â f Î Ë f = u D dxdy j, K, j x = x = È q c c Ê ˆ Í + Âp - ÁDy + Â y v D Î Ë y dxdy j =, K, j y = y = È f f + u + y y Í Â + Âu c j dx dy j =, K, q Î x = x y = y G ÚÚ G Seite

13 Bespiel: Bedingungsgleichungen nach einigen Uforungen (siehe Schwarz Methode der finiten Eleente S. 54-):  u f f dxdy + p j = G =  v y y dxdy + p j = G =  = u ÚÚ ÚÚ ÚÚ G j j j c x c y f y c j dx dy + Âv ÚÚ c x y q  q  = G ÚÚ G ÚÚ G j f j y dx dy + R = j dx dy + S = dx dy + T = RST,, : Zusaenfassung sonstiger Tere j j j Anschließend: Erstellung der Koeffizientenatrix des Systes Seite 3

14 Forfuntionen: Motivation Feldgrößen sind zueist nur an Knotenpunten beannt Berechnung von Flächen-/Voluenintegralen erfordert Interpolation der Feldgrößen über Fläche/Voluen Uwandlung von Koordinatensysteen Natürliche Koordinaten Weltoordinaten u u u(x,y,z)? u 3 u Seite 4

15 r ux K- = r un x ( ) = Â ( ) Interpolation zueist it Polynoen Anforderung an Forfuntion Forfuntionen u: Ansatzfuntion in Abhängigeit von Ortsvariable r x: Ortsvariable u: Feldvariable a - ten Knotenpunt N : Forfuntion in Abhängigeit von Ortsvariable r N x ( ) = Ï Ì Ó an Position von Knotenpunt an Position von Knotenpunt j, jπ Seite 5

16 Herleitung Forfuntionen: Natürliche Koordinaten i i Dreiec r N x i ( ) = r Fx i ( ) r Fx 3 Â j = j ( ) P F P F 3 P 3 F r r r N x N x N x ( ) + ( ) + ( ) = 3 P r N x ( ) = Ï Ì Ó an Position von P an Position von P, jπ j Seite 6

17 Forfuntionen D: Linear Interpolation ( ) = + ux a bx.8 N N ( ) = ( -x) ( ) = x ( ) = ( - ) + N x N x ux xu xu u: Feldvariable in Abhängigeit von Ortsvariable x: Ortsvariable u, u : Feldvariable an Knotenpunt bzw u u Seite 7

18 Berechnung einer Forfuntion: Beispiel Linearer Ansatz D ( ) = + ux a bx Einsetzen an Knotenpunten ( ) = + = fi = ( ) = + = fi + = u a bx u a u u a bx u a b u Lineares Gleichungssyste, Invertieren A A a u a = Ê A u A Ë Á ˆ Ê Á ˆ = Ê Ëb Ë Á ˆ fi Ê u Ë Á ˆ Ê ˆ = Á b Ëu = Ê ˆ - - : it Á Ë - Forfuntion ux ( ) = u + (- u + u ) x = ( -x) u + xu Seite 8

19 Forfuntionen D: Quadratische Interpolation ( ) = + + ux a bx cx ( ) = ( - )( - ) ( ) = ( - ) ( ) = - ( - ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) N x x x N x 4x x N x x x ux N xu N x u N x u N N N x: Ortsvariable u, u, u : Feldvariable an Knotenpunt der Position,.5 bzw. u u u Seite 9

20 Forfuntionen D: D: Kubische Interpolation it it Steigung in in Knotenpunten ( ) = ( ) = ( - ) ( + ) ( ) = ( - ) ( ) = ( - ) 3 ( ) = - ( - ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ux a bx cx dx N x x x N x x x N x x 3 x N x x x ux N xu N xu N x u N x u 3 x: Ortsvariable u,u : Feldvariable an Knotenpunt bzw. u,u: Ableitung der Feldvariable an Knotenpunt bzw..8 N N.6.4. N N 3 u / u u / u Seite

21 Forfuntionen D: D: quadratisches Grundgebiet, bilineare Interpolation ( ) = uxy, a bx cy dxy N 3 ( ) = ( - )( - ).75.5 ( ) = ( - ).5 ( ) = ( -x) y 3 ( ) = xy ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) N x, y x y N x, y x y N x, y N x, y uxy, N xy, u N xy, u N xy, u N xy, u. 3 3 x,y: Ortsvariablen.4 x u u.8.6 y u,u,u,u: Feldvariable an Knotenpunt (,), 3 (,), (,) bzw. (,) u u 3 Seite

22 Forfuntionen D: D: quadratisches Grundgebiet, quadratische Interpolation ( ) = ux, y a bx cy dxy ex fy gx y hxy N ( ) = ( - )( - )( - - ) ( ) = - ( - )( - + ) ( ) = ( - - ) N x, y x y x y N x, y x y x y N x, y xy 3 x y K ( ) = Â ( ) uxy, N xy, 7 = u x,y: Ortsvariablen u -u: 7 Feldvariable an Knotenpunt (,),(.5,) - (,)..4 x.6 u u 7 u 3.8 u 4 u 6.4. u u 5 u.8.6 y Seite

23 Forfuntionen 3D: ubisches Grundgebiet, trilineare Interpolation ( ) = uxyz,, a bx cy dz exy fyz gxz hxyz ( ) = ( - )( - )( - ) N x, y, z x y z M u u 4 u u 5 ( ) = N x, y, z 7 xyz ( ) = Â ( ) uxyz,, N x, y, z 7 = u x, yz, : Ortsvariablen u u 6 u 3 u 7 u -u: 7 Feldvariable an Knotenpunt (,,) - (,,) Seite 3

24 Forfuntionen 3D: ubisches Grundgebiet, trilineare Interpolation z= z=.5 z= ubischer Hexaeder it Länge N x, y, z xyz 7 ( ) = Seite 4

25 Zusaenfassung Wiederholung Gewöhnliche Differentialgleichungen Finite Eleente Methode Direte Methode Extrealprinzipien Methode von Galerin Forfuntionen Seite 5