Schwache Formulierung der Poisson-Gleichung Finite Elemente Methoden Fouriermethoden für Wärmeleitungsgleichung

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1 Department Mathematik der Universität Hamburg SoSe 29 Dr. Hanna Peywand Kiani Schwache Formulierung der Poisson-Gleichung Finite Elemente Methoden Fouriermethoden für Wärmeleitungsgleichung Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 2 Schwache Formulierung von Randwertaufgaben Eindimensionales Beispiel: u (x) = f(x) für x (, L), u() =, u (L) + au(l) = r, a, r R. Sei v eine differenzierbare Funktion mit v() =. Dann gilt u (x) = f(x) = u (x)v(x) = f(x)v(x) = Partielle Integration liefert [ u (x)v(x) ] L + u (x)v (x) dx = u (L)v(L) + u ()v() + (au(l) r)v(l) + f(x)v(x) dx u (x)v (x) dx = u (x)v (x) dx = f(x)v(x) dx u (x)v(x) dx = f(x)v(x) dx Umsortierung nach den Unbekannten u ergibt die schwache Formulierung: f(x)v(x) dx u (x)v (x) dx + au(l)v(l) = f(x)v(x) dx + rv(l) v C 1 (, 1) C([, 1]), v() = Vorteil: u muss nicht zweimal diffbar sein! Die Testfunktionen v müssen dort den Wert Null annehmen, wo Funktionswerte für u vorgegeben sind.

3 3 Mehrdimensionales Beispiel: Sei ein Gebiet im R 2 mit dem Rand δ. Nach Gauß gilt für ein hinreichend glattes Vektorfeld F div F d(x, y) = F n ds δ mit n = äußerer Normaleneinheitsvektor auf dem Rand von. Setzt man F = v u, und beachtet div F = v u + v u so erhält man v u + v u d(x, y) = δ v δu δn ds Sei nun die folgende RWA gegeben: u = f in R 2, u(x, y) = g(x, y) auf Γ 1 δ, n u(x, y) + au(x, y) = r(x, y) auf Γ 2 δ, wobei Γ 2, Γ 1 eine disjunkte Zerlegung des Randes δ sei. Die schwache Formulierung lautet dann: v u d(x, y) = v f d(x, y) v u d(x, y) v δu δ δn ds = v f d(x, y) v u d(x, y) + v (au(x, y) r(x, y)) ds = v f d(x, y) Γ 2 v u d(x, y) + au v ds = v f d(x, y) + v r ds Γ 2 für alle v C 1 () C( ) mit v = auf Γ 1. Γ 2

4 4 Finite Elemente Methode Bei der praktischen Rechnung beschränkt man sich auf endlich viele Testfunktionen v j und nimmt an, dass die (Näherungs-)Lösung sich als Linearkombination endlich vieler Basiselemente b j ( x ), j =, 1,..., n + 1 darstellen läßt. Wir nehmen hier an, dass die Menge der Basisfunktionen mit der Menge der Testfunktionen übereinstimmt. Eindimensionales Beispiel: u (x) = f(x) für x (, L), u() = β, u (L) + au(l) = r, a, r R. Ansatz u(x) = n+1 i= Schwache Formulierung u i b i (x) u (x)v (x) dx + au(l)v(l) = v C 1 (, 1) C([, 1]), v() = f(x)v(x) dx + rv(l) liefert für die Testfunktionen v j () =, v j (x) := b j (x), j = 1,..., n + 1 die n + 1 Bedingungen n+1 n+1 u i b i(x)b j(x) dx + a u i b i (L)b j (L) = i= i= sowie u b () = β f(x)b j (x) dx + rb j (L) Dies ist ein Gleichungssystem für die Unbekannten u i Idee: Wähle die Funktionen b j so, dass möglichst viele b i(x)b j(x) = Konkret im eindimensionlen Fall : Hütchenfunktionen O.B.d.A. sei L = 1 (sonst x = a + t(), t [, 1] ). Unterteile das Intervall in n + 1 Teilintervalle = x, x 1,..., x n+1 = 1, x k = k h = k n + 1 Definiere für i = 1, 2,..., n x x i 1 = x i 1 n+1 1 = (n + 1)x (i 1) x [x i 1, x i ] x i x i 1 n+1 i+1 b i (x) := x i+1 x = x n+1 1 = (i + 1) (n + 1)x x [x i, x i+1 ] x i+1 x i n+1 sonst

5 5 1 x 1 x = x n+1 1 = 1 (n + 1)x x [, h] b (x) := x 1 x n+1 sonst x x n = x n n+1 1 = (n + 1)x n x [x n, 1] b n+1 (x) := x n+1 x n n+1 sonst Verallgemeinerte Ableitung : Analog b, b n+1. b i(x) := 1 = (n + 1) x [x i 1, x i ) x i x i 1 1 = (n + 1) x [x i, x i+1 ) x i+1 x i sonst Schwache Formulierung: für j = 1,..., n n+1 i= u i b i(x)b j(x) dx = und für j = n + 1 n+1 i= f(x)b j (x) dx, u i b i(x)b n+1(x) dx + au n+1 b n+1 (1)b n+1 (1) = Konkretes Beispiel: für n = 3 und u (x) = 1 für x (, 1), u() = 1, u (1) u(1) = 1,. f(x)b n+1 (x) dx + rb n+1 (1) erhalten wir u = 1 und { 1 4x x [, h] = [,.25] b (x) := sonst, b 4 (x) := { 4x 3 x [.75, 1] sonst sowie b 1 (x) := 4x x [,.25] 4x 1 x [.25,.5] 2 4x x [.25,.5] b 2 (x) := 3 4x x [.5,.75] sonst sonst 4x 2 x [.5,.75] b 3 (x) := 4 4x x [.75, 1] sonst

6 6 Für die verallgemeinerten Ableitungen gilt 1 = 4 x [x i 1, x i ] x i x i 1 b i(x) := 1 = 4 x [x i, x i+1 ] x i+1 x i sonst Die schwache Formulierung liefert für j=1 4 i=.25 = u b (x)b 1(x) dx + =.25 1( 4)(4)dx + u i b i(x)b 1(x) dx =.5 = 4 + 8u 1 4u 2 = 1 4. für j=2.5 f(x)b 1 (x) dx u 1 b 1(x)b 1(x) dx + u dx u 2 b 2(x)b 1(x) dx = u 2 4( 4) dx =.25.5 b 1 (x) dx 4 i= u i b i(x)b 2(x) dx = f(x)b 2 (x) dx.5 = u 1 b 1(x)b 2(x) dx u 2 b 2(x)b 2(x) dx u 3 b 3(x)b 2(x) dx = b 2 (x) dx = 4u 1 + 8u 2 4u 3 = 1 4. für j=3 4 i= u i b i(x)b 3(x) dx = f(x)b 3 (x) dx.75 = u 2 b 2(x)b 3(x) dx u 3 b 3(x)b 3(x) dx +.75 u 4 b 4(x)b 3(x) dx =.5 b 3 (x) dx = 4u 2 + 8u 3 4u 4 = 1 4. und für j=4 = 4 i= u i b i(x)b 4(x) dx + au 4 b 4 (1)b 4 (1) = u 3 b 3(x)b 4(x) dx + u 4 b 4(x)b 4(x) dx + au 4 = f(x)b 4 (x) dx + rb 4 (1) b 4 (x) dx + r = 4u 3 + 4u 4 u 4 = Insgesamt haben wir vier Lineare Gleichungen für die vier Unbekannten u 1, u 2, u 3, u 4,.

7 7 Die Anfangsrandwertaufgabe für die Wärmeleitungsgleichung u t cu xx = φ(x, t) c >, x (a, b), t > u(x, ) = u (x) x (a, b), u(a, t) = h(t) t >, u(b, t) = g(t) t >, Schritt 1) Randwerte homogenisieren v(x, t) := u(x, t) h(t) x a (g(t) h(t)) v(a, t) = u(a, t) h(t) a a (g(t) h(t)) = v(b, t) = u(b, t) h(t) (g(t) h(t)) = Neue DGL für v : u(x, t) := v(x, t) + h(t) + x a (g(t) h(t)) u t (x, t) := v t (x, t) + ḣ(t) + x a (ġ(t) ḣ(t)) u x (x, t) := v x (x, t) (g(t) h(t)) u xx (x, t) := v xx (x, t) DGL : v t cv xx = φ(x, t) ḣ(t) x a (ġ(t) ḣ(t)) =: f(x, t) Neue Anfangswerte : v(x, ) = u(x, ) h() x a (g() h()) = v (x). Das neue Problem besteht aus : i. d. R. inhomogener DGL inhomogene Anfangswerte homogene Randdaten

8 8 Schritt 2) Zerlegung in zwei einfachere Probleme Wir betrachten die zwei Aufgaben: I) II) ṽ t cṽ xx = ˆv t cˆv xx = f(x, t) ṽ(x, ) = v (x) ˆv(x, ) = ṽ(a, t) = ṽ(b, t) = ˆv(a, t) = ˆv(b, t) = Problem I): Aus den Produktansätzen wissen wir noch, dass ein Ansatz der Form ṽ(x, t) = I q n (t)p n (x) zur DGL p = λp führt. Die Randdaten liefern dann p n (x) = sin (nω(x a)), ω = π, λ n = n 2 ω 2 q n (t) = cλ n q n (t), = q n (t) = a n e cω2 n 2 t ṽ(x, t) = α n e cω2 n 2t sin (nω(x a)) Die Anfangswerte liefern die Bedingung ṽ(x, ) = α n sin (nω(x a)) = v (x) also α n = 2 b a v (x) sin(kω(x a)) dx. Problem II): Jede Funktion der Form ˆv(x, t) = a n (t) sin (nω(x a)) erfüllt bei hinreichend glatten a n (t) die Randbedingungen. Wir setzen diesen Ansatz in die DGL ˆv t cˆv xx = f(x, t) ein und erhalten [ȧ n (t) + cn 2 ω 2 a n (t)] sin (nω(x a)) = f(x, t) Mit der Fourierreihe der ungeraden period. Fortsetzung von f(x, t) bzgl. x F f (x, t) = c n (t) sin(nω(x a)))

9 9 erhält man für jedes a n eine lineare DGL erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten ȧ n (t) + cn 2 ω 2 a n (t) = c n (t) Die Lösung muss noch die Anfangswerte erfüllen ˆv(x, ) = a n () sin (nω(x a)) = = a n () = Man berechnet die a n (t), erhält ˆv und setzt die Lösung des ursprünglichen Problems zusammen: u(x, t) = ˆv(x, t) + ṽ(x, t) + h(t) + x a (g(t) h(t)) Beispiel 1) u t u xx = u(x, ) = sin(x) 2x π < t, < x < π/2, x π/2, u(, t) = v( π 2, t) = 1 e t t >. Es ist also c = 1, a =, b = π/2, ω = π/() = 2. Schritt 1) Randdaten homogenisieren u = v + h + x a (g h) hier g(t) = h(t) = 1 e t, also u(x, t) = v(x, t) + 1 e t u t = v t + e t u xx = v xx v(x, ) = u(x, ) 1 + e = u(x, ) v(, t) = v( π 2, t) = Neue Aufgabe mit homogenen Randdaten: v t v xx = e t v(x, ) = sin(x) 2x π < t, < x < π/2, x π/2, v(, t) = v( π, t) = t >. 2

10 1 1. Teilaufgabe: ṽ t ṽ xx = ṽ(x, ) = sin(x) 2x π < t, < x < π/2, x π/2, ṽ(, t) = ṽ( π, t) = t >. 2 Wie oben erhält man ṽ(x, t) = α n e cω2 n 2t sin (nω(x a)) = α n e 4n2t sin (2nx) mit α n = 2 also α n = 4 π b a π/2 v (x) sin(nω(x a)) dx. ( sin(x) 2x ) sin(2nx) dx. π Berechnung der Fourierkoeffizienten π/2 π/2 sin(x) sin(2nx) dx = 2n( 1)n 1 4n 2 (2 x part. oder Formelsammlung) x sin(2nx) dx = π( 1)n+1 4n α n = 4 [ 2n( 1) n π 1 4n 2 ] π( 1) n+1 2 π 4n = 8n( 1)n π(1 4n 2 ) 8( 1)n+1 4nπ ṽ(x, t) = 2. Teilaufgabe: = 2( 1)n π 2( 1) n nπ(1 4n 2 ) e 4n2t sin (2nx)) (1 x part. oder Formelsammlung) [ 4n (1 4n 2 ) + 1 ] = 2( 1)n n nπ(1 4n 2 ) ˆv t ˆv xx = e t ˆv(x, ) = < t, < x < π/2, x π/2, ˆv(, t) = ˆv( π, t) = t >. 2

11 11 Ansatz wie oben ˆv(x, t) = a n (t) sin (nω(x a)) Mit der Fourierreihe von f(x, t) = e t F f (x, t) = c n (t) sin(nω(x a))) bzgl. x erhält man durch Einsetzen in die DGL für a n ȧ n (t) + cn 2 ω 2 a n (t) = c n (t) Die Anfangswerte liefern a n () =. Hier haben wir also ˆv(x, t) = a n (t) sin (2nx) c n (t) = 4 π π/2 n gerade 4e t nπ n ungerade. e t sin(2nx)dx = 4e t π π/2 sin(2nx)dx Wegen der Anfangswerte (s.oben) folgt für gerade n unmittelbar a n (t) =. Für ungerade n erhalten wir jeweils eine lineare, gewöhnliche, inhomogene Dgl: ȧ n (t) + 4n 2 a n (t) = 4e t nπ Lösung der zugh. homogenen Aufgabe: ȧ n,h (t) = 4n 2 a n,h (t) = a n,h (t) = α n e 4n2 t Partikuläre Lösung der inhomogenen Aufgabe: Spez. Ansatz : a n,p = βe t Einsetzen in Dgl. für a n liefert: βe t + 4n 2 βe t = 4e t nπ = β = 4 n(4n 2 1)π Die allg. Lösung lautet somit a n (t) = 4e t n(4n 2 1)π + γ ne 4n2 t Aus der Anfangsbedingung a n () = folgt (immer noch n ungerade) a n () = 4 n(4n 2 1)π + γ n = = γ n = 4 n(4n 2 1)π

12 12 Insgesamt also a n (t) = ˆv = 4e t n(4n 2 1)π + 4 n(4n 2 1)π e 4n2t = 4 n(4n 2 1)π (e 4n2t e t ) 4 (2n 1)(4(2n 1) 2 1)π (e 4(2n 1)2t e t ) sin (2(2n 1)x) und u(x, t) = ṽ(x, t) + ˆv(x, t) + 1 e t Alternateive zum obigen Vorgehen bei der Lösungen der gewöhnlichen AWA ȧ n (t) + 4n 2 a n (t) = 4e t nπ, a n(t) = geschlossene Lösungsdarstellung aus der Vorlesung DGL I a n (t) = t e n 2 π 2 (π/2) 2 (t s) c n (s)ds Für gerade n erhält man auch hier sofort Null. Für ungerade n rechnet man a n (t) = t e n 2 π 2 = 4 nπ e 4n2 t = (π/2) 2 (t s) 4e s 4 ds = nπ nπ t t e (4n2 1)s ds = 4 nπ e 4n2 t 4 nπ(4n 2 1) e 4n2t (1 e (4n2 1)t) = e 4n2 π 2 π 2 e (4n2 1)s) 4n 2 1 t e 4n2s e s ds t 4 nπ(4n 2 1) (e 4n2t e t ) Alternative zu speziellen Ansätzen bei der Lösungen der gewöhnlichen AWA ist natürlich die Variation der Konstanten!

13 13 Andere Randbedingungen Beispiel: periodische Randbedingungen u t u xx = x ( 1, 1), t > u( 1, t) = u(1, t) t > u x ( 1, t) = u x (1, t) t > u(x, ) = f(x) x ( 1, 1). Ansatz wie gehabt : Produktansatz u(x, t) = w(x).v(t) Einsetzen in DGL: Randwerte liefern: v v = w w = λ u( 1, t) = u(1, t) w(1) = w( 1) u x ( 1, t) = u x (1, t) w (1) = w ( 1) Je nach Vorzeichen von λ, hat w = λw, als Lösungen: λ = = w(x) = a + bx, w(1) = w( 1) = w(x) = a λ < = w(x) = ae λx + be λx Einsetzen der Randwerte für w liefert λ = a = b. Nur letzteres ist möglich. Einsetzen der Randwerte für w x nichttriviale Lösung. mit a = b liefert λ = a = b =. Es gibt also keine λ > = w λ (x) = a λ cos( λx) + b λ sin( λx) w λ (1) = w λ ( 1) = a λ cos( λ) + b λ sin( λ) = a λ cos( λ) + b λ sin( λ) = b λ = λ = k 2 π 2 w λ (1) = w λ ( 1) = a λ sin( λ) + b λ cos( λ) = a λ sin( λ) + b λ cos( λ) = a λ = λ = k 2 π 2 Nichttriviale Lösungen gibt es also nur für λ = k 2 π 2. wir haben dann w k (x) = a k cos(kπx) + b k sin(kπx) Für k = hat man die Konstante a. Der Fall λ = kann also hier integriert werden.

14 14 Zugehörige Zeitanteile v k (t) = k 2 π 2 v k (t) = v k (t) = c k e k2 π 2 t Jede Funktion v k (t) w k (x) löst die Dgl und erfüllt die Randbedingungen! Superposition u(x, t) = a 2 + (a k cos(kπx) + b k sin(kπx))e k2 π 2 t k=1 löst die Dgl und erfüllt die Randbedingungen! Zu erfüllen : Anfangsbedingung u(x, ) = a 2 + (a k cos(kπx) + b k sin(kπx)) = f(x) k=1 Setze f 2-periodisch fort und bestimme die Fourierkoffizienten a k, b k der vollen Fourierreihe von f. Mit diesen Koeffizienten hat man dann die Lösung. Beispiel: f(x) = 1 x 2 + sin(πx) Für k > erhält man a k = = sin(kπx) kπ ( 1 x 2 + sin(πx) ) cos(kπx)dx 1 1 = 8 k 2 π 2 ( 1)k+1 1 x 2 cos(kπx)dx b k = 2 2 = 1 1 ( 1 x 2 + sin(πx) ) sin(kπx)dx sin(πx) sin(kπx)dx = { k 1 1 k = 1 a = ( 1 x 2 + sin(πx) ) dx = 4/3, u(x, t) = e π2t sin(πx) + k=1 8 k 2 π 2 ( 1)k+1 cos(kπx)e k2 π2 t

15 15 Zusammenstellung geschlossener Lösungsformeln (ohne Gewähr, bitte vor der Klausur mit Vorlesung/Formelsammlung abgleichen!) Wärmeleitungsgleichung I) ARWA, homogen, homogene Randwerte u t cu xx = c >, x (a, b), t > u(x, ) = u (x) x [a, b], u(a, t) = t >, u(b, t) = t >, u(x, t) = a k = 2 k=1 b a a k e cω2 k 2t sin(kω(x a)) ω = π u (x) sin(kω(x a)) dx ω = π II) ARWA, inhomogen, homogene Randwerte : u t cu xx = f(x, t), x (, L), t > u(x, ) = u (x), x (, L) u(, t) = u(l, t) = t > u(x, t) = da k (t) dt a k (t) sin(kωx) k=1 ω = π L + a k (t) c2 k 2 π 2 L 2 = c k (t), a k () = b k c k (t) = 2 L b k = 2 L f(x, t) sin(kωx) dx u (x) sin(kωx) dx Für c = 1 gilt nach Vorlesungsskript Struckmeier (bzw. Vorlesung DGL I Hinze) direkt: ) a k (t) = b k exp ( k2 π 2 t L 2 + t ) exp ( k2 π 2 (t s) c L 2 k (s) ds

16 16 III) ARWA, inhomogene Randwerte: u t cũ xx = f(x, t), x (, L), t > u(x, ) = u (x), x (, L) u(, t) = g(t) u(l, t) = h(t) t > Randwerte homogenisieren v(x, t) = u(x, t) g(t) x (h(t) g(t)) L ergibt neue Aufgabe für v mit homogenen Randwerten. Falls neue Dgl. homogen : Fall I). Falls neue Dgl. inhomogen : Fall II). Das war Mathe IV! Schade, dass es schon vorbei ist. Das letzte Semester mit Ihnen hat richtig Spaß gemacht. Viel Erfolg bei den Klausuren und bei Ihrem weiteren Studium.