Anleitung zu Blatt 4, Analysis II

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung zu Blatt 4, Analysis II SoSe 1 Potenzreihen III, Integration I Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Definition des Riemann Integrals : siehe Vorlesung! Stammfunktionen : Seien f,f : [a,b] R stetig, F stetig diff.bar und F (x) = f(x) x [a,b]. Dann ist F eine Stammfunktion von f. Es gilt F(x) = C + x a f(t)dt Wird der Wert von C offen gelassen, so spricht man vom unbestimmten Integral und schreibt f(x)dx = F(x)+C. b a f(x)dx = F(b) F(a) =: F(x) b a =: [F(x)]b a.

3 Die Integration ist in gewissem Sinne die Umkehrung der Differentiation. Vorsicht: Die Umkehrung liefert keine eindeutige Funktion sondern eine Klasse von Funktionen, die sich unter einander nur um additive Konstanten unterscheiden. Beispiel zur Aufgabe 1: Potenzreihe des Fehlerfunktion Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion E(x) mit x =, sowie das Taylorpolynom fünften Grades T 5 (x;) zu E. E(x) := x e t dt (E(x)) = e x = k= ( x ) k k! = k= ( 1) k xk k! 3

4 Mittels Integration folgt: Wegen E() = folgt C =. E(x) = C + Konvergenzradius r =! Warum? k= ( 1) k x k+1 (k +1)k! T 3 (x;) = x x3 3 T 5 (x;) = x x3 3 + x5 5! Für < x < 1 : ist x k+1 (k +1)k! monoton fallende Nullfolge Konvergenz und Fehlerabschätzung : nach Leibniz in [, 1] 4

5 Absoluter Fehler =: A(x) x 7 7 3! Grenzwert der Reihe =: E(x) [T 3 (x,),t 5 (x,)] Relativer Fehler =: R(x) = A(x) E(x) x 6 4(1 1 3 ) x 7 7 3! x x3 3 1! (16 ) 8 = x 6 (4)(1 x 3 ) 5

6 x a dx x 1 dx = xa+1 a+1 = ln x +C +C a 1 Bitte cosxdx = sinx+c sinxdx = cosx+c Midterm- für e x dx = e x +C Klausur sinhxdx = coshx+c coshxdx = sinhx+c lernen! 6

7 Für spätere Übungen und Mathe II Klausur: 1 cos x dx = tanx+c 1 dx = arctanx+c 1+x 1 dx = Artanh x+c x < 1 1 x 1 dx = arcsinx+c x < 1 1 x 1 1+x 1 x 1 dx = Arsinh x+c dx = Arcosh x+c x > 1 7

8 Partielle Integration oder Umkehrung der Produktregel der Differentiation: (f(x) g(x)) = f(x)g (x) + f (x)g(x) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx Typische Anwendungsbereiche: Polynom cos/sin/exp/ln/arcsin etc. Produkte aus Exponential /Sinus /Cosinusfunktionen Faustregeln: Polynom cos sin f = Polynom, g = exp cos sin exp 8

9 Bei Polynom n ten Grades : n-mal partiell integrieren! Polynom arccos arcsin g = Polynom, f = ln arccos arcsin ln Nützlich: a a a a cos exp sin sin cos exp ungerade Funktion dx =, gerade Funktion dx = a mal partiell integrieren gerade Funktion dx 9

10 Beispiel 1: ln(x +1)dx = = xln(x +1) x x +1 dx = = xln(x +1) = xln(x +1) ( 1 1 ) dx x +1 1dx+ 1 x +1 dx = xln(x +1) x+arctan(x)+c =: F(x)+C 1

11 Beispiel für bestimmtes Integral: 1 ln(x +1)dx = [ xln(x +1) x+arctan(x)+c ] 1 = (1 ln(1 +1) + arctan(1)+c) ( ln( +1) + arctan()+c) = ln() +( π 4 ) 11

12 Beispiel : π π (1 x 3x +4x 3 )sin(kx)dx = π ( x+4x 3 )sin(kx)dx [ = ( x+4x 3 ) cos(kx) ]π k = 1 ) π ((π k 4π3 8 )cos(kπ) = ( 1)k (π π3 k ) = ( 1)k (π π3 k ) + = ( 1)k (π π3 k ) + 1π( 1)k 4k 3 π [ ( 1x ) sin(kx) ]π k [ ( 4x) cos(kx) ]π 4k 3 ( +1x ) cos(kx) k ( 1x ) cos(kx) k + π π dx 4x sin(kx) k 4 cos(kx) 4k 3 dx dx dx 1

13 Beispiel 3: sin(3x) cos(5x)dx ( mit: f(x) = sin(3x), g (x) = cos(5x)) = sin(3x) sin(5x) 5 3cos(3x) sin(5x) 5 dx = sin(3x) sin(5x) [ cos(3x) cos(5x) 5 u(x) = cos(3x), v (x) = sin(5x) 3sin(3x) cos(5x) ] dx 5 = sin(3x) sin(5x) cos(3x)cos(5x)+ 9 5 sin(3x) cos(5x)dx 13

14 Also sin(3x) cos(5x) dx = sin(3x) sin(5x) cos(3x)cos(5x)+ 9 5 sin(3x) cos(5x)dx und damit 16 sin(3x) cos(5x)dx = sin(3x) cos(5x)dx = 5 16 sin(3x) sin(5x)+ 3 5 cos(3x)cos(5x)+ C sin(3x) cos(5x) cos(3x)cos(5x)+c Alternativ: Additionstheoremebenutzen.Hiersin(α)cos(β) = 1 (sin(α+β)+sin(α β)) 14

15 Substitution oder Umkehrung der Kettenregel der Differentiation: (F(φ(t))) = F (φ(t)) φ (t) mit F =: f, x := φ(t),φ F(x) = F(φ(t)) = F (φ(t)) φ (t)dt = = f(x) x (t)dt = f(x)dx f(x) dx dt dt b a f(x(t)) x (t)dt = x(b) x(a) f(x) dx dt dt = x(b) x(a) f(x)dx ACHTUNG : Grenzen nicht vergessen!! 15

16 Beispiel 1: 8 1 x +x+ 3 x dx Mit der Substitution y = x 1 3 also x = y 3, dx dy = 3y erhält man 8 1 x +x+ 3 x dx = = y 6 +y 3 + y 3y dy [ y (y 7 +y 4 8 +y)dy = y5 5 +y ] 1 = 3( ) = 13,5 Man kann auch direkt das Integral über x 5 3 +x 3 +x 1 3 berechnen. 16

17 Beispiel : Typ x (t)/x(t) 1 t t +1 dt = 1 t +1 tdt x(t) = t dx = x(t) x (t)dt = xdt dt 1 = x dx = ln(x)+c = ln(t +1)+C. t t +1 dt = x dx = 1 1 x dx = [ln(x)] 1 = ln Allgemein gilt: x (t) x(t) dt = ln( x(t) )+C 17

18 Beispiel 3: Typ x x (geht hier auch mit Additionstheorem oder partiell) sin(t) cos(t)dt = x(t)x (t)dt = xdx = x +C = sin(t) +C Allgemein gilt: x(t)x (t)dt = (x(t)) +C Was ist also ln(t) t dt = 18

19 Beispiel 4: Typ f(cos(t)) sin(t) oder f(sin(t)) cos(t) bzw. f(cosh(t)) sinh(t) oder f(sinh(t)) cosh(t) π/ cos 5 (t) dt = π/ (1 sin (t)) cos(t)dt x = sin(t) = = sin(π/) sin() 1 x 4 x +1dx = [ x 5 5 x3 3 +x ] 1 = 8 15 Was ist also sin(t) + cos(t) dt = 19

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21 BEISPIEL 5: Typ f(x ) x. Setze u = x. Dann ist du = xdx. x 3 1+x dx = = = 1 x 1+x xdx mit u = du x, dx = x u 1+u... = 1 1+u 1 1+u du u du = 1 (u ln(1+u))+c = 1 (x ln(1+x ))+C. 1 x 1+x 4 dx = 1 = 1 [arctan(u)]1 = 1 (arctan(1)) arctan()) = π 8. 1

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23 BEISPIEL 6: Ein paar hilfreiche Standardsubstitutionen: 1 x dx 1+x dx x 1dx x = cost x = sinht x = cosht Konkretes Beispiel: x x dx =? Erzeuge zunächst eine der oben angegebenen Formen x x dx = = (1+x) dx ( ) (1+x) dx

24 Substituiere: (1+x) = cost, x = cos(t) 1. Dann gilt 1 1 x(t) = cos(t) 1 = dx/dt = sin(t) = dx = sin(t)dt = ( ) (1+x) 1 dx = 1 cos (t)( sin(t))dt π/ = = π/ π/ 4sin (t))dt, beachte :sint (1 cos(t))dt, = [t sin(t)] π/ = π. wobei das Additionstheorem cos(t) = cos (t) sin (t) benutzt wurde. 3

25 Bemerkung: Analog führt man Integranden der folgenden Formen auf die Standardintegrale a+bx, a bx,, 1, 1 a bx a+bx ax b 1 dx = arctanx+c 1+x 1 dx = Artanh x+c x < 1 1 x 1 dx = arcsinx+c x < 1 1 x 1 1+x 1 x 1 dx = Arsinh x+c dx = Arcosh x+c x > 1 (vgl. Folie 7) zurück. 4

26 Falls noch Zeit ist: weitere zwei Beispiele: Beispiel 7: Polynom x Wurzel aus linearer Funktion x 3 +3xdx ERSTR VERSUCH: partiell + einfache Substitution x 3 +3xdx f(x) = x, g (x) = (+3x) 1 3 Mit y = +3x gilt dy/dx = xdx = (+3x) 1 3 dx = y 1 3 dy 3 = 1 3 y C = 1 4 (+3x)4 3 +C 5

27 oder g(x) = 1 4 (+3x)4 3 +C x 3 +3xdx = x 1 4 (+3x)4 3 x 1 4 (+3x)4 3 dx = 1 4 [x (+3x) 43 x(+3x) 4 3 dx ] = 1 4 [x (+3x) 43 ( x (+3x) )] 7 (+3x) 3 dx x 3 +3xdx = 1 4 x (+3x) x(+3x) (+3x) C. 6

28 ZWEITER VERSUCH: erst Substitution : Wurzel stört! y := +3x = x = 1 3 (y ), dx/dy = 1 3 x xdx = 9 (y ) 3 y 1 3 dy = 1 (y 4y +4)y dy = 7 7 ( ) y = 1 7 ( = 1 (+3x) y y C 4 (+3x)7 3 7 y 7 3 4y y 1 3 dy + (+3x)4 3 1 ) +C. Anderes Ergebnis als im ersten Versuch???? Nur auf den ersten Blick. Beide Ergebnisse nach x Potenzen sortieren zeigt, dass höchsten die additiven Konstanten unterschiedlich sind. 7

29 Beispiel 9: 1 1 x arcsin(x) 1 x dx =, Warum? Alternativ y = arcsin(x), dy dx = 1 1 x, x = sin(y) 1 1 x arcsin(x) 1 x dx = π/ π/ sin (y) ydy Nutze cos(x) = cos (x) sin (x) und partielle Integration 8

30 Midterm: Mittwoch 6. Juni, Audimax I, II, H.16, O-18, 56 ab 18: bzw. 19: Uhr: erscheinen, organisieren, Ansagen, ca. 18:1 bzw. 19:1 Uhr: Start der Bearbeitung. Bitte mitbringen: Perso, Papier, Stift. Hilfsmittel: Keine! Dauer Analysis: 3 oder 45 Minuten. Danach : L.A. in den gleichen Räumen 9

31 Räume: ******* Audimax I: AIW, EUT, MB H.16 : MTB (MEC), BVT Audimax II: BU, ET ES 38, Raum 18: Gruppe 1 (spät) ES 4, Raum 7: SB, VT DE 15, Raum 56: IN (IIW), LM (LUM) 3