6.5 Determinanten. Satz 6.3 Ist A R (n,n), so gibt es eine Matrix A 1 R (n,n) mit. A 1 A = A A 1 = I n

Transkript

1 wesentlichen Gleichungen geht genau ein Freiheitsgrad verloren. (Diese etwas vagen Formulierungen sind mathematisch eher unpräzise, sollen Ihnen aber helfen, ein Gefühl für die Bedeutung des Ranges einer Matrix zu bekommen, wenn es um das Lösen linearer Gleichungssysteme geht.) 6.5 Determinanten Quadratische Gleichungssysteme A x = 0 mit A R (n,n) und n = Rang(A) haben nur den Nullvektor als Lösung. In diesem Fall hat A x = b für jedes b R n genau eine Lösung: es gibt eine Lösung, weil Rang(A) = Rang(A b) ist. Diese Lösung ist eindeutig (weil es keinen Freiheitsgrad gibt). Es gilt sogar noch etwas mehr: Satz 6.3 Ist A R (n,n), so gibt es eine Matrix A 1 R (n,n) mit A 1 A = A A 1 = I n genau dann, wenn Rang(A) = n ist (I n Einheitsmatrix in R (n,n) ). Die Matrix A 1 heißt die Inverse von A. Wenn wir A 1 kennen, dann können wir A x = b auch wie folgt lösen: Wir multiplizieren beide Seiten mit A 1 und 353

2 erhalten A 1 b = A 1 (A x) = (A 1 A) x = x. Eskönntesichalsolohnen,A 1 zubestimmen,insbesonderewennmana x = b für viele verschiedene b lösen muss. Ein erstes Verfahren zur Inversenbestimmung sieht so aus: Wir betrachten das Schema (A I) d.h. links vom Strich steht die Matrix A, rechts die Einheitsmatrix. Durch elementare Zeilenumformungen von A versuchen wir, die linke Seite in die Einheitsmatrix umzuformen. Dabei muss die Seite rechts vom Strich entsprechend mit umgeformt werden. Am Ende steht rechts die Matrix A 1. Beispiel 6.17 Wir wollen die Inverse von bestimmen: 354

3 / / / /5 Wir machen die Probe: 1 0 2/ / = / Es gilt auch 355

4 Wenn wir jetzt beispielsweise / /5 = /5 A x = lösen wollen, multiplizieren wir einfach mit A 1 : /5 2 A 1 1 = 1 1 1/5 1 = /5 1 8/5 6/5. 1/5 Eine Probe bestätigt dies / /5 = /

5 Ein wichtiges Kriterium für die Invertierbarkeit einer Matrix ist das Determinantenkriterium. Zunächst zur Definition der Determinante. Ist ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 eine Matrix in R (2,2), dann heißt det(a) = a 11 a 22 a 21 a 12 die Determinante von A. Zur Berechnung der Determinante einer n n-matrix benutzen wir den Laplace schen Entwicklungssatz. Dazu brauchen wir den Begriff des Minors: Ist A R (n,n), dann sei A(i j) die (n 1) (n 1)-Untermatrix von A, die man durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A erhält. Die Determinante von A(i j) heißt Minor. Gilt i = j, so spricht man von einem Hauptminor. Der Ausdruck n ( 1) i+j a ij det(a(i j)) (6.3) j=1 der zunächst nur für 3 3-Matrizen erklärt ist, ist(erstaunlicherweise) unabhängig von i. 357

6 Wir benutzen diesen Ausdruck als Definition der Determinante einer 3 3- Matrix. Wenn wir diese Definition dann wiederum in (6.3) für n = 4 einsetzen, ist der so erhaltene Ausdruck wieder unabhängig von i. Wir können so sukzessive die Determinante beliebiger n n-matrizen erklären. Stets ist die Definition der n n-determinante, die im Entwicklungssatz auf(n 1) (n 1)-Determinanten beruht, unabhängig vom gewählten Zeilenindex i. Wir können so also sukzessive Determinanten von n n-matrizen berechnen. Wir machen darauf aufmerksam, dass in (6.3) die Unabhängigkeit vom Zeilenindex i nicht offensichtlich ist! Beispiel 6.18 Wir wollen die Determinante von bestimmen. Wir entwickeln zunächst nach der ersten Zeile, d.h. wir setzen in(6.3) i = 1. Unter Beachtung der Definition von (2 2)-Determinanten erhalten wir: 358

7 ( ) 8 1 det(a) = ( 1) 2 3 det ( ) 5 1 +( 1) 3 ( 1) det ( ) 5 8 +( 1) 4 0 det = 1 3 = ( 1) ( 1) 3 ( 1) 11+ +( 1) = = = 50. Entwickeln nach der zweiten Zeile (i = 2) gibt det(a) = ( 1) 3 5 ( 2)+( 1) ( 1) = = = 50, 359

8 nach der dritten Zeile det(a) = ( 1) 4 ( 1) ( 1)+( 1) ( 1) = = = 50. Bei der Berechnung einer 3 3-Determinante a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 können Sie folgendes Schema zu Hilfe nehmen: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Die Produkte über die drei Diagonalen nach rechts a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a

9 werden alle addiert, die nach links a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 werden mit 1 multipliziert und dann ebenfalls addiert. Die Summe dieser sechs Terme (3 davon mit einem negativen Vorzeichen) sind die Determinante von A. WARNUNG: Das geht nur für n = 3 so einfach! Bevor wir nun einige Regeln aufstellen, die das Berechnen von Determinanten vereinfachen, hier der Satz, der zeigt, warum Determinanten wichtig sind: Satz 6.4 Sei A R (n,n). Dann gilt: det(a) 0 Rang(A) = n A ist invertierbar Die folgende Regel ist sehr nützlich: A x = b ist für alle b eindeutig lösbar A x = 0 hat nur die Lösung x = 0. det(a) = det(a ). 361

10 Das bedeutet z.b., dass Sie auch nach Spalten entwickeln können: n ( 1) i+j a ij det(a(i j)) i=1 Genauso wie die Summe in (6.3) unabhängig von i war, ist diese Summe unabhängig von der konkreten Auswahl der Spalte j. Man kann sich mit Hilfe des Entwicklungssatzes schnell überlegen: Wenn A eine obere oder untere Dreiecksmatric ist, so ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Beispiel det = ( 1) ( 1) 3 5 ( 2) ( 1) 4 ( 1) ( 1) (entwickeln nach der ersten Spalte). = =

11 Die Tatsache det(a) = det(a ) bedeutet auch, dass die folgenden Rechenregeln richtig bleiben, wenn Sie Zeilen durch Spalten ersetzen! Werden in A zwei Zeilen vertauscht, ändert sich das Vorzeichen von det(a). Wenn man das λ-fache von Zeile i zu Zeile j addiert (i j), ändert sich die Determinante nicht. Wird eine Zeile von A mit λ multipliziert, so wird dadurch auch die Determinante mit λ multipliziert. det(λa) = λ n det(a). Wir können also elementare Zeilenumformungen anwenden, um eine Matrix A in zeilenreduzierte Form zu bringen, und bei allen Umformungen wissen wir, wie sich dadurch die Determinante verändert. Für Matrizen in zeilenreduzierter Form ist die Determinante dann einfach das Produkt der Diagonaleinträge! Manchmal ist es auch ganz nützlich zu wissen, dass die Determinante 0 ist, wenn A zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleiche Spalten) enthält. 363

12 Zum Abschluss wollen wir noch ein zweites Verfahren zur Inversenbestimmung angeben. Dazu definieren wir mit A ad = (b ij ) i,j=1,...,n b ij = ( 1) i+j det(a(j i)). Die Matrix A ad heißt die Adjungierte von A. Es gilt Insbesondere gilt im Fall det(a) 0: A A ad = A ad A = det(a) I A 1 = 1 det(a) A ad Beispiel 6.20 Wir wollen die Inverse von A =

13 bestimmen. Wir wissen bereits det(a) = 50. Mit Hilfe der Adjungierten sieht man sofort A 1 = Probe: = Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 365

14 7.1 Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare Funktion F : I R heißt eine Stammfunktion von f, falls gilt: F = f. Die Funktion f heißt dann integrierbar. Beispiel 7.1 (i) Sei f : R R gegeben durch f(x) = x n, n N 0. Dann ist F : R R mit F(x) = 1 n+1 xn+1 eine Stammfunktion von f. (ii) Sei f : R R gegeben durch f(x) = x 2 3x+5. Dann ist F : R R gegeben durch F(x) = 1 3 x3 3 2 x2 + 5x eine Stammfunktion von f. Aber auch G : R R mit G(x) = 1 3 x3 3 2 x2 +5x+2 ist eine Stammfunktion von f. Achtung: Nicht jede Funktion besitzt eine Stammfunktion. 366

15 Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist auch F(x)+c eine Stammfunktion von f(x) (c ist hier eine Konstante). Weitere Stammfunktionen gibt es nicht, wie der folgende Satz zeigt: Satz 7.1 Seif : I ReinereelleFunktion.SindF,GStammfunktionenvonf, dann gibt es eine Konstante c R mit G(x) = F(x)+c für alle x I. Mit F(x) ist auch jede Funktion F(x)+c eine Stammfunktion von f(x). Es gilt also: Hat die Funktion f eine Stammfunktion F, dann ist die Menge {F +c c R} die Menge aller Stammfunktionen von f. Der Begriff unbestimmtes Integral bedeutet nichts anderes als Stammfunktion : 367

16 (Unbestimmtes Integral) Sei f : I R eine reelle Funktion, die eine Stammfunktion F besitzt. Dann bezeichnet das Symbol f(x)dx eine beliebige Stammfunktion von f, und es wird unbestimmtes Integral der Funktion f genannt. Sprechweise: Integral von f(x) dx. Manchmal wird auch f(x)dx = F(x)+c, geschrieben, wobei c R eine beliebige Konstante ist. Das unbestimmte Integral ist also nicht eindeutig bestimmt, sondern nur bis auf eine (additive) Konstante. Es gilt also nach Definition für jede differenzierbare Funktion F: F (x)dx = F(x)+c. Beispiel 7.2 Es soll eine Funktion s(x) zur Berechnung der Einkommensteuer mit den folgenden Eigenschaften gefunden werden: (i) s : R 0 R 0 ist stetig. 368

17 (ii) Das Existenzminimum ist steuerfrei: s(x) = 0 für x [0,10000]. (iii) Der Grenzsteuersatz steigt linear bis zu einer gegebenen Einkommensgrenze: s x (x) = für x [10000,120000]. 20 (iv) Der Grenzsteuersatz ist für große Einkommen konstant: s (x) = 0.65 für x Den Steuersatz für x [10000, ] erhalten wir als unbestimmtes Integral über den Grenzsteuersatz: ( x s(x) = ) dx = x x 20 +c 1. Aus der Stetigkeit von s(x) an der Stelle x = folgt, dass die Konstante als c 1 = 750 zu wählen ist. Insbesondere ist dann s(120000) = Den Steuersatz für x erhalten wir ebenso als unbestimmtes Integral über den Grenzsteuersatz: s(x) = 0.65dx = 0.65 x+c

18 Aus der Stetigkeit von s(x) an der Stelle x = folgt, dass die Konstante als c 2 = zu wählen ist. Die gesuchte Steuerfunktion s(x) hat also die Form 0 für x [0,10000] x s(x) = x 750 für x [10000,120000] x für x Wir haben erwähnt (siehe Seite 366), dass nicht jede Funktion eine Stammfunktion haben muss. Es gilt aber: Satz 7.2 Ist f : I R stetig, dann besitzt f eine Stammfunktion. Da viele der von uns untersuchten Funktionen stetig sind, haben sie Stammfunktionen. Wir listen im folgenden einige auf, wobei wir stets auf die Angabe der Konstante c verzichten. D bezeichnet den maximalendefinitionsbereich. 370

19 f(x) D f(x)dx x n R 1 n+1 xn+1 n N 0 x α 1 R + α+1 xα+1 α R,α 1 1 R\{0} ln( x ) x e αx 1 R α eαx α R, α 0 a x 1 R ln(a) ax a > 0, a 1 371

20 f(x) D f(x)dx sinx R cosx R cosx sinx tanx R\{(2k +1) π 2, k Z} ln( cosx ) cotx R\{kπ, k Z} ln( sinx ) 1 cos 2 x R\{(2k +1)π 2, k Z} tanx 1 sin 2 R\{kπ, k Z} x cotx 372

21 f(x) D f(x)dx 1 1 x x 2 ( 1,1) arcsinx ( 1,1) arccosx 1 1+x 2 R arctanx 1 1+x 2 R arccot x Aus der Umkehrung von Differenziationsregeln ergeben sich nun Integrationsregeln, zum Beispiel 373

22 Haben f,g : I R Stammfunktionen, dann gilt: λ f(x)dx = λ f(x)dx, für alle λ R (f(x)±g(x))dx = f(x)dx± g(x) dx. Grundsätzlich kann man sagen, dass die Integration schwieriger ist als die Differenziation, die man doch sehr nach Kochrezept durchführen kann. Wir geben hier die wichtigen Regeln der partiellen Integration, der Integration durch Substitution sowie (knapp) die Integration rationaler Funktionen an (jeweils mit Beispielen). Es sei aber fairerweise zugegeben, dass man heutzutage zum Integrieren fast immer Computeralgebrasysteme (CAS) benutzt. Wichtiger, als perfekte Integrierer zu werden, ist es zu verstehen, was das unbestimmte Integral ist (nämlich eine Stammfunktion), und dass es viele Stammfunktionen gibt, die sich aber alle nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Wenn Ihnen das klar ist, dürfen Sie beim Integrieren ruhig dem Computer vertrauen. Partielle Integration. 374

23 Seien f,g : I R differenzierbare Funktionen. Dann gilt f(x) g (x)dx = f(x) g(x) f (x) g(x)dx. Beispiel 7.3 Gesucht ist lnxdx. Setzef(x) = lnxundg(x) = x.dannistg (x) = 1,undmitpartiellerIntegration folgt: lnxdx = f(x) g (x)dx = f(x) g(x) f (x) g(x)dx 1 = lnx x x xdx = lnx x 1dx = lnx x x+c = x(lnx 1)+c, wobei c R, wie immer, eine beliebige Konstante ist. 375

24 Dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern, um eine Stammfunktion zu lnx x n für n N 0 zu berechnen. Wir geben hier nur das Ergebnis an: ( lnx x n dx = xn+1 lnx 1 ) +c. n+1 n+1 Beispiel 7.4 Gesucht ist e x sinxdx. Seien f(x) = sinx und g(x) = e x, also g (x) = e x. Es folgt e x sinxdx = f(x) g (x)dx = f(x) g(x) f (x) g(x)dx = e x sinx e x cosxdx. Analog erhalten wir e x cosxdx = e x cosx+ 376 e x sinxdx.

25 Somit ist Also e x sinxdx = e x sinx e x cosxdx = e x sinx ( e x cosx+ e x sinxdx ) 2 = e x sinx e x cosx e x sinxdx. e x sinxdx = e x sinx e x cosx+c und somit e x sinxdx = ex 2 (sinx cosx)+c. Integration durch Substitution Es handelt sich hier um die Umkehrung der Kettenregel: Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stammfunktion F : I R. Sei g : D I eine differenzierbare Funktion auf dem Intervall D. Dann gilt f (g(x))g (x)dx = F(g(x))+c, wobei c R eine beliebige Konstante ist. 377

26 Beispiel 7.5 Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stammfunktion F, D ein Intervall und g : D I differenzierbar. Dann kann man mit der obigen Substitutionsregel die folgenden unbestimmten Integrale bestimmen (die Konstante c ist wieder weggelassen): (i) f(ax+b)dx = 1 F(ax+b), a,b R,a 0. a (ii) (g(x)) n g (x)dx = 1 n+1 (g(x))n+1, n N 0. g (x) (iii) dx = ln( g(x) ). g(x) g (x) 1 (iv) (g(x)) n dx = (n 1)(g(x)) n 1, n N, n 2. (v) g (x)e g(x) dx = e g(x). Beispiel 7.6 (i) Gesucht ist 2 3x 1 dx. 378

27 Sei g(x) = 3x 1, dann ist g (x) = 3 und daher 2 2 3x 1 dx = g (x) 3 g(x) dx = 2 g (x) 3 g(x) dx (ii) Gesucht ist xe x2 dx. = 2 3 ln( g(x) )+c = 2 3 ln( 3x 1 )+c = ln 3 (3x 1) 2 +c. Sei f(x) = e x und g(x) = x 2, also g (x) = 2x und F(x) = e x. Dann ist xe x2 dx = f(g(x)) 1 2 g (x)dx = 1 2 F(g(x)) = 1 2 ex2 +c 379

28 Integration rationaler Funktionen Rationale Funktionen lassen sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung immer so umformen, dass sich eine Stammfunktion mit den bis jetzt bereitgestellten Verfahren ermitteln lässt. Wir betrachten also eine rationale Funktion f von der Form f(x) = P(x) Q(x) mit Polynomen P(x),Q(x), wobei gradp < gradq gelte. Es sei hier der Fall betrachtet, dass das Nennerpolynom gradq reelle Nullstellen hat, also Q(x) = (x x 1 ) m 1 (x x k ) m k mit verschiedenen x 1,...,x k R. Dann hat die Partialbruchzerlegung die Form (vgl. Seite 127) P(x) k Q(x) = i=1 m i j=1 c ij (x x i ) j mitc ij R.AlsotretenalsSummandenrechtsnurAusdrückederForm mit j N auf. b (x a) j Für j = 1 ist b dx = b ln( x a )+c. x a 380

29 Für j 2 ist b (x a) dx = b j (j 1)(x a) Wir illustrieren dies an einem Beispiel: j 1 +c Beispiel 7.7 Sei f(x) = x4 3x 2 +5x+4. Wir wollen f(x)dx bestimmen. x 3 3x+2 Da das Nennerpolynom einen kleineren Grad als das Zählerpolynom hat, führen wir zunächst eine Division mit Rest durch; dies liefert: f(x) = x4 3x 2 +5x+4 x 3 3x+2 = x+ 3x+4 x 3 3x+2. Das Nennerpolynom hat x 1 = 1 als Nullstelle mit Vielfachheit m 1 = 2 und x 2 = 2 als Nullstelle mit Vielfachheit m 2 = 1. Also ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung 3x+4 x 3 3x+2 = 3x+4 (x 1) 2 (x+2) = c 11 x 1 + c 12 (x 1) 2 + c 2 x+2 Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom Q(x) und Koeffizientenvergleich erhalten wir die Gleichungen 0 = c 11 +c 2, 3 = c 11 +c 12 2c 2, 4 = 2c 11 +2c 12 +c

30 Als Lösungen ergeben sich daraus: c 11 = 2 9, c 12 = 7 3, c 2 = 2 9. Damit erhalten wir für das gesuchte Integral f(x)dx = = 3x+4 xdx+ x 3 3x+2 dx 7 2 ) x (x 1) 9 dx 2 x+2 ( 2 = x = x ln( x 1 ) 7 3(x 1) 2 9 ln( x+2 )+c (x 1 ) 2 = x (x 1) +ln 9 +c x+2 382