Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik Methode der gewichteten Residuen

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1 Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik Methode der gewichteten Residuen Giuseppe Bonfigli IFD, ETH-Zürich 3. Juni 21 Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 1 / 29

2 Vektorräume Relevanz der Diskretisierungsmethoden in der Strömungsmechanik Spektrale Methoden Cartesisches Rechen-Gitter und rechteckiges Rechen-Gebiet Nur sehr glatte Lösungen Exponentielle Konvergenz Finite-Differenzen-Methoden Cartesisches Rechen-Gitter Nur glatte Lösungen Algebraische Konvergenz hoher Ordnung Finite-Elementen-Methode Non-Diagonale Mass-Matrix Flexible Elementengeometrie Konservativität kann gewährleistet werden Finite-Volumen-Methode Hohe Konvergenzordnung mühsam Flexible Zellengeometrie Konservativität Genauigkeit, Effizienz Flexibilität, Robustheit Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 2 / 29

3 Otrhogonale-Pojektion Definition (Vektorraum von Funktionen) Ein Menge U von Funktionen u(x) : Ω K mit Ω R und K = R oder K = C ist ein Vektorraum über K, wenn: u U u, v U u + v U u U, α K αu U Beispiele: Die Menge der kontinuierlichen Funktionen C (R) einer reeller Variable ist ein Vektorraum über R Für n N ist die Menge P n der reellen Polynome mit Ordnung p n ein Vektorraum über R C N ist ein Vektorraum von Funktionen über C mit Ω = {1, 2,..., N} Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 3 / 29

4 Otrhogonale-Pojektion Definition (Lineare Hülle) Sei U ein Vektorraum und V U. Die lineare Hülle V von V ist die Menge V = v = nx a jv j : n N, a j K, v j V j= Beispiele: Die Menge der linearen Funktionen P 1 ist die lineare Hülle von {1, x} in C (R) Die Gerade {x = α[1 2] T : α R} ist die lineare Hülle von {[1 2] T } in R 2 Bemerkung V ist ein Unterraum von U. Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 4 / 29

5 Otrhogonale-Pojektion u j j=1,2 v 1 v 2 Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 5 / 29

6 Otrhogonale-Pojektion Definition (Skalarprodukt) Sei U ein Vektorraum von Funktionen u : Ω K. Sei u, v U. Das Skalarprodukt (u, v) von u und v ist definiert als: Z (u, v) = uvdω Ω Satz (Eigenschaften des Skalarproduktes) Sei u, v, w U und α, β K (u, u) = R Ω uudω = R Ω u 2 dω, (u, u) = u (u, v) = R uvdω = R vudω = (v, u) Ω Ω (αu + βv, w) = R (αu + βv)wdω = α R uwdω + β R vwdω = α(u, w) + β(v, w) Ω Ω Ω (u, αv + βw) = R u(αv + βw)dω = α R uvdω + β R uβwdω = α(u, v) + β(u, w) Ω Ω Ω Definition (Orthogonalität) u, v U sind orthogonal wenn (u, v) =. Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 6 / 29

7 Otrhogonale-Pojektion Definition (Norm) Sei U ein Vektorraum von Funktionen u : Ω K mit Skalarprodukt. Sei u U. Die Norm u von u ist definiert als: u = p (u, u) Satz (Eigenschaften der Norm) Sei u, v U und α K u = u = αu = α u u + v u + v u v u v Die norm ist ein Mass der Grösse eines Vektors Beispiel: für u : [, L] R: Z L «1 u = u(x) 2 2 dx Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 7 / 29

8 Otrhogonale-Pojektion Definition (Orthogonales Komplement) Sei U ein Vektorraum mit Skalarprodukt und V U. Das orthogonale Komplement V von V in U ist die Menge V = w U : (w, v) = v V} Satz (Eigenschaften des orthogonalen Komplement) V ist ein Unterraum von U Wenn V ein Unterraum von U ist und u U, existieren eindeutige Vektoren v V und v V, so dass v = v + v. Wenn ausserdem ṽ V dann u ṽ u v = v. v ist die beste Annäherung für u in V. Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 8 / 29

9 Otrhogonale-Pojektion v u ṽ v u ṽ Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 9 / 29

10 Kontinuierliches Problem Kontinuierliches Problem Gegeben ist die partielle Differentialgleichung für u = u(x, t) u 2 t = F u x, u «, u, x, t, (x, t) [, L] [, T] 2 x mit Anfangs- und Randbedingungen u(x, ) = g(x), x [, L] Drei Schritte zur Berechnung einer numerischen Lösung ( u(, t) = h (t) u x (L, t) = hl(t) t [, T] Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 1 / 29

11 Räumliche Diskretisierung Schritt 1: räumliche Diskretisierung I Beschreibe x-verlauf von u(x, t) durch N N Freiheitsgraden a l(t) u(x, t) = u R(x, t) + NX a l(t)φ l(x). wobei, die Funktionen u R(x, t) und φ l(x) so vorgegeben sind, dass: u R (x, t) erfült die Randbedingungen ( u R (, t) = h (t) u R x (L, t) = h L(t) l=1 t [, T] Jede φ l (x) erfüllt homogene Randbedingungen ( φ l (, t) = φ l x (L, t) = t [, T] Die Randbedingungnen sind immer erfüllt unabhängig von a l(t) Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

12 Räumliche Diskretisierung Schritt 2: räumliche Diskretisierung II Leite gewöhnliche Differentialgl. für a j(t) aus der partiellen Differentialgl. Betrachte das Residuum in der Erfüllung der Differtialgleichung R[u](x, t) = u 2 t F u x, u «, u, x, t 2 x Wähle N linear unabhängige Gewichtsfuktionen ψ j(x) und fordere (R[u](x, t), ψ j(x)) = Z L» u t F 2 u x, u, u, x, t 2 x «dω(x) ψ jdx = j = 1,..., N j = 1,..., N Leite algebraische Gleichugen für a (n) j Fordere `[u(x, ) g(x)], Ψj(x) = = a j() aus der Anfangsbedingung j = 1,..., N Gewichtete Residuen der Differentialgl. und der Randbedingung zu Null gesetzt Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

13 Zeitliche Diskretisierung Schritt 3: zeitliche Diskretisierung Löse gewöhnliche Differentialgl. mit Zeitintegrationsverfahren A da dt = B a + b(t) a() = a () Die Matrizen A, B und die Vektoren b(t), a () folgen aus Schritt 2. Setze Lösung dem Ansatz entsprechend zusammen: NX u(x, t) = u R(x, t) + a l(t)φ l(x) l=1 Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

14 Wärmegleichung Beispiel: Wärmegleichung Kontinuierliches Problem u t = 2 u x 2 (x, t) [, 1] [, 1] u(x, ) =, x [, L] ( u(, t) = u(1, t) = t t [, T] Ansatz u r(x, t) = x t φ l = sin(πlx) l = 1,..., 1 NX u(x, t) = x t + a l(t) sin(πlx) l=1 Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

15 Wärmegleichung Gewöhnliche Differentialgleichungen für a l(t) Mit ψ(x) j = φ j(x) = sin(πjx): ( u t 2 u, ψ j) = {z x 2 } Z 1 Z 1 Z 1 R[u] u t 2 u x 2» x t + t «sin(πjx)dx = NX l=1 NX x sin(πjx)dx + {z } l=1 γ j «a l(t) sin(πlx) 2 x t + x 2 da l dt Z 1 NX l=1 «a l(t) sin(πlx) sin(πjx)dx = NX Z 1 sin(πlx) sin(πjx)dx a l (πl) 2 sin(πlx) sin(πjx)dx = {z } l=1 {z } α l, j β l, j System von N gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten α l, j und β l, j für j = 1,..., N Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

16 Wärmegleichung Anfangsbedingungen für a l(t) (u(x, ) g(x), ψ j) = Z 1 NX «x + a l() sin(πlx)) g(x) sin(πjx)dx = NX a l() l=1 Z 1 l=1 sin(πlx) sin(πjx)dx = Z 1 g(x) sin(πjx)dx System von N algebraischen Gleichungen für j = 1,..., N a l() eindeutig bestimmt. Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

17 Geometrische Interpretation Geometrische Interpretation der Methode der gewichteten Residuen Für jeden festen Wert der Zeit-Variabel t und für ψ l = φ l, l = 1,..., N (Galerkin-Verfahren) Die exakte Lösung u ex liegt im Vektorraum U der Funktionen v : Ω K (Einschränkungen wegen Stetigkeitsannahmen) Sei V = φ l l=1,...,n Die numerische Lösung u = u R + liegt im affinen Raum u R + V NX a lφ l l=1 Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

18 Geometrische Interpretation Sei R das Residuum-Operator für die homogene Gleichung Sei W = R [φ l] l=1,...,n Für v u R + V liegt das Residuum R[v] = R[u r] + im affinen Raum R[u R] + W NX b lr [φ l] Annahme: W = V (siehe Beispiel Wärmegleichung) l=1 Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

19 Geometrische Interpretation Wir fordern R[u] ψ j j=1,...,n = R [φ j] j=1,...,n = V R[u] R[v] v (R[u r] + R [φ j] j=1,...,n) = (R[u r] + V) R [v] R[u R] + R [φ l] R[u R + v] R[u R ] R [ P a l φ l ] O R[u] = R[u r + P a l φ l ] ψ l = φ l = R [φ l] ψ l = φ l = R [φ l] Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

20 Geometrische Interpretation Wir fordern (u () g) ψ j j=1,...,n = (u () g) φ j j=1,...,n = V u () g v g v (g + φ j j=1,...,n) = (g + V) v u R u R + φ l u R + v u O P () a l φ l g u () g ψ l = φ l = R [φ l] ψ l = φ l = R [φ l] Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni 21 2 / 29

21 Geometrische Interpretation Bemerkungen Für t = erlaubt die Minimierung von ǫ R = R[u () ] und ǫ g = u () g(x) die Kontrolle des Fehlers ǫ t = u/ t u ex/ t u () F[u () ] t = ǫr u () u() ex F[u () ] + F[u () ex ] t t = ǫr u() u() ex t t ǫr + F[u() ] F[u () ex ] u() u() ex t t ǫ R + F u () u () ex = ǫ R + F ǫg {z } ǫ t Damit kann der Fehler in u (1) u ex( t) kontrolliert werden Bei zeitlicher Integration mit Euler explizit zum Beispiel: u (1) = u () + t u () t Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

22 Ansatzfunktionen Anforderungen für Ansatz- und Gewichtsfunktionen u R + φ l l=1,...,n muss eine gute Annäherung von u ex enthalten {φ l} l=1,...,n müssen linear uabhängig sein Qualität der Annäherung muss durch Erhöhung von N beliebig verbesserbar sein (Vollständigkeit) ψ l l=1,...,n R [φ l] l=1,...,n ψ l l=1,...,n R [φ l] l=1,...,n ψ l l=1,...,n φ l l=1,...,n ψ l l=1,...,n φ l l=1,...,n {ψ l} l=1,...,n müssen linear uabhängig sein ψ l l=1,...,n muss bei Erhöhung von N den ganzen Lösungsraum aufspannen Orthogonalität zwischen Ansatz- und Gewichtsfunktionen ( α l, l = j (ψ l, φ j) = α lδ l, j =,, l j von Vorteil da Matrizen im System für a(t) teilweise diagonal Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

23 Ansatzfunktionen Beispiel: Bedeutung der Orthogonalität Für die Wärmegleichung aus dem vorherigen Beispiel Z 1 NX x sin(πjx)dx + {z } l=1 γ j da l dt Z 1 sin(πlx) sin(πjx)dx {z } α l, j = 1 2 δ l, j NX Z 1 a l (πl) 2 sin(πlx) sin(πjx)dx = {z } l=1 β l, j = π2 2 δ l, j Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

24 Ansatzfunktionen Strategien zur Wahl der Gewichtsfunktionen Methode der kleinsten Fehlerquadrate: ψ l = R [φ l] ψ l l=1,...,n = R [φ l] l=1,...,n Residuum R[u] wird minimiert Galerkin-Verfahren: ψ l = φ l ψ l l=1,...,n = φ l l=1,...,n Fehler u () g wird minimiert Kollokationsverfahren: ψ l = δ xl (Ähnlichkeit mit Finite-Differenzen-Methode) ( R[u], ψ j) = R[u] (x j, t) ( 1, x Ω l Teilbereichmethoden: ψ l(x) =, x / Ω l Wobei {Ω l} eine Aufteilung von Ω in disjunkten Kontrollvolumen ist. (Ähnlichkeit mit Finite-Volumen-Methode) Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

25 Ansatzfunktionen Bemerkungen Galerkin-Verfahren und Methode der kleinsten Fehlerquadrate identisch, wenn φ l l=1,...,n = R [φ l] l=1,...,n Kollokationsverfahren und Teilbereichmethoden genau für glatte Lösungen Kollokationsverfahren algorithmisch effizient Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

26 Ansatzfunktionen Ansatzfunktionen für Spektralverfahren 1-d Globale Ansatzfuktionen: φ l(x) im ganzen Integrationsgebiet Glatte Ansatzfunktionen: φ l(x) C (Ω) Orthogonalität (φ l, φ j) = c lδ l, j Fourier-Harmonische für x-periodische Probleme mit Periodizitätslänge L: φ l(x) = e ilαx, (φ l, φ j) = Z L α = 2π/L, K l K φ lφ jdx = Lδ l, j Tschebyscheff-Polynome für Probleme auf dem Intervall [ 1, 1] 8 >< 1, l = φ l(x) = cos(l arccos x) φ l(x) = x, l = 1 >: 2xφ l 1(x) φ l 2(x), l > 1 (φ l, φ j) = Z 1 1 φ lφ j p dx = π q x 2 cl 2 δl, j Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

27 Ansatzfunktionen Konvergenz Konvergenz der Spektralverfahren Exponentielle Konvergenz für Glatte Lösungen Beispiel: Probleme mit diffusivem Term Stark-schwingende Anteile stark gedämpft Satz (Konvergenztheorem für Fourier Reihen) Sei u(x) C p (R) periodisch mit Periodizitätslänge L, und sei α = 2π/L. Dann Konvergiert die Fourier Reihe KX û le ilαx, K gleichmässig und û l = 1 L (u, eilαx ) = 1 L Z L KX «û le ilαx u(x) 1 = O. N p l= K u(x)e ilαx dx Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

28 Ansatzfunktionen Konvergenz Test Problem u (x) H 2 u(x) = 1, x [ 1, 1] u(±1) = u(x) = 1 «cosh Hx /H 2 cosh H u(x) u() H= 3 H= 1 H= 1 H= 1 H= 3 ǫ max FDV 1 M 2 KOL FD Chebyshev-SM single precision double precision x N Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29

29 Ansatzfunktionen Konvergenz Zusammenfassung: Spektrale Methoden Exponentielle Konvergenz Gute theoretische Grundlagen zur Konvergenz- und Fehlerabschätzung Beschreibung der Lösung als kontinuierliche Funktion Effiziente Algorithmen: diagonale Matrizen Nur sehr einfache Geometrien und Randbedingungen Rapide Konvergenz nur für Probleme mit glatten Lösungen Anwendungen: Simulation der Transition (DNS und Theorie) Giuseppe Bonfigli (IFD, ETH-Zürich) Gewichtete Residuen 3. Juni / 29