Numerische Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung

Transkript

1 für zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung Yasemin Hafizogullari Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Vortrag zum Seminar im Wintersemester 2009/2010

2 Ein Transportproblem für?

3 für Transportproblem: Transportiere einen Masse-Haufen (Remblai) mit geringsten Kosten in ein Behältnis (Deblai) von gleichem Volumen. Dieses Problem steht im Zusammenhang der Monge-Ampère-Gleichung []. Remblai? Déblai Abbildung 1: Transportproblem

4 Gliederung für

5 Partielle Differentialgleichungen für Sei Ω R n ein Gebiet und F[u] = F (x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) = 0 mit x Ω eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung, wobei u : Ω R, mit }{{} Du = Gradient u x1. u xn, D 2 }{{} u = [D ij ] 1 i,j n = Hessematrix F (x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) eine reelle Funktion auf Γ = Ω R R n R n n und R n n der Raum der symmetrischen n n Matrizen sei. u x1 x 1... u x1 x n.. u xn,x 1... u xnx n,

6 Spezielle Typen von PDE für Eine PDE zweiter Ordnung heißt stark nichtlinear wenn ihr Differentialoperator nicht von der quasilinearen Form Lu = n a ij (x, u, Du)D ij u + b(x, u, Du), wobei a ij = a ji i,j=1 ist (Gilbarg, Trudinger). Sei γ = (x, z, p, r) Γ mit x Ω, z R, p R n und r R n n. Die PDE F[u] = 0 heißt elliptisch in U Γ, wenn die Matrix F F (γ)... (γ) r 11 r 1n [F ij (γ)] =.. F r n1 (γ)... F r nn (γ) positiv definit für alle γ = (x, z, p, r) U ist.

7 Monge-Ampère-Gleichung [] für Sei Ω R n ein Gebiet und f : Ω R R n R, (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) f (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) eine gegebene Funktion. Die Gleichung det D 2 u = f heißt dann Monge-Ampère-Gleichung (). Für n = 2 ergibt sich die einfache Gestalt u xxu yy u xyu yx = f (x, y, u, u x, u y).

8 Klassische Lösung für Sei Ω R n ein Gebiet und F[u] = 0 eine PDE zweiter Ordnung. Wenn u C 2 (Ω) ist und die Gleichung in jedem Punkt x Ω erfüllt, heißt die Funktion u von F = 0. Betrachte das AWP u (x) = f (x) mit u(0) = u 0, wobei f (x) integrierbar sei und u 0 stetig. Das Lösen dieses AWP ist äquivalent zum Lösen der Integralgleichung u(x) = u 0 + x 0 f (s)ds. u muss nur stetig sein, und nicht in jedem Punkt differenzierbar sein.

9 Ein anderer Lösungsbegriff für Ziele: PDE muss nicht mehr punktweise überall sondern nur noch fast überall erfüllt sein. Klassische punktweise Ableitungen werden ersetzt. Definition: Schwache Ableitung Seien Ω R n offen, u, v L 1 loc(ω) und α N n ein Multiindex. Falls u(x)d α ϕ(x) dx = ( 1) α v(x)ϕ(x) dx für alle ϕ Cc (Ω) Ω Ω gilt, dann nennt man v schwache Ableitung von u zum Multiindex α. Man schreibt dann auch D α u := v. Die Gültigkeit von Relationen wird nicht im punktweisen Sinne, sondern nur unter Testen mit glatten Funktion verlangt.

10 Starke für Definition: Sobolev-Räume Seien Ω R n offen, k N und 1 p. Der Sobolev-Raum W k,p (Ω) enthält alle u L 1 loc(ω), so dass für alle Multiindizes α N n mit α k die schwache Ableitung D α u existiert und in L p (Ω) ist. Sei H k = W k,2 für alle k N. Definition: Starke Lösung Seien Ω R n ein Gebiet und 1 p. Wenn u W 2,p (Ω) ist und die Gleichung fast überall in Ω erfüllt, dann heißt die Funktion u starke Lösung von F = 0.

11 Vanishing viscosity für Ausgangssituation: Man will eine nichtlineare PDE lösen die keine klassischen hat. Vanishing viscosity Technik: PDE durch einen Viskositätsterm stören, Lösung des gestörten Problems bestimmen, Störung gegen Null laufen lassen gestörte Lösung konvergiert gegen Lösung des ursprünglichen Problems. Problem: Ableitungen der gestörten Lösung im Grenzwert nicht kontrollierbar..

12 Degeneriert elliptisch für Sei F[u] := F(x, z, p, r) = 0 eine PDE. Wenn F (x, z, p, r) F(x, z, p, r) dann heißt F degeneriert elliptisch. Für die [] falls r r positiv semi-definit ist, F [u] = u xxu yy u xyu yx f (x, y, u, u x, u y) gilt, dass sie degeneriert elliptisch ist, falls f 0 und u xx > 0 gilt. Ober-, Unter-halbstetigkeit: Sei Ω R n ein Gebiet eine Funktion u : Ω R heißt in x oberhalbstetig, wenn für jedes ε > 0 eine Umgebung U von x existiert, so dass f (y) < f (x) + ε für alle y in U gilt. Analog wird Unterhalbstetigkeit definiert.

13 Lösung für Sei F degeneriert elliptisch und Ω R n ein Gebiet. Wenn u : Ω R eine unterhalbstetige Funktion ist und F(x, u(x), p, r) 0 für alle x Ω und alle (p, r) J 2,+ Ω u(x) gilt, dann heißt u Unterlösung von F = 0 Wenn u : Ω R eine oberhalbstetige Funktion ist und F(x, u(x), p, r) 0 für alle x Ω und alle (p, r) J 2, Ω u(x) gilt, dann heißt u Oberlösung von F = 0. u ist eine Lösung von F = 0 auf Ω, wenn sie eine Oberlösung und eine Unterlösung von F = 0 auf Ω ist.

14 Löser für die () für Ausgangssituation: Es gibt viele numerische zu Lösung der (), die nur für in H 2 (Ω) konvergieren. Benamou, Froese und Oberman (B,F,O) entwickelten ein, das auch für konvergiert die nicht in H 2 (Ω) sind. Problemstellung: Sei Ω R 2 ein Gebiet und v C 0 ( Ω), betrachte: u xxu yy uxy 2 = f (x, y) in Ω, u = v auf Ω, wobei u konvex sein soll. Elliptizität bedeutet das die Lösung u konvex, daher ist es sinnvoll zu fordern, dass u konvex ist.

15 Diskretisierung Gebiet für Ω wird mit einem äquidistanten kartesischen Gitter diskretisiert. Abbildung 2: diskretisiertes Gebiet nur noch endlich viele Punkte (τ i, µ j ) Ω, wobei τ = {τ 0,..., τ l1 1} und µ = {µ 0,..., µ l2 1} äquidistante Knotenlisten mit Kotenabstand h > 0 sind. Wie Ableitungen als Differenz von Nachbarpunkten darstellen?

16 Zentrale Differenzen für Näherungen der Ableitungen: Zentrale Differenzen in x-richtung, bzw y-richtung liefern u xx(τ i, µ j ) 1 h 2 (u(τ i+1, µ j ) 2u(τ i, µ j ) + u(τ i 1, µ j )), u yy(τ i, µ j ) 1 h 2 (u(τ i, µ j+1 ) 2u(τ i, µ j ) + u(τ i, µ j 1 )). Für u xy, bestimme für ein fixes y zunächst u x(τ i, y) 1 2h (u(τ i+1, y) u(τ i 1, y)). Zentrale Differenzen auf ( ) in y-richtung anwenden ergibt ( ) u xy(τ i, µ j ) 1 4h 2 (u(τ i+1, µ j+1 ) u(τ i 1, µ j+1 ) u(τ i+1, µ j 1 ) + u(τ i 1, µ j 1 )).

17 Diskretisierung mit Finite Differenzen für Der Einfachheit halber a 1 := u(τ i+1, µ j ) + u(τ i 1, µ j ) 2, a 2 := u(τ i, µ j+1 ) + u(τ i, µ j 1 ), 2 a 3 := u(τ i+1, µ j+1 ) + u(τ i 1, µ j 1 ), a 4 := u(τ i 1, µ j+1 ) + u(τ i+1, µ j 1 ) 2 2 festlegen. Einsetzen in (), nach u(τ i, µ j ) auflösen liefert u(τ i, µ j ) = 1 2 (a 1 + a 2 ) ± 1 2 (a 1 a 2 ) (a 3 a 4 ) 2 + h 4 f (τ i, µ j ). Welches Vorzeichen der Wurzel wählen?

18 Elliptizität und Konvexität für u konvex u(λx 1 + (1 λ)x 2, λy 1 + (1 λ)y 2 ) λu(x 1, y 1 ) + (1 λ)u(x 2, y 2 ) für alle (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) Ω und alle λ [0, 1] gilt. Für λ = 1 2 und die Punkte (τ i+1, µ j ), (τ i 1, µ j ) bzw. (τ i, µ j+1 ), (τ i, µ j 1 ) muss damit u(τ i, µ j ) 1 2 (u(τ i+1, µ j ) + u(τ i 1, µ j )) ( ) u(τ i, µ j ) 1 2 (u(τ i, µ j+1 ) + u(τ i, µ j 1 )) gelten. Addition von ( ) und ( ) liefert u(τ i, µ j ) < 1 [ (u(τ i+1, µ j ) + u(τ i 1, µ j )) + 1 ] 2 (u(τ i, µ j+1 ) + u(τ i, µ j 1 )) ( ) = 1 2 (a 1 + a 2 ).

19 für Iterationsvorschriften für die entsprechenden Indizes i und j lautet u(τ i, µ j ) M1 := 1 2 (a 1 + a 2 ) 1 2 Definiere Abbildungsvorschrift Φ : R N R N durch Φ ij ([u(τ i, µ j )] i,j ) := (a 1 a 2 ) (a 3 a 4 ) 2 + h 4 f (τ i, µ j ). { u(τ i, µ j ) M1 falls (τ i, µ j ) Ω, v(τ i, µ j ) falls (τ i, µ j ) Ω, wobei N l 1 l 2.

20 Konvergenz? für Definition: proper Sei F = (F 1,1,..., F l 1,l 2 ) ein Schema, wenn für i = 1,..., l 1, j = 1,..., l 2 ein δ > 0 existiert, so das für alle x R N(i,j) und alle x 0, y 0 R gilt, dass x 0 y 0 F i,j (x 0, x) F s,r (y 0, x) δ (x 0 y 0 ), dann heißt F proper. Satz: Konvergenz von Schema Sei F ein Schema. Wenn F proper ist und jede Komponente F i,j in jeder Variable nicht fallend ist (degenrate elliptic), dann folgt aus F [u] F[v] das u v gilt. Insbesondere sind eindeutig.

21 Zeige: F[u] F [v] u v für Angenommen es gilt u > v und für (i, j) gelte so dass Es folgt Proper: u i,j v i,j = max s=1,...,l 1 r=1,...,l 2 {u r,s v r,s} > 0, u i,j u r,s v i,j v r,s für r = 1,..., l 1 und s = 1,..., l 2. F[u] i,j = F i,j (u i,j, u i,j u s,r ) F i,j (u i,j, v i,j v s,r ). v i,j < u i,j F i,j (v i,j, v i,j v s,r ) F i,j (u ij, u i,j u s,r ) δ (v i,j u i,j ) < 0. Es folgt Es folgt, dass u v gilt. F i,j (u i,j, u i,j u s,r ) > F i,j (v i,j, v i,j v s,r ) = F i,j [v].

22 Zeige Eindeutigkeit von für Es gilt F[u] F[v] u v. Falls u und v sind, gilt, dass F[u] = F[v] = 0, also insbesondere F [u] = F[v] 0 F [u] = F[v] 0. Daraus folgt, dass u v und u v Eindeutigkeit.

23 FD-Schema ist nicht degenerate elliptic für Halte alle Variablen in u(τ i, µ j ) M1 außer a 4 fest. Seien a 3 = 0 und a 1, a 2, a 4 R mit a 4 > 0. Wenn man den Wert a 4 nun vergrößert, dann wird auch die Wurzel in u(τ i, µ j ) M1 = 1 2 (a 1 + a 2 ) 1 2 (a 1 a 2 ) }{{} 4 ( a 3 a }{{} 4 ) 2 + h 2 f i,j }{{} 0 =0 >0 größer und somit der gesamte Ausdruck kleiner. Schema nicht degenerate elliptic. Keine Konvergenzaussage möglich. Vermutung (B,F,O): Es existiert kein FD-Schema für die (), welches degenerate elliptic ist.

24 Modellverfahren für u H 2 (Ω) für (B, F, O) haben ein weiteres entwickelt,, d.h. in H 2 (Ω). Im dimensionalen gilt für eine starke Lösung u H 2 (Ω) der [] Ziel: ( ) nach u auflösen ( u) 2 = (u xx + u yy) 2 = u 2 xx + u 2 yy + 2u xxu yy = u 2 xx + u 2 yy + 2u 2 xy + 2f. (1) Wurzel ziehen positiven oder negativen Wert wählen? (2) Kann man auf die andere Seite bringen? Zu (1): Konvexe Lösung u Spur der Hessematrix von u positiv, d.h. ( ) positive Wurzel wählen. 0 u xx + u yy = u.

25 Lösungsoperator der Poisson-Gleichung für Zu (2): Sei 1 der Lösungsoperator des Poisson-Dirichlet-Problems. Für g H 2 (Ω) ist u := 1 (g) Lösung von u = g in Ω, u = v auf Ω. Sei Ω R 2 ein Gebiet. Der Operator T : H 2 (Ω) H 2 (Ω) wird durch ( ) T [u] := u 1 xx 2 + uyy 2 + 2uxy 2 + 2f }{{} definiert. = ( u) 2 +2(f det(d 2 u)) Problem: Hat der Operator T [u] einen Fixpunkt und ist diese eindeutig?

26 Fixpunkt des Operators für Sei u H 2 (Ω) eine konvexe starke Lösung der (). Dann ist u ein ( ) Fixpunkt des Operators T [u] := 1 ( u)2 + 2(f det(d 2 u)). Beweis: Sei v H 2 (Ω) konvexe starke Lösung der [], u = ( v) 2 + 2(f det(d 2 v)) = v. Es gilt v 0, also folgt v = v. Für v H 2 (Ω) ist u = v in Ω, u = v ein korrekt gestelltes Problem, daher gilt auf Ω T [v] = 1 ( ( v) 2 ) = 1 ( v ) = 1 ( v) = v.

27 Iteratives für Poisson-Gleichung ist eine lineare PDE. Es gibt viele zur Lösung der Poisson-Gleichung. bekannte Theorie anwenden um für n = 0, 1, 2,... die Gleichung u n+1 = (uxx) n 2 + (uyy) n 2 + 2(uxy) n 2 + 2f zu lösen, wobei ein Startwert u 0 gegeben sein muss. [BFO] verwenden zum Lösen ein.

28 für Ausgewertet wird auf einem äquidistanten N N Gitter, mit Gitterabstand h = N, wobei L die Länge einer Seite des Rechtecks L bezeichne. Solange Iterieren bis die Differenz zweier aufeinander folgender Iterierten kleiner als ist. Als Anfangsdaten: Lösung von u xx + u yy = 2f. Zu Lösen: u xxu yy u 2 xy = 0. Zu bestimmende Lösung: ũ(x) = x / H 2 (Ω). In welchem Sinne ist die Betragsfunktion eine Lösung?

29 der Methoden 1 und 2 zur Gleichung u xx u yy u xy u yx = 0 für Abbildung 3: Lösung ũ(x) = x auf einem N N Gitter.

30 B-Spline-Kollokationsverfahren u xxu yy u xyu yx = 0, u(x, y) = x, Startvektor u 0 = 0 für Abbildung 4: Berechnete Lösung auf einem Gitter.

31 B-Spline-Kollokationsverfahren u xxu yy u xyu yx = 0, u(x, y) = x, Startvektor u 0 = (x 1 2 )2 + (y 1 2 )2 für Abbildung 5: grün = Startvektor; blau = berechnete Lösung auf einem Gitter.

32 Zusammenfassung für Einführung in verschiedene von PDE. FD-: - keine Konvergenzsatz anwendbar - konvergiert für alle Beispiele von (B,F,O) : - verlangt Lösung in H 2 (Ω) - konvergiert für die selben Beispiele von (B,F,O), auch für nicht in H 2 (Ω). Ausblick: Nächsten Freitag Andreas mit weiteren Beispielen von (B,F,O) und einem von Dean und Glowinski.