Numerische Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung, Teil II
|
|
- Cathrin Keller
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 für zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung, Teil II Andreas Platen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Seminar zur Approximationstheorie im Wintersemester 2009/ / 27
2 Gliederung für / 27
3 3 / 27 Monge-Ampère-Gleichung für Sei stets Ω R 2 ein Gebiet mit Rand Ω. Dirichlet-Problem der Monge-Ampère-Gleichung im Zweidimensionalen: } det D 2 u = u xxu yy uxy 2 = f in Ω, () u = v auf Ω. Dabei seien D 2 u die Hessematrix von u : Ω R und v C 0 ( Ω) und f = f (x, y) > 0 gegebene Funktionen. Letzte Woche: Eindeutigkeit / Lösung u konvex Heute: nicht!
4 4 / 27 von Benamou, Froese und Oberman für Finite-Differenzen- (M1) Finde Fixpunkt von u(τ i, µ j ) = 1 2 (a 1 + a 2 ) 1 2 (a 1 a 2 ) (a 3 a 4 ) 2 + h 4 f (τ i, µ j ). für alle (τ i, µ j ) Ω und u(τ i, µ j ) = v(τ i, µ j ) für alle (τ i, µ j ) Ω. Iteratives Lösen von Poisson-Gleichungen (M2) Löse für n = 0, 1, 2,... die Poisson-Gleichung u n+1 = (uxx) n 2 + (uyy) n 2 + 2(uxy) n 2 + 2f mit Dirichlet-Randbedingung und Startwert u 0.
5 Strafterm- für Minimiere J(x) mit g(x) = 0 } (MP) Lösung x Lösung x? r { Zum Parameter r>0 minimiere L r (x) := J(x) + r 2 g2 (x) Lösung x r Lösung x r Es gilt: [ lim Lr (xr ) = lim J(xr ) + r r r 2 g2 (x r ) ] r J( x) + lim r 2 g2 ( x) < }{{} =0 lim g 2 (x r ) = 0, da sonst r r lim r 2 g2 (x r ) = und damit lim r J(xr ) + r 2 g2 (x r ) =. Falls lim r x r =: ˆx existiert, ist ˆx Lösung von (MP). 5 / 27
6 Multiplikator für Seien J, g C 2 (R n ), x R n eine Lösung von (MP) und g( x) 0. Dann existiert ein Multiplikator λ R, so dass für gilt, dass L(x, λ) := J(x) + λg(x) L( x, λ) = 0. L wird auch Funktion des Problems (MP) genannt. 6 / 27
7 () Funktion für Ein Sattelpunkt (nach Ekeland und Temam) einer Funktion L : R n R m R ist ein Punkt ( x, λ) R n R m mit der Eigenschaft Sei r > 0 und oder L( x, λ) L( x, λ) L(x, λ) für alle (x, λ) R n R m. L(x, λ) := J(x) + λg(x). L(x, λ) := J(x) + λg(x) r(g(x))2 =: L r (x, λ). Dann gilt: ( x, λ) R n R ist Sattelpunkt von L. x ist Lösung von (MP). 7 / 27
8 Definitionen wichtiger Mengen für Q := { q (L 2 (Ω)) 2 2 : q = (q ij ) 1 i,j 2 und q 21 = q 12 }, Q f := { q Q : det q = f fast überall in Ω}, V v := { u : Ω R : u H 2 (Ω) mit u = v auf Ω}, E f,v := { u V v : det D 2 u = f fast überall in Ω}, E f,v := { {u, q} V v Q f : q = D 2 u fast überall in Ω} 1 Wenn v H 3 2 ( Ω) ist, dann ist der Raum Vv. 2 Falls f L 1 (Ω), dann ist Q f. 3 Existenz einer Lösung vorausgesetzt: Sei stets E f,v. Punkt 1 folgt aus Umkehrung des Spursatzes für Sobolev-Räume. 8 / 27
9 9 / 27 Aufstellen eines Variationsproblems für Da keine Eindeutigkeit der Lösung von () verlangt wird, betrachte: wobei J(u) := 1 2 Finde ũ E f,v, mit J(ũ) J(u) für alle u E f,v, Ω u 2 dx = 1 2 u 2 L 2 (Ω). Erster Schritt um die Nebenbedingung det D 2 u = f zu trennen: Finde {ũ, q} E f,v, mit j(ũ, q) j(u, q) für alle {u, q} E f,v, wobei j(u, q) := J(u) = 1 u 2 dx. 2 Ω
10 10 / 27 Sattelpunktformulierung () für Idee: Nebenbedingung D 2 u q = 0 fast überall in Ω loswerden. Sei r > 0 und L r (u, q; µ) := 1 2 Ω u 2 dx + r 2 Ω D 2 u q 2 F dx + µ : (D 2 u q) dx Ω mit µ : q = 2 i,j=1 µ ijq ij und Frobeniusnorm D 2 u 2 F = 2 i,j=1 ux i x j 2. Sei {{ũ, q}, µ} eine Lösung des folgenden s: Finde {{ũ, q}, µ} (V v Q f ) Q, mit L r (ũ, q; µ) L r (ũ, q; µ) L r (u, q; µ) für alle {{u, q}, µ} (V v Q f ) Q. Dann ist ũ Lösung von ().
11 Uzawa-Douglas-Rachford-Algorithmus / ALG2 für Seien u (n 1) V v und µ (n) Q gegeben. Löse die beiden Minimierungsprobleme Finde q (n) Q f, mit L r (u (n 1), q (n) ; µ (n) ) L r (u (n 1), q; µ (n) ) für alle q Q f, und Finde u (n) V v, mit L r (u (n), q (n) ; µ (n) ) L r (u, q (n) ; µ (n) ) für alle u V v, und setze µ (n+1) := µ (n) + r(d 2 u (n) q (n) ). Verwende u (n) und µ (n+1) für die nächste Iteration. 11 / 27
12 12 / 27 Konvergenz für Ersetzt man Q f durch eine abgeschlossene, konvexe Menge = K Q konvergiert gegen einen Sattelpunkt von L r, falls einer existiert (Fortin und Glowinski). Aber: Q f Q ist nicht konvex, da für p, q Q f mit p q gilt, dass ( 1 det 2 p + 1 ) im Allgemeinen 2 q 1 2 det(p) det(q) = f. Dean und Glowinski erwarten bei der Wahl K = Q f dennoch Konvergenz.
13 13 / 27 Lösung des ersten Teilproblems für arg min (z 1,z 2,z 3 ) R 3 z 1 z 2 z 2 3 =f (P k ) Finde q (n) Q f, mit L r (u (n 1), q (n) ; µ (n) ) L r (u (n 1), q; µ (n) ) für alle q Q f, r 2 (z2 1 + z z 2 3 ) b 1 z 1 b 2 z 2 b 3 z 3 } {{ } =:G(z) Funktion: L(z, λ) := G(z) λ(z 1 z 2 z 2 3 f (P k )) L( z, λ) = r z 1 λ z 2 b 1 r z 2 λ z 1 b 2 2r z λ z 3 b 3 z 1 z 2 z 2 3 f (P k ) = 0.
14 Lösung des zweiten Teilproblems für Finde u (n) V v, mit L r (u (n), q (n) ; µ (n) ) L r (u, q (n) ; µ (n) ) für alle u V v, Finde u (n) V v, mit Ω u(n) ϕ dx + r Ω D2 u (n) : D 2 ϕ dx = L n(ϕ) für alle ϕ H 2 (Ω) H0 1 ( ) (Ω), Dean und Glowinski verwenden Algorithmus der konjugierten Gradienten mit Skalarprodukt (u, w) u w und zugehöriger induzierter Norm. Sie ersetzen zudem Ω x u (n) b L n(ϕ) Ax = b ( ) 14 / 27
15 Finite-Elemente-: Grundaspekte für Es sei eine PDE auf einem unendlich-dimensionalen Funktionenraum V auf dem polygonalen Gebiet Ω R 2 gegeben. 1 Wähle eine Triangulierung T h := {T 1, T 2,..., T M } von Ω, wobei T i Ω abgeschlossene Teilgebiete und h := max i {1,2,...,M} diam(t i ) seien. 2 Wähle einen endlich-dimensionalen Finite-Elemente-Raum V h V. 3 Wähle eine Basis von V h, dessen Elemente einen möglichst kleinen Träger besitzen, um eine Lokalitätseigenschaft zu erhalten. Ziel: Entwicklung eines diskreten s. 15 / 27
16 Zulässige Triangulierung für Sei Ω R 2 ein Gebiet. Eine Triangulierung T h = {T 1,..., T M } von Ω in Dreiecke heißt zulässig, wenn: 1 Ω = M i=1 T i, 2 T i T j ist einzelner Punkt P Ω P ist Eckpunkt von T i und T j, 3 T i T j ist mehr als ein Punkt T i T j ist Kante von T i und T j. Abbildung 1: Hängender Knoten, unzulässige Triangulierung 16 / 27
17 Uniforme Triangulierung für Sei Ω R 2 ein Gebiet. Eine Familie von Zerlegungen {T h } von Ω heißt uniform, wenn es eine Zahl κ > 0 gibt, so dass jedes Element T von T h einen Kreis mit Radius R T h κ enthält. 17 / 27
18 Wahl der Finite-Elemente-Räume für Sei T h eine zulässige Triangulierung von Ω in Dreiecke und P 1 := {P(x, y) = a 1 x + a 2 y + a 3 : a 1, a 2, a 3 R}. Die Elemente der Räume L 2 (Ω), H 1 (Ω) und H 2 (Ω) werden durch Elemente von V h := {w C 0 ( Ω) : w T P 1 für alle T T h } approximiert. Da im Algorithmus auch H 1 0 (Ω) gebraucht wird, sei V 0,h := V h H 1 0 (Ω) = {w V h : w Ω 0}. Elemente in V h sind Lipschitz-stetig V h H 1 (Ω) L 2 (Ω). Jedoch V h H 2 (Ω) neuen Begriff für zweite Ableitung einführen. 18 / 27
19 19 / 27 Definition der zweiten Ableitung für Für u H 2 (Ω) und i, j {1, 2} definiere D i (u) := u x i und D 2 ij (u) := 2 u x i x j, wobei x 1 := x und x 2 := y. Die Greensche Formel liefert: Dij 2 (u)ϕ dx = D i (u)d j (ϕ) dx für alle ϕ H0 1 (Ω). Ω Ω Sei nun u V h H 1 (Ω). Definiere diskretes Analogon D 2 hij von D 2 ij, so dass D 2 hij(u) V 0,h und Ω Dhij(u)ϕ 2 dx = D i (u)d j (ϕ) dx für alle ϕ V 0,h Ω gilt. Die Funktionen D 2 hij(u) sind dadurch eindeutig festgelegt.
20 Diskretisierung von () für Sei v stetig und f h C 0 (Ω) eine Näherung von f. Definiere Approximationen der Elemente von Q, Q f und V v durch Elemente von Q h := {q (V 0,h ) 2 2 : q = (q ij ) 1 i,j 2, q 21 = q 12 }, Q f,h := {q Q h : det q(p k ) = f h (P k ) für alle k {1, 2,..., N 0h }}, V v,h := {u V h : u(p) = v(p) für alle P Σ h Ω}. Es ergibt sich folgende Diskretisierung: Finde u h V v,h, mit Dh11(u 2 h )(P k )Dh22(u 2 h )(P k ) (Dh12(u 2 h )(P k )) 2 = f h (P k ) für alle k {1, 2,..., N 0,h }. 20 / 27
21 Wahl der Startwerte für Sei stets Ω = (0, 1) (0, 1). Benutze Lösung u von u = s f in Ω, u = v auf Ω. Benamou, Froese und Oberman: s = 2 Dean und Glowinski: s = 1, r = 1, uniforme Familie von Triangulierung 21 / 27
22 Beispiel 1: klassische und starke Lösung für f (x, y) := (1 + x 2 + y 2 )e x2 +y 2 und v(x, y) := e 1 2 (x2 +y 2 ) Alle konvergieren gegen v. M2 ist schneller als M1. Abbildung 2: Exakte Lösung 22 / 27
23 Beispiel 2: klassische und starke Lösung für f (x, y) := 1 und v(x, y) := 2 2 x 2 + y 2 3 (x 2 + y 2 ) 4 3 Alle konvergieren gegen v. M2 ist schneller als M1. Abbildung 3: Exakte Lösung 23 / 27
24 Beispiel 3: keine glatte Lösung für f (x, y) := 1 v(x, y) := 1 v(x, y) := 0 und (BFO), M1 schneller als M2 (DG) Abbildung 4: Berechnete Lösung und Nullrandwerten von (DG) 24 / 27
25 Beispiel 4: klassische aber keine starke Lösung für f (x, y) := 2 (2 x 2 y 2 ) 2 und v(x, y) := 2 x 2 y 2 (BFO), Konvergenz, M2 schneller als M1 v(x, y) := 2 x 2 y 2 (DG), Divergenz für jedes r > 0 Abbildung 5: Lösung mit der zweiten Wahl von v 25 / 27
26 Vergleich der n für M2 und M3 benötigen stets etwa gleiche Anzahl an Iterationen. Iterationen von M3 aufwendiger als bei M1 und M2. M3 divergiert bei Beispiel 4. M1 und M2 bevorzugen. M2 bei glatten Lösungen schneller als M1. M2 bei weniger Regularität langsamer als M1. M1 nahezu unbeeinflusst von der Regularität. M2 benutzen, falls bekannt ist, dass eine starke oder klassische Lösung existiert, sonst M1 verwenden. 26 / 27
27 Zusammenfassung für Letzte Woche: Finite-Differenzen- und Lösen von Poisson-Gleichungen von (BFO) + leicht zu implementieren + Konvergenz bei allen Beispielen keine Konvergenzaussagen Heute: von (DG) () ALG2 Diskretisierung mit Finite-Elemente- bekanntes Beispiel für Divergenz keine Konvergenzaussagen, da Q f nicht konvex ist Fazit: Bei glatten Lösungen M2 benutzen, sonst M1. Offene Frage: Wie sehen die Konvergenzeigenschaften dieser drei aus? 27 / 27
Numerische Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung
für zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung Yasemin Hafizogullari Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Vortrag zum Seminar im Wintersemester 2009/2010 Ein Transportproblem für? für
MehrNumerische Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung
Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung Yasemin Hafizogullari Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Seminar zu aktuellen Themen der Numerik im Wintersemester 2010/2011 1
MehrKAPITEL 1. Einleitung
KAPITEL 1 Einleitung Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung mit Verfahren aus der Numerischen linearen Algebra und insbesondere dem sogenannten Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
MehrAndreas Platen
Seminar zur Approximationsteorie im Wintersemester 2009/2010 Monge-Ampère-Gleicung Numerisce Verfaren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleicung, Teil II Andreas Platen 29.01.2010 1 Inaltsverzeicnis Inaltsverzeicnis
MehrFinite Elemente I Konvergenzaussagen
Finite Elemente I 195 5 onvergenzaussagen 5 onvergenzaussagen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006 Finite Elemente I 196 5.1 Interpolation in Sobolev-Räumen Wesentlicher Baustein der FE-onvergenzanalyse
MehrDas Trust-Region-Verfahren
Das Trust-Region-Verfahren Nadine Erath 13. Mai 2013... ist eine Methode der Nichtlinearen Optimierung Ziel ist es, das Minimum der Funktion f : R n R zu bestimmen. 1 Prinzip 1. Ersetzen f(x) durch ein
Mehr4.1 Motivation von Variationsmethoden Variationsmethoden im Sobolevraum Motivation von Variationsmethoden
Kapitel 4 Das Dirichlet Prinzip Bevor wir uns der Lösung von Randwertproblemen mithilfe der eben entwickelten Techniken zuwenden, wollen wir uns einer Idee zur Lösung widmen, die einige Elemente dieser
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt. ). 12x 3 Die Hessematrix von f ist gegeben durch H f (x, y) =
Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Priv-Doz Dr P C Kunstmann Dipl-Math D Roth SS 0 7060 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 8 Übungsblatt
MehrKurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode
Kurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode Stefan Girke Wissenschaftliches Rechnen 23 Die Finite-Elemente-Methode In diesem Skript soll eine kurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode gegeben
MehrFinite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen
Finite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen Michael Pokojovy 8. Oktober 2007 Das Ritzsche Verfahren Sei R n ein beschränktes offenes Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand S. Betrachte
MehrGlättung durch iterative Verfahren
Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Numerische Methoden in der
MehrParallelisierung durch Gebietszerlegung
Parallelisierung durch Gebietszerlegung Jahn Müller jahn.mueller@uni-muenster.de Westfälische Wilhelms-Universität Münster 25.01.2008 1 Einleitung 2 Gebietszerlegung nicht überlappende Zerlegung überlappende
MehrEinführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011 Kapitel 8 Partielle
MehrModulprüfung Numerische Mathematik 1
Prof. Dr. Klaus Höllig 18. März 2011 Modulprüfung Numerische Mathematik 1 Lösungen Aufgabe 1 Geben Sie (ohne Beweis an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind. 1. Die Trapezregel
MehrIterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
MehrMerkblatt zur Funktionalanalysis
Merkblatt zur Funktionalanalysis Literatur: Hackbusch, W.: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen. Teubner, 986. Knabner, P., Angermann, L.: Numerik partieller Differentialgleichungen.
MehrFinite Elemente I 2. 1 Variationstheorie
Finite Elemente I 2 1 Variationstheorie 1 Variationstheorie TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007 Finite Elemente I 3 1.1 Bilinearformen Definition 1.1 Sei V ein reeller normierter Vektorraum. Eine Bilinearform
MehrVorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)
Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 3/) Kapitel : Optimierung ohne Nebenbedingungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom. Oktober 3) Gliederung
Mehr18.4 Das Newton-Verfahren
18.4 Das Newton-Verfahren Ziel: Wir suchen die Nullstellen einer Funktion f : D R n, D R n : f(x) = 0 Wir kennen bereits die Fixpunktiteration x k+1 := Φ(x k ) mit Startwert x 0 und Iterationsvorschrift
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
MehrFinite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers)
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht: Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung, Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen, Dünn
MehrÜbungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom
Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom 27.10.2011 Aufgabe III.1 (4 Punkte) Sei Ω R
MehrSchwartz-Raum (Teil 1)
Schwartz-Raum (Teil 1) Federico Remonda, Robin Krom 10. Januar 2008 Zusammenfassung Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der besondere Regularitätseigenschaften besitzt, die uns bei der Fouriertransformation
MehrDas Subgradientenverfahren
Das Subgradientenverfahren Seminar Optimierung WS 05/06 Betreuer: Prof. F. Jarre von Jalo Liljo Das Subgradientenverfahren Das Ziel dieses Vortrags ist die Berechnung einer Lösung des unrestringierten
MehrFinite Elemente. Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 2015
Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 5 Aufgabe 8 (Speichertechniken) Finite Elemente Übung 5 a) Stellen Sie die Matrix
MehrKapitel 4: Nichtlineare Nullstellenprobleme
Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 4: Nichtlineare Nullstellenprobleme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 2015 HM: Numerik (SS
MehrInnere-Punkt-Methoden
Innere-Punkt-Methoden Johannes Stemick 26.01.2010 Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden 26.01.2010 1 / 28 Übersicht 1 Lineare Optimierung 2 Innere-Punkt-Methoden Path-following methods Potential reduction
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
MehrNewton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben
Newton-Verfahren zur optimalen Steuerung nichtlinearer elliptischer Randwertaufgaben Patrick Knapp Berichtseminar zur Bachelorarbeit Universität Konstanz 14.12.2010 Einleitung Aufgabenstellung min J(y,
MehrFinite Elemente. bzw. F + E K = 1. (1)
Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 25 Finite Elemente Übung 2 Aufgabe 6 (Eulerscher Polyedersatz für Triangulierung)
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Optimierung für Nichtmathematiker Prof. Dr. R. Herzog WS2/ / Inhaltsübersicht 3Einführung in die freie Optimierung 4Orakel und Modellfunktionen 5Optimalitätsbedingungen der freien Optimierung 6Das Newton-Verfahren
Mehr2.6 Der Satz von Fubini
1 2.6 Der Satz von Fubini Unser Ziel ist der Beweis des folgenden Ergebnisses. 6.1. Satz von Fubini Sei f : R n+m R integrierbar. Dann gibt es eine Nullmenge N R m, so dass gilt: 1. Für alle y R m \ N
MehrMikroökonomik Prof. Dr. Stefan Klonner SoSe Übungsblatt 1
1 Funktionen Definition 1 (Funktion). Übungsblatt 1 Eine Funktion f(x) einer reellen Variable x mit Definitionsbereich D ist eine Regel, die jeder Zahl x in D eine reelle Zahl f(x) eindeutig zuordnet.
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Vektoranalysis Funktionen mehrerer Variabler Wir untersuchen allgemein vektorwertige Funktionen von vektoriellen Argumenten, wobei zunächst nur reelle Vektoren zugelassen seien. Speziell betrachten wir:
MehrNun zeigen wir: wie kann man durch eine Liftung eine neue Unterlösung konstruieren.
56 SS2016 Definition 6.17 (Unterlösung,Oberlösung). Ω R n seieingebietleinelliptischeroperator wie in Bedingung 6.1. Seien a i j, b i c stetig mit c 0 in Ω. Sei f stetig in Ω. Eine Funktion u C(Ω) heißt
MehrIII. Iterative Löser. III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile. III.2 Klassische lineare Iterationsverfahren
III. Iterative Löser III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile III.2 Klassische lineare Iterationsverfahren Typeset by FoilTEX 1 Erinnerung: Lineares Gleichungssystem bei FDM Diskretisierung einer linearen
MehrRitz-Galerkin-Verfahren Courant Element
Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element Moritz Scherrmann LMU München Zillertal am 09.01.2015 Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 1/15 Erinnerung Sei R n beschränktes ebiet, f C 0 ()
MehrNichtlineare Optimierung
Nichtlineare Optimierung Roland Griesse Numerische Mathematik Chemnitzer Skiseminar Gerlosberg, 07. 14. März 2009 Gliederung Konvexe Optimierung 1 Konvexe Optimierung Bedeutung Beispiele Charakterisierung
MehrDarstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen
Kapitel 8 Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Wir hatten im Beispiel 5. gesehen, dass die Wärmeleitungsgleichung t u u = f auf Ω (0, ) (8.1) eine parabolische Differentialgleichung
MehrTeil I. Lineare Optimierung
Teil I Lineare Optimierung 5 Kapitel 1 Grundlagen Definition 1.1 Lineares Optimierungsproblem, lineares Programm. Eine Aufgabenstellung wird lineares Optimierungsproblem oder lineares Programm genannt,
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Sei f : R R gegeben durch f(x 1, x ) = x 3
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer
MehrGrundlagen Kondition Demo. Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
MehrExakte Differentialgleichungen
Exakte Differentialgleichungen M. Vock Universität Heidelberg Seminar Mathematische Modellierung am 11.11.2008 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
MehrOptimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1. II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme
Optimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1 II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme Zuerst: Zusammenstellung einiger Begriffe und Aussagen aus der Funktionalanalysis (FA), um dann etwas über
MehrKonvexe Optimierungsprobleme
von: Veronika Kühl 1 Konvexe Optimierungsprobleme Betrachtet werden Probleme der Form (P) min x C f(x) wobei f : C R eine auf C konvexe, aber nicht notwendigerweise differenzierbare Funktion ist. Ziel
Mehr8 1. GEOMETRIE DIFFERENZIERBARER MANNIGFALTIGKEITEN
8 1. GEOMETRIE DIFFERENZIERBARER MANNIGFALTIGKEITEN (vi) Konvergenz von Folgen ist in topologischen Räumen folgendermaßen definiert: Ist (a n ) M eine Folge, so heißt sie konvergent gegen a M, wenn es
Mehr10 Der Integralsatz von Gauß
10 Der Integralsatz von Gauß In diesem Abschnitt beweisen wir den Integralsatz von Gauß, die mehrdimensionale Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Aussage des Satzes
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
MehrNumerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 11 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 2010 Prof. Dr. Klaus Höllig
MehrSchwache Lösungstheorie
Kapitel 4 Schwache Lösungstheorie Bemerkung 4.1 Motivation. Dieses Kapitel stellt eine Erweiterung des Lösungsbegriffes von partiellen Differentialgleichungen vor die schwache Lösung. Diese Erweiterung
MehrPartielle Differentialgleichungen in der Bildverarbeitung. oder
Partielle Differentialgleichungen in der Bildverarbeitung Februar 2003 Dirk Lorenz oder PDEs in der Bildverarbeitung 1 Partielle Differentialgleichungen zum Anfassen und Streicheln PDEs in der Bildverarbeitung
MehrSeminar Gewöhnliche Differentialgleichungen
Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden
MehrMathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017
Mustererkennung Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017 Optimierung: Lagrange-Funktionen, Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen Optimierungsprobleme Optimierung Suche nach dem Maximum oder Minimum
MehrMusterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
MehrDas heißt, Γ ist der Graph einer Funktion von d 1 Veränderlichen.
Kapitel 2 Der Gaußsche Satz Partielle Differentialgleichung sind typischerweise auf beschränkten Gebieten des R d, d 1, zu lösen. Dabei sind die Eigenschaften dieser Gebiete von Bedeutung, insbesondere
MehrStochastik I. Vorlesungsmitschrift
Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................
MehrFunktionalanalysis II. Sommersemester 2002
Funktionalanalysis II Sommersemester 2002 Prof. Dr. Michael Růžička Inhaltsverzeichnis 1 Fixpunktsätze 1 1.1 Der Banachsche Fixpunktsatz....................... 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen....................
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /5 G. Bärwol, A. Gündel-vom-Hofe..5 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurswissenschaften Lösungsskizze. Aufgabe 6Punkte Bestimmen
MehrKAPITEL 3. Konvexe Funktionen
KAPITEL 3 Konvexe Funktionen Sei F R n ein Definitionsbereich und f : F R eine Funktion. Unter dem Epigraphen von f versteht man die Menge epif = {(x, z) R n+1 x F, z R, z f(x)}. Man nennt f konvex, wenn
MehrMathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.
Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
Mehr3 Funktionen in mehreren Variablen
3 Funktionen in mehreren Variablen Funktionen in mehreren Variablen Wir betrachten nun Abbildungen / Funktionen in mehreren Variablen. Dies sind Funktionen von einer Teilmenge des R d nach R. f : D f R,
MehrEinführung und Grundlagen
Kapitel 1 Einführung und Grundlagen Generelle Notation: Ω, A, P sei ein W-Raum im Hintergrund nie weiter spezifiziert Die betrachteten Zufallsvariablen seien auf Ω definiert, zb X : Ω, A M, A, wobei M,
MehrMaximumprinzip und Minimumprinzip
Maximumprinzip und Minimumprinzip Daniela Rottenkolber LMU München Zillertal / 13.12.2012 16.12.2012 Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 1/14 Übersicht Motivation mit Beispielen Schwaches
MehrKAPITEL 5. Nichtlineare Gleichungssysteme
KAPITEL 5. Nichtlineare Gleichungssysteme Beispiel 5.1. Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen m 1 und m 2 mit gegenseitigem Abstand r: F = G m 1m 2 r 2, wobei G = 6.67 10 11 Nm 2 /kg. Gravitationsfeld
Mehr5 Numerische Iterationsverfahren
In diesem Kapitel besprechen wir numerische Iterationsverfahren (insbesondere Fixpunktverfahren) als eine weitere Lösungsmethode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (Kapitel 4) sowie zur Lösung
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 03 6.06.03 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
Mehr42 Orthogonalität Motivation Definition: Orthogonalität Beispiel
4 Orthogonalität 4. Motivation Im euklidischen Raum ist das euklidische Produkt zweier Vektoren u, v IR n gleich, wenn die Vektoren orthogonal zueinander sind. Für beliebige Vektoren lässt sich sogar der
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und die Parsevelsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und die Parsevelsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Dr. Gerhard Mülich Christian Maaß 6.Mai 8 Im letzten Vortrag haben wir gesehen, dass das
MehrWenn man den Kreis mit Radius 1 um (0, 0) beschreiben möchte, dann ist. (x, y) ; x 2 + y 2 = 1 }
A Analsis, Woche Implizite Funktionen A Implizite Funktionen in D A3 Wenn man den Kreis mit Radius um, beschreiben möchte, dann ist { x, ; x + = } eine Möglichkeit Oft ist es bequemer, so eine Figur oder
MehrIterative Methods for Improving Mesh Parameterizations
Iterative Methods for Improving Mesh Parameterizations Autoren: Shen Dong & Michael Garland, SMI 07 Nicola Sheldrick Seminar Computergrafik April 6, 2010 Nicola Sheldrick (Seminar Computergrafik)Iterative
MehrFolgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
MehrLösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
Mehry (k) (0) = y (k) y(z) = c 1 e αz + c 2 e βz. c 1 + c 2 = y 0 k=1 k=1,...,m y k f k (x)
9 Ausgleichsrechnung 9.1 Problemstelllung Eine Reihe von Experimenten soll durchgeführt werden unter bekannten Versuchsbedingungen z Ê m. Es sollen Größen x Ê n bestimmt werden, für die ein Gesetz gelten
MehrDifferentialgleichungen und Hilberträume Sommersemester 2014 Übungsblatt 11
Institut für Analysis Prof. Dr. Wolfgang Reichel Dipl.-Math. Anton Verbitsky Aufgabe 1 Differentialgleichungen und Hilberträume Sommersemester 14 Übungsblatt 11 5 Punkte In dieser Aufgabe geht es um die
MehrFinite Elemente am Beispiel der Poissongleichung
am Beispiel der Poissongleichung Roland Tomasi 11.12.2013 Inhalt 1 2 3 Poissongleichung Sei R n ein Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand und f L 2 (). Wir suchen u : R, so dass u = f in, u = 0 Physikalische
Mehr2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p
Wiederholungsaufgaben Algorithmische Mathematik Sommersemester Prof. Dr. Beuchler Markus Burkow Übungsaufgaben Aufgabe. (Jacobi-Verfahren) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b = für A =, b = 3.
MehrÜbungen für Partielle Differentialgleichungen Wintersemester 2007/08
Übungen für Partielle Differentialgleichungen Wintersemester 27/8 1. Leite eine bekannte partielle Differentialgleichung von physikalischen Prinzipien her. 2. Berechne die variationelle Ableitung des folgenden
MehrOptimaler Transport. Marzena Franek. Skiseminar Februar Institut für Numerische und Angewandte Mathematik
Institut für Numerische und Angewandte Mathematik Skiseminar Februar 2009 1 Das Problem von Monge 1 Das Problem von Monge 2 1 Das Problem von Monge 2 3 1 Das Problem von Monge 2 3 4 1 Das Problem von Monge
MehrNumerische Mathematik I: Grundlagen
Numerische Mathematik I: Grundlagen 09.10.2017 Inhalt der Lehrveranstaltung Inhaltlich sollen Sie in der Lehrveranstaltung Numerische Mathematik I insbesondere vertraut gemacht werden mit der Numerik linearer
MehrNumerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
MehrDifferentialformen. Lie-Ableitung von Differentialformen und Poincaré-Formel. Differentialform dp dx und ihre Invarianz bzgl. Hamiltonischer Flüsse.
Differentialformen Plan Zuerst lineare Algebra: Schiefsymmetrische Formen im R n. Dann Differentialformen: Invarianz bzgl. Diffeomorphismen (und sogar beliebigen glatten Abbildungen). Äußere Ableitung.
MehrFerienkurs Analysis 3. Ari Wugalter März 2011
Ari Wugalter 07. - 08. März 2011 1 1 Hilberträume Im ersten Kapitel wollen wir uns mit den grundlegenden Eigenschaften von Hilberträumen beschäfitgen. Hilberträume habe die herausragende Eigenschaft, dass
MehrFinite Element Methoden für Elliptische Gleichungen zweiter Ordnung
Kapitel 12 Finite Element Methoden für Elliptische Gleichungen zweiter Ordnung 121 Allgemeine Konvergenzsätze Wir haben bereits sogenannte nicht konforme Finite Elemente kennengelernt, das heißt, der Finite
MehrII. Elliptische Probleme
II. Elliptische Probleme II.1 Finite Differenzen: Grundidee II.2 Konvergenzaussagen II.3 Allgemeine Randbedingungen II.4 Gekrümmte Ränder Kapitel II (0) 1 Dirichlet Randwerte mit finiten Differenzen Einfachster
MehrVF-3: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von A x = b.
NumaMB F14 Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Bewertung: Vier Fragen richtig beantwortet
MehrÜbung 5, Analytische Optimierung
Übung 5, 5.7.2011 Analytische Optimierung Aufgabe 5.1 Bei der Herstellung von Konserven werden für Boden und Deckel bzw. für den Konservenmantel verschiedene Materialien verwendet, die g 1 = bzw. g 2 =
MehrInhaltsverzeichnis. Vorwort zur ersten Auflage. Bezeichnungen
Inhaltsverzeichnis Vorwort zur vierten Auflage Vorwort zur ersten Auflage Bezeichnungen v vi xv Kapitel I Einführung 1 1. Beispiele und Typeneinteilung 2 Beispiele 2 Typeneinteilung 7 Sachgemäß gestellte
MehrKurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen
Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen Wintersemester 2012/201 Zwischentest Teil 1: 1. Was bedeuten die Bezeichnungen O(h) und o(h)? (Definition) (siehe Skript!)
Mehr4.6 Berechnung von Eigenwerten
4.6 Berechnung von Eigenwerten Neben der Festlegung auf den betragsgrößten Eigenwert hat die Potenzmethode den Nachteil sehr langsamer Konvergenz, falls die Eigenwerte nicht hinreichend separiert sind.
MehrKapitel II Konforme Finite Elemente
Kapitel II Konforme Finite Elemente Die mathematische Behandlung der Finite-Element-Verfahren fußt auf der Variationsformulierung elliptischer Differentialgleichungen. Die Lösungen der wichtigsten Differentialgleichungen
MehrKonvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung
Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung Michael de Mourgues LMU München Bruck am Ziller, 08.01.2015 Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 1/14 Das
MehrNullstellen von algebraischen Gleichungen
Kapitel 2 Nullstellen von algebraischen Gleichungen 2.1 Vorbemerkungen Suche Lösung der Gleichung f(x) = 0 (2.1) Dies ist die Standardform für eine Dimension. - typisch nichtlineare Gleichung, sonst elementar
MehrNumerische Simulation mit finiten Elementen. O. Rheinbach
Numerische Simulation mit finiten Elementen O. Rheinbach Numerische Simulation mit finiten Elementen INHALT 0.1 Finite Differenzen in 2D 1. Einleitung 1.1 Vorbemerkungen 1.2 Rand- und Anfangswertaufgaben
Mehr