Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion

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1 Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Für eine Näherungsberechnung von Nullstellen einer reellen Funktion f(x) : R R benutzt man das Newton-Verfahren: x (n+1) = x (n) f(x (n) )/f (x (n) ). Das Newton-Verfahren benötigt einen guten Startwert x 0, da es nur lokal konvergent ist.

2 Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Aufgabe 1 Der Ausdruck a mit a R + soll numerisch approximiert werden. Dazu wird das Problem als Nullstellenproblem f(x) := x 2 a = 0 aufgefaßt und iterativ mit dem Newton- Verfahren bearbeitet. Formulieren Sie das Newton-Verfahren zum oben genannten Nullstellenproblem. Für welche Startwerte x 0 konvergiert das Newton-Verfahren gegen a? Nun sei a = 3. Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren ausgehend vom Startwert x 0 = 3 sukzessive Approximationen x i an 3, bis für den Approximationsfehler x i 3 < 1/20 gilt.

3 n xn xn xn 1 Kn φ(3) = 3 1 = (1 3 9 ) = φ(2) = = (1 3 4 ) = φ( 7 4 ) = = < 1 20 Kn 1 1 Kn 1 x n xn = 1 28 < 1 20

4 Newton-Verfahren für ein Gleichungssystem Für eine Näherungslösung des Gleichungssystems f 1 (x 1,..., x n ) F (x) =. = 0 f n (x 1,..., x n ) berechnet man die Nullstellen von F (x) nach dem Newton-Verfahren x (n+1) = x (n) (F ( x (n))) 1 ( F x (n)). Eine äquivalente ( Formulierung ist F x (n)) ( x (n) = F x (n)), x (n+1) = x (n) + x (n) Dadurch wird die Invertierung von F ( x (n)) vermieden und pro Schritt nur ein Gleichungssystem gelöst.

5 Newton-Verfahren für ein Gleichungssystem Aufgabe 2 Gesucht ist eine näherungsweise Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems x 2 y 1 12 z = 0, 2x(z + y 2 ) 1 2 z = 1, x y = 0. Berechnen Sie dazu einen Iterationsschritt des Newton-Verfahrens zum Startwert (0, 0, 1) T.

6 Newton-Verfahren für ein Gleichungssystem Wir haben eine vektorwertige Funktion f : R 3 R 3 : x 1 f 1 (x 1, x 2, x 3 ) x = x 2, f(x) = f 2 (x 1, x 2, x 3 ) x 3 f 3 (x 1, x 2, x 3 ) Die Jacobi-Matrix von f ist J f (x) = f (x) = = ( x1 f(x), x f 1 1 (x) x f 1 2 (x) x f 1 3 (x) x2 f(x), x2 f 1 (x) x2 f 2 (x) x2 f 3 (x) x3 f(x) ) x3 f 1 (x) x3 f 2 (x). x3 f 3 (x)

7 Konvergenzordnung Ein Maß für die Konvergenzgeschwindigkeit einer Folge ist der Begriff der Konvergenzordnung. Definition: Eine konvergente Folge x k, k = 0, 1,... in R n mit Grenzwert x hat die Konvergenzordnung p, falls für ein k 0 N x n+1 x C x n x p. für alle k k 0 gilt, wobei 0 < C < 1 falls p = 1.

8 Newton-Verfahren bei doppelter Nullstelle Aufgabe 3 a) Wir betrachten die Funktion f(x) = cos(x) + e (x π)2. Führen Sie, ausgehend vom Startwert x 0 = 4, jeweils drei Schritte des Newton Verfahrens und des modifizierten Newton Verfahrens durch, und vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Lösung x = π. b) Die Funktion g : R R besitze eine doppelte Nullstelle in x. Zeigen Sie, daß das modifizierte Newton Verfahren lokal quadratisch gegen x konvergiert.

9 Newton-Verfahren bei doppelter Nullstelle Sei f C 1 (R) eine Funktion mit einer m-fachigen Nullstele x, d.h. existiert eine Funktion g C 1 (R), die g(x ) 0 und f(x) = (x x ) m g(x) für alle x R erfüllt. Mit der Hilfe der Produktregel erhält man f (x) = m (x x ) m 1 g(x) + (x x ) m g (x).

10 Für den klassischen Newton-Verfahren gilt x n+1 x = x n [f (x n )] 1 f(x n ) x mit = C(x)(x n x ) C(x) = g(x n) + (x n x ) g (x n ) m g(x n ) + (x n x ) g (x n ). Wegen g(x ) 0 ist der Nenner von C(x) in einem Intervall I 1 um x wohldefiniert. Ausserdem wegen C(x ) = 1/m es gibt einen Intervall I 2 um x so daß C(x) < 1 für alle x I 2. Also gilt in I = I 1 I 2 die Abschäzung x n+1 x < x n x. Daß heißt, das Newton-Verfahren bei m- fachigen Nullstellen linear konvergiert.

11 Für den modifizierten Newton-Verfahren gilt x n+1 x = x n m [f (x n )] 1 f(x n ) x = C(x)(x n x ) 2 mit g (x n ) C(x) = m g(x n ) + (x n x ) g (x n ). Wegen g(x ) 0 ist der Nenner von C(x) in einem Intervall I um x wohldefiniert und insbesondere beschränkt: C(x) C für alle x I. Also gilt in I die Abschäzung x n+1 x C x n x 2. Daß heißt, das modifizierte Newton-Verfahren bei m-fachigen Nullstellen quadratisch konvergiert.

12 Newton-Verfahren bei doppelter Nullstelle x k+1 = x k f(x k )/f (x k ) k x k x k π e e e e e e e e e e 02 x k+1 = x k 2f(x k )/f (x k ) k x k x k π e e e e e e e e e e 12

13 Banach-Fixpunktsatz und Newton-Verfahren Aufgabe 4 Approximieren Sie die Nullstelle der Funktion f : R R, x x exp( x) a) mit der einfachen Fixpunktiteration und b) mit dem Newton-Verfahren, indem Sie jeweils vom x 0 = 1 ausgehen und einige Iterierte berechnen. Weisen Sie nach, da die Verfahren in Teil a) und b) auf geeigneten Intervallen konvergieren und vergleichen Sie die numerischen Ergebnisse der zwei iterativen Verfahren.

14 x k+1 = e x k k x k x x k x k+1 x k Fixpunktiteration e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 03 Newton Verfahren k x k x x k x k+1 x k e e e e e e e e e e e e e e 18

15 Banach-Fixpunktsatz und Newton-Verfahren Aufgabe 5 Sei F : R n R n stetig differenzierbar. Dann lautet die Newton-Iteration x k+1 = x k + s k, F (x k )s k = F (x k ) für alle k N 0. Sei F : R n R n stetig differenzierbar und die Jacobi-Matrix F (x) für jedes x R n invertierbar. Dann konvergiert die Newton-Iteration für jeden Startwert x 0 R n gegen eine Nullstelle von F.

16 Banach-Fixpunktsatz und Newton-Verfahren Aufgabe 5 Man bestimmt mit dem Newton-Verfahren eine Nullstelle x R der Funktion f : R R mit f(x) := 2x 2. Dann benötigt man mehr als zwei Iterationen bei einem Startwert x 0 [ 1, 2], um die Lösung bis auf eine Genauigeit von ɛ = 10 3 zu bestimmen. Die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration ist in der Regel größer als 1. Das Newton-Verfahren ist immer schneller als das Fixpunktverfahren.

17 Man bestimmt die Nullstelle x = 0 der Funktion f(x) := x x 6. Banach-Verfahren ist x k+1 = x 6 k. Newton-Verfahren ist x k+1 = x k x k x 6 k 1 6x 5. k k Banach Newton e e e e e e e e e e e e 16