Numerik und Simulation in der Geoökologie
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- Alwin Beck
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1 1/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Numerik und Simulation in der Geoökologie Sylvia Moenickes VL 2 WS 2007/2008
2 2/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
3 3/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
4 4/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Die Kondition einer Matrix Für den Fehler der Lösung eines linearen Gleichungssystems A x = b mit fehlerbehaftetem b ist die Kondition der Matrix A, definiert ( ) als ausschlaggebend. κ(a) = A A 1, (1) Kleine Konditionszahlen lassen mit der Abschätzung x b x κ(a) auf kleine Fehler schließen. b ( )... vorausgesetzt, es gibt A 1, d.h. A ist regulär.
5 5/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Iterative Lösung von Nullstellen-Problemen Algorithmisch: x n+1 = x n x3 n 16 3x 2 n mit Startwert x 0 = 7 Abbruchkriterium x i+1 x i < ε Programmiert: x=7; while abs(x^3-16)> x=x-(x^3-16)/(3*x^2); end x
6 6/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Konvergenz von Folgen Rekursive Folge Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung erzeugt eine rekursive Folge a n = f (a n 1, a n 2,...). Cauchysches Konvergenzkriterium Die Folge a n konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein N(ε) N existiert, so dass für alle n, m mit n N, m N gilt: a n a m < ε.
7 7/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Grenzen des Newton-Verfahrens Wahl von x 0 Eigenschaften der Funktion in der Umgebung der Nullstelle...
8 8/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Eine grafische Konvergenzbetrachtung
9 9/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Eine grafische Konvergenzbetrachtung
10 10/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Eine grafische Konvergenzbetrachtung
11 11/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Eine grafische Konvergenzbetrachtung
12 12/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
13 13/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf
14 14/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf dy dt = k t y mit y(0) = y 0 (2) λ
15 15/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf dy dt = k t y mit y(0) = y 0 (2) λ dm dt = r m (1 m K ) mit m(0) = m 0 (3)
16 16/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Geoökologische dynamische Systeme sind häufig nur als Anfangswertprobleme formulierbar: Abbau einer xenobiotischen Substanz durch Mikroorganismen, deren Entwicklung abhängig vom Substrat, oder der Temperatur, die abhängig ist vom Tagesverlauf dy dt = k t y mit y(0) = y 0 (2) λ dm dt = r m (1 m K ) mit m(0) = m 0 (3) dx dt = k 0 e E 273R E (273+T (t))r x mit x(0) = x 0 (4)
17 17/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Das Problem grundsätzliches Ziel: Lösung des Anfangswertproblems (IVP) bekannt: dy(t) dt = f (y(t), t) mit y(0) = y 0 (5) Lösung y(0) zum Zeitpunkt t = 0, zeitl. Veränderung berechenbar für jedes t, wenn y(t) gegeben: durch Einsetzen in der rechten Seite gesucht: y(t) erster Weg: mit Beppo: Schritt, Atemzug, Besenstrich mit Euler: aus d mach
18 18/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
19 19/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
20 20/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
21 21/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
22 22/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
23 23/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
24 24/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
25 25/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
26 26/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
27 27/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
28 28/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
29 29/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
30 30/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo
31 31/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Beppo Wie könnte y 1 berechnet werden?
32 32/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
33 33/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Euler Der Eulersche Ansatz lautet: d zu, d.h. aus Differentialquotienten werden Differenzenquotienten: y f (y, t) (6) t Daraus ergeben sich als weitere Fragen: Was sind y und t? Wie ist f (y(t), t) anzunähern?
34 34/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Euler Der Eulersche Ansatz lautet: d zu, d.h. aus Differentialquotienten werden Differenzenquotienten: y f (y, t) (6) t Daraus ergeben sich als weitere Fragen: Was sind y und t? Wie ist f (y(t), t) anzunähern? Euler schlägt vor: y = y k+1 y k t = t k+1 t k f (y(t), t) = f (y k, t k ) (7)
35 35/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Euler Also: y k+1 y k t k+1 t k = f (y k, t k ) (8) und mit einer konstanten Schrittweite t k+1 t k = h wird daraus: Unsere erste Verfahrensvorschrift! y k+1 = y k + h f (y k, t k ) (9)
36 36/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Einschrittverfahren allgemein Das Euler-Verfahren zählt zu den Einschrittverfahren, die allgemein formuliert werden als: y k+1 = y k + h φ(y k, t k, h) (10) Für das Euler-Verfahren gilt also zuzüglich: φ(y k, t k, h) = f (y k, t k ) (11)
37 37/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
38 38/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
39 39/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der Diskretisationsfehler... beschreibt das Verhältnis zwischen numerischer und exakter Lösung mit folgenden Bezeichungen: y(t) y(t k ) y k exakte Lösung des IVP in t exakte Lösung des IVP an der Stelle t k numerische Lösung des IVP an der Stelle t k
40 40/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der lokale Diskretisationsfehler d k+1... ist der Fehler des numerischen Verfahrens an der Stelle t k+1, wenn in t k von der exakten Lösung ausgegangen wird, also von y k = y(t k ). Es gilt für y k+1 dann: Und für d k+1 : y k+1 = y(t k ) + h φ(y(t k ), t k, h) (12) d k+1 = y(t k+1 ) y k+1 yk =y(t k ) = y(t k+1 ) (y(t k ) + h φ(y(t k ), t k, h)) (13)
41 41/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der globale Diskretisationsfehler g k... ist der tatsächliche Fehler an der Stelle t k
42 42/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Der globale Diskretisationsfehler g k... ist der tatsächliche Fehler an der Stelle t k g k = y(t k ) y k (14)
43 43/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Die Diskretisationsfehler grafisch
44 44/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Die Fehlerordnung p Ein Einschrittverfahren besitzt die Fehlerordnung p, wenn der globale Diskretisationsfehler g n beschränkt ist durch g n const. e (tn t0)l h p = O(h p ) (15) L wozu nötig ist, dass für den lokalen Diskretisationsfehler d k die Abschätzung gilt. max d k D = const. h p+1 (16) 1 k n Soon on your blackboard.
45 45/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
46 46/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Konsistenz Ein Verfahren heißt konsistent, wenn y k+1 y k lim = dy h 0 h dt = φ(y k, t k, 0) (17) tk d.h. wenn Für das Euler-Verfahren galt ja gerade Es ist also konsistent. lim φ(y k, t k, h) = f (y k, t k ) (18) h 0 φ(y k, t k, h) = f (y k, t k ) (19)
47 47/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Parcours Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Nach Beppo Nach Euler Eigenschaften von Einschrittverfahren Diskretisationsfehler Konsistenz Konvergenz
48 48/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Konvergenz Ein Verfahren heißt konvergent, wenn max g k C(h). (20) k Es heißt konvergent von p-ter Ordnung, wenn es ein C gibt, so dass C(h) = C h p. Die Konvergenzordnung entspricht unserer Fehlerordnung.
49 49/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Andere Sitten Lokaler Abbruchfehler τ k (h): Globaler Abbruchfehler τ(h): Konsistenzordnung: Konsistenz lässt sich dann bedingen durch d k (h) = h τ k (h) (21) τ(h) = max 1 k n τ k(h) (22) lim τ(h) = 0 (23) h 0 Eine Konsistenzordnung p ist τ(h) = O(h p ) für h 0.
VF-3: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von A x = b.
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