Lösung Semesterendprüfung

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Elvira Hochberg
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1 MNUM Mathematik: Numerische Methoden Herbstsemester 06 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung Semesterendprüfung Aufgabe : Wir zeichnen die Funktionen auf beiden Seiten der Gleichung:.5 sin +3 e Wir erkennen, dass die gesuchte grösste Lösung > efüllt. Wir definieren die Funktion f : sin + 3 e 5 und suchen die Lösung der Gleichung f 0 mit >. a Für das Newton-Verfahren Kap.. der Vorlesung benötigen wir die Ableitung der Funktion f. Diese ist gegeben durch f cos e 5 e cos e 5. 3 Wir wählen 0 : als Startwert und erhalten 3 n n f n b Für die Regula Falsi Kap.. der Vorlesung benötigen wir keine Ableitung von f. Wir wählen [a 0, b 0 ] : [, 3] als Startintervall und erhalten c c c 3 n c n fc n

2 Aufgabe : Wir schreiben das lineare Ausgleichsproblem zuerst in Matriform: f ; a, b, c f ; a, b, c e e 5 + a +3! b... c f 0 ; a, b, c 0 0 e } {{ } :A R 0 3 }{{} : R 3. 0 } {{ } :b R 0. Dies ist ein überbestimmtes lineares Gleichungssstem, das wir gemäss Kap... der Vorlesung lösen:. Wir bestimmen eine reduzierte QR-Zerlegung der Matri A: A Q R, mit Q... R0 3, R R Wir berechnen den Vektor : Q b R Wir lösen das lineare Gleichungssstem R durch Rückwärtseinsetzen, und wir erhalten die Kleinste-Quadrate-Lösung a 3.8 b c.5.08 R 3. 8 Die Summe der Fehlerquadrate erhalten wir als Quadrat der Euklidischen Norm: 0 i i f i ; a, b, c b A a 3.8, b.5, c f;a,b,c a +3 +be 5 + +c Datenpunkte i, i

3 Aufgabe 3 : a Für den i-ten Schritt des gegebenen Verfahrens erhalten wir mit f, : 3 und i 0 + ih: k f i + 5 h, i, 0 k f i h, i + h 3 k, i i + h 3 k + 3 k, mit Startwerten 0, 0 3. Für N 00, h X 0 wir die Werte N N N , erhalten Die folgende Grafik illustriert, dass die numerische Lösung gut dem normierten Richtungsfeld der gewöhnlichen Differenzialgleichung folgt: 3, b Wir definieren, :, und erhalten + e + + e : f,, + 3 : 0. 3 Mit dem Verfahren von Heun erhalten wir im i-ten Schritt die Gleichungen k f i, i i, i, + i e, i, + i k f i + h, i + hk, 5 i i + h k + k, 6 mit Startwerten 0 und

4 Aufgabe : a Gemäss Kap..3.3 der Vorlesung beträgt die Maschinengenauigkeit für IEEE- single precision -Zahlen ε ε ist die kleinste Gleitkommazahl, für die + ε > gilt. Wegen 0 7 < ε gilt für IEEE- single precision -Zahlen Absorption, und die Aussage ist daher falsch. b Wir überprüfen die Ordnungsbedingungen 60 6 aus Kap. 5.3 der Vorlesung: b + b 3 +, 7 3 b c + b c , 8 0 b a Das Verfahren erfüllt die ersten drei Ordnungsbedingungen und hat daher mindestens die Konsistenzordnung. Dies ist gleich der maimal erreichbaren Konsistenzordnung für ein eplizites zweistufiges Runge-Kutta-Verfahren p s, und damit ist die Konsistenzordnung genau. Gemäss Satz der Vorlesung hat das Verfahren auch Konvergenzordnung, und die Aussage ist also wahr. c Sei b R n die fehlerbehaftete rechte Seite, und sei : A b R n die Lösung des linearen Gleichungssstems A b. Nach Satz 7 der Vorlesung gilt conda }{{} 0 5 b b b } {{ } , wobei die induzierende Vektornorm bezeichnet. Die Aussage ist also wahr. d Wir wollen den Satz 3 der Vorlesung anwenden und bringen dazu das Tableau auf Zeilenstufenform: I II A b III III + 3 II Offenbar gilt ranga < 3 ranga b, und damit hat das lineare Gleichungssstem A b keine Lösung. Die Aussage ist also falsch. Aufgabe 5 : a Die gegebene Singulärwertzerlegung ist von der Form A σ u u 0 v v 0 σ. Wir wissen aus Kap..3 der Vorlesung, dass Av σ u gilt. Jetzt erkennen wir, dass die Vektoren in der gegebenen Gleichung Vielfache der Singulärvektoren sind: A A5v 5Av 5σ u σ 5u σ 3 Daraus folgern wir σ 000.!

5 b Gemäss Satz 7 gilt Aufgabe 6 : cond A b b b! Die durch die Euklidische Norm induzierte Matrinorm ist gemäss Kap. 3.. der Vorlesung die Spektralnorm, und die Konditionszahl einer Matri bzgl. der Spektralnorm ist gemäss Satz 0 der Vorlesung gegeben durch das Verhältnis zwischen dem grössten und dem kleinsten Singulärwert hier ist σ > σ!: Daher muss cond A σ a σ 000 b b b gelten. Der relative Fehler in der Euklidischen Norm in der rechten Seite darf also höchstens betragen. c Gemäss Satz 8 der Vorlesung sind die Rechts-Singulärvektoren v, v der Matri A normierte Eigenvektoren der Matri A A. Also ist z. B. der Vektor v : 5v ein Eigenvektor der Matri A A: 7 A Av 5A Av 5σ A u 5σ v σ v, 6 wobei wir in der dritten Gleichung A u σ v verwendet haben. a Mit f, : ist die gdgl. Ordnung in Standardform, f,. Für das eulersche Polgonzugverfahren rechnen wir im i-ten Schritt: Wir rechnen aus: i i h i i k f i, i i, i 7 i i + hk. 8 h i i h i. 9 i i Die eakte Lösung des Anfangswertproblems u f, u u, u i i, erhalten wir aus den beiden Schritten Berechnen der allgemeinen Lösung der gdgl Trennung der Variablen: du d u, u du d, lnu ln + C, u C, 30 mit Integrationskonstante C R, 5

6 Bestimmen des Wertes der Integrationskonstante C aus der Anfangsbedingung: Wir erhalten u i C! i C i i, u i i. 3 i und damit den lokalen Fehler u i i i i i i + h i, 3 τ i,h i u i i h i i i i + h i 33 i + h i h i i i h i i i + h i i + h i 3 h i i + h i. 35 b Mit der gegebenen Talor-Entwicklung erhalten wir für a : i : und damit für den lokalen Fehler: i + h i + Oh, h 0, τ i,h h i i + h 36 i h i + Oh i 37 i h i h Oh i h i } i {{} i + Oh 3 Oh, 38 i Oh 3, h 0 für h 0. Gemäss Def. der Vorlesung hat das eulersche Polgonzugverfahren für dieses Problem die Konsistenzordnung p. 6

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