NUMERIK 1. Sommersemester 2016

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "NUMERIK 1. Sommersemester 2016"

Elisabeth Giese
vor 5 Jahren
Abrufe

1 NUMERIK 1 Soerseester 2016 KLAUSUR LÖSUNGSVORSCHLAG Aufgabe 1 (Multiple Choice) (ca. 20 Minuten, 8 Punkte) Kreuzen Sie korrekte Aussagen an. Es können ehrere Antworten richtig sein, indestens eine ist korrekt. Eine Aufgabe gilt als erfolgreich gelöst, wenn alle richtigen Antworten angekreuzt sind und keine falsche. Für jede gelöste Aufgabe gibt es 2 Punkte. Es werden keine Punkte abgezogen. (a) Für f C[a, b] betrachte an die Quadraturforel Î( f ) = (b a) n i=0 µ i f (x i ) it n + 1 Stützstellen a x 0 <... < x n b und Gewichten µ i. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? Es gibt eine Quadraturforel it zwei Stützstellen x 0 < x 1, die für alle Polynoe p P 3 exakt ist. ( Gauß-Quadratur) Für zwei beliebig vorgegebene Stützstellen x 0 < x 1 gibt es stets geeignete Gewichte µ 0, µ 1, so dass die zugehörige Quadraturforel für alle Polynoe p P 2 exakt ist. (Gegenbeispiel: wähle x 0 = a, x 1 = b und zwei verschiedene Parabeln it gleichen Stützwerten.) Es gibt eine Quadraturforel it drei Stützstellen a = x 0 < x 1 < x 2 = b, die für alle Polynoe p P 3 exakt ist. ( Sipsonregel) (b) Für welche der folgenden Noren auf R 3 existiert eine eindeutige Bestapproxiation von y = (3, 5, 2) in de Unterrau U = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3, x 3 = 0}? x 2 = 3 x 2 3 i x 1 = x i x = ax x i keine,2,3 ( Für 2 ist der Rau streng konvex. Für 1 rechnet an nach.) (c) Es sei in f C 2 [ 1, 1], f (x) = x 5 2x 3 + x, und v : [ 1, 1] R, v(x) = 0 x [ 1, 1]. Betrachte das Gitter = { 1, 0, 1}. Es gilt: v ist Lösung der Interpolationsaufgabe v ist Lösung der Interpolationsaufgabe it natürlichen Randbedingungen. v ist Lösung der Interpolationsaufgabe s n S 1 : s n(x k ) = f (x k ) x k. s n S 3 : s n(x k ) = f (x k ) x k s n S 3 : s n(x k ) = f (x k ) x k it vollständigen Randbedingungen. ( Es gilt f ( 1) = f (0) = f (1) = 0 und f ( 1) = f (1) = 0. Die Nullfunktion ist linear und dait in S 1 und in S3 ; außerde erfüllt sie v ( 1) = v (1) = 0 und soit die natürlichen Randbedingungen.) (d) Welche der folgenden Butcher-Scheata charakterisieren ein explizites Runge-Kutta- Verfahren 2. Stufe? /2 1/2 1/2 1/ / / /3 0 1/4 0 3/4

2 Aufgabe 2 (Verschiedende kurze Aufgaben) Es sind kurze und richtige Begründungen gefragt. (ca. 25 Minuten, 8 Punkte) (a) (2 Punkte) Es sei eine QR-Zerlegung der nichtsingulären Matrix A R n n gegeben. Weiter sei b R n. Existiert ein Algorithus, welcher das lineare Gleichungssyste Ax = b in O(n 2 ) Flops (Gleitkoaoperationen) löst? Ja, y = Q b, x = R 1 y. Beide Operationen sind in O(n 2 ) Flops realisierbar: Matrix-Vektor- Produkt bzw. Rückwärtssubstitution. (b) (3 Punkte) Für das Anfangswertproble x (t) = x(t), x(0) = 1, wurde der Wert x(1) ithilfe folgender Runge-Kutta-Verfahren bestit: Verfahren von Runge Explizites Eulerverfahren klassisches Runge-Kutta-Verfahren (RK4) In Abbildung 1 ist der Fehler x(1) x (1) in Abhängigkeit der Schrittweite τ = 1 N > 0 (für verschiedene N it 1 N 10 3 ) bei äquidistante Gitter = {t k = kτ k = 0,..., N} dargestellt. (b1) Bestien Sie anhand der Abbildung die Ordnung des Verfahrens, das zu Graphen C gehört. (b2) Ordnen Sie die Graphen A, B, C den gegebenen Verfahren zu A Fehler B C Schrittweite Abbildung 1: Fehler in Abhängigkeit der Schrittweite τ > 0. (b1) Auf doppeltlogarithischer Skala ist die Ordnung gerade durch die Steigung des Graphen gegeben, hier also p = 4. (b2) Tragen Sie ein: Verfahren von Runge: B Explizites Eulerverfahren: A klassisches Runge-Kutta-Verfahren: C b.w.

3 (c) (3 Punkte) Das Polyno x 5 2x hat i Intervall (1, 2) eine eindeutige Nullstelle x. U die zu berechnen, verwenden wir Fixpunktiteration it Startwert x 0 = x und den Iterationsfunktionen φ 1 (x) = x 5 x, φ 2 (x) = (2x) 1/5 und φ 3 (x) = log 10 (x 5 )/2. Für welche Iterationsfunktionen kann die Iteration nicht gegen x konvergieren? φ 1 (x) = 5x4 1 > 1 für alle x (1, 2), und φ 2 (x ) = 2 5 x 4/5 in (1, 2). Dait konvergiert die Iteration für φ 1 nicht, und für φ 2 lokal schon. Die Funktion φ 3 hat den falschen Fixpunkt! < 2 5

4 Aufgabe 3 (Herite-Iterpolation) Lösen Sie die Herite sche Interpolationsaufgabe (ca. 10 Minuten, 3 Punkte) p P 2 : p(0) = 1, p (0) = s R, p(1) = 0 in Abhängigkeit von s. 1. Möglichkeit: Neville-Tableau: Dait ist die Lösung gegeben durch k x k f [x k ] f [x k 1, x k ] f [x k 2, x k 1, x k ] s = 1 1 s 1 0 = 1 s (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) = 1 + sx (s + 1)x Möglichkeit: Setze (x) = ax 2 + bx + c und bestie die Koeffizienten a, b, c R ithilfe der gegebenen Gleichungen. Aus p(0) = 1 folgt c = 1. Aus p (x) = 2ax + b und p (0) = s folgt b = s. Dait ergibt sich p(1) = a + s + 1 = 0, also a = s 1. Insgesat ergibt sich (x) = (s + 1)x 2 + sx + 1.

5 Aufgabe 4 (Affininvarianz der Newton-Iteration) (ca. 15 Minuten, 4 Punkte) Das Newton-Verfahren für die Berechnung der Nullstelle der stetig differenzierbaren Funktion f : R R liefere die Folge {x k } k 0. Die Funktion g : R R sei durch g(x) := f (ax) gegeben, dabei ist a R, a = 0. Für die Funktion g liefere das Newton-Verfahren die Iterierten {y k } k 0. Zeigen Sie: falls y 0 = a 1 x 0, so gilt y k = a 1 x k für alle k 0. Die Newtoniteration für y k lautet y k+1 = y k g(y k) g. Außerde gilt it der Kettenregel (y k ) g (y) = a f (ay). Beweis durch Induktion: Für k = 0 gilt die Aussage, und it der Induktionsvoraussetzung ergibt sich y k+1 = y k g(y k) g (y k ) = y k f (ay k) a f (ay k ) i.v. = a 1 x k a 1 f (x k) f (x k ) = a 1 x k+1.

6 Aufgabe 5 (Lineares Ausgleichsproble) (ca. 15 Minuten, 4 Punkte) In der Modellfunktion w(t) = p 1 + t sollen die unbekannten Paraeter p 1, anhand von Messungen (t i, w i ), i = 1,...,, über das lineare Ausgleichsproble (p 1 + t i w i ) 2 = in! ( ) bestit werden. Man kann das Proble in der For Ap b 2 2 = in!, p = p1 schreiben. (a) Geben Sie A und b an. (b) Zeigen Sie ohne Verwendung der QR-Zerlegung, dass der Paraetervektor p = folgende Gleichung erfüllt: it x i := x i. ( ) ( ) ti p1 t i t 2 i ( ) wi =, t i w i ( p1 ) die (a). 1 t 1 A =.. 1 t, b = (b). 1. Möglichkeit: Aus der Noralengleichung A A 2. Möglichkeit: Der Ausdruck f (p) := ( p1 w 1. w (p 1 + t i w i ) 2. ) = A b folgt die Behauptung. ist inial, wenn ihre Ableitung nach p 1 und nach verschwindet. Also Uforen ergibt 0! = f p 1 = 2(p 1 + t i w i ), 0 =! f = 2(p 1 + t i w i )t i. (p 1 + t i ) = (p 1 + t i )t i = und das entspricht der gegebenen Gleichung. w i, w i t i,

Ähnliche Dokumente

MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik

MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik ................ Note Nae Vornae 1 I II Matrikelnuer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 Obige Angaben sind richtig: Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 3 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN