Numerische Methoden 6. Übungsblatt

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1 Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 202 Institut für Analysis Prof. Dr. Michael Plu Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel Nuerische Methoden 6. Übungsblatt Aufgabe 3: Newton-Verfahren I Ziel dieser Aufgabe ist der Nachweis der quadratischen Konvergenz des eindiensionalen Newton-Verfahrens zu Startwert x 0 = 0. zur Bestiung einer Nullstelle der Funktion f(x) = sin(x) 0.5x 0. () Die Iterierten des zugehörigen Newton-Verfahrens seien it x bezeichnet, sei x 0 = 0.. Der Einsatz eines Taschenrechners zur Berechnung von Zahlenwerten ist vorgesehen. a) Forulieren Sie das Newton-Verfahren zur Lösung von () und führen Sie drei Iterationen durch. b) Zeigen Sie, dass f eine Nullstelle x (0, 0.3) besitzt und folgern Sie x 0 x < 0.2. c) Zeigen Sie für alle N 0 : d) Zeigen Sie li x = x. x + x 2 3 x x 2 und x x 0.2 a) Es gilt f (x) = cos(x) 0.5 und wir erhalten x + = x f(x ) f (x ) = x sin(x ) 0.5x 0. cos(x ) 0.5 Die ersten drei Iterierten lauten x 0.20, x , x b) Es gilt f(0) = 0. und f(0.3) 0.05; nach de Zwischenwertsatz existiert eine Nullstelle x (0, 0.3) von f. Hieraus folgt x 0 x = ax{x 0 x, x x 0 } < ax{0. 0, } = 0.2.

2 c) Für = 0: Nach b) gilt x 0 x < 0.2. Für alle x it x x < 0.2 und dait 0.5 < x < 0.5. Es folgt f (x) = cos(x) 0.5 cos(0.5) 0.5 ( 0.5 < x < 0.5), f (x) = sin(x) sin(0.5) ( 0.5 < x < 0.5) und dait nach Skript x x sin(0.5) 2(cos(0.5) 0.5) x0 x x0 x 2. Sei nun die Behauptung für N 0 gezeigt, insbesondere x x < 0.2. Dann folgt wieder nach Skript x + x sin(0.5) 2(cos(0.5) 0.5) x x x x 2 und dait x + x < 0.2. Dait ist der Induktionsbeweis erbracht. d) Es folgt nach c) alle N x x 2 3 x x 2... ( 2) 2 x 0 x 2 ( 2) Folglich x x für. Aufgabe 4: Newton-Verfahren II. Erstellen Sie auf Grundlage des Newton-Verfahrens ein Iterationsverfahren zur Berechnung von a /n für a > Berechnen Sie die ersten drei Iterierten des Newton-Verfahrens zur Funktion f(x) = x 3 2x + 2 it Startwert 0. Konvergiert das Newton-Verfahren? Interpretieren Sie das Ergebnis.. Die Zahl a /n ist Nullstelle des Polynos f(x) = x n a, sodass ein Iterationsverfahren für einen Startwert x 0 gegeben ist durch x + = x f(x ) f (x ) = x (x ) n a n(x ) n = n n x + a n (x ) n

3 2. Die Newton-Iteration lautet Es gilt also x + = x f(x ) f (x ) = x (x ) 2 2x + 2 3(x ) 2 2 x 0 =, x = = 0, x2 = =, x3 = 0. Es werden abwechselnd die Werte 0 und angenoen, sodass eine Konvergenz der Iterierten ausgeschlossen ist. Fazit: Der Startwert x 0 = 0 war oenbar nicht nah genug an der Lösung dran. Aufgabe 5: Newton-Verfahren III Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssyste ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 = ( ) 0. (2) 0 a) Bestien Sie die exakte Lösung z = (x, y ) R 2 von (2) it x, y 0. b) Forulieren Sie das Newton-Verfahren zur Lösung von (2) zu eine gegebenen Startwert z 0 = (x 0, y 0 ). Die Iterierten seien i Folgenden it z = (x, y ) bezeichnet. c) Finden Sie ein δ > 0 und z 0 so, dass ein C (0, δ ) it der Eigenschaft z + z C z z 2, z z δ ( N 0 ) existiert. d) Zeigen Sie: z z C 2 z 0 z 2 ( N 0 ) e) Zeigen Sie li z = z. a) Es gilt z = (, ). b) Die Jacobi-Matrix von f und ihre Inverse sind gegeben durch ( ) f 2x 2y (x, y) = f (x, y) = ( ) y y, 2x 2y 4xy x x

4 so dass die Newton-Iteration gegeben ist durch z + = z f (z ) f(z ) ( ) ( x y y = y ) 4x y x x = ( x + ) x 2 y +. y ( (x ) 2 + (y ) 2 ) 2 (x ) 2 (y ) 2 c) Sei z z δ für δ > 0, also x, y δ. Nach de Satz von Taylor gibt es ein ξ zwischen und x sowie ein η zwischen und y it ( x + ) ( y + = 2 x + ) ( ) 2x (x ) 2 2 y + 2(ξ = ) 3 2y (y ) 2. 2(η ) 3 und soit z + z 2( δ) 3 z z 2 und wir erhalten C =. Die Ungleichung C < 2( δ) 3 δ ist zu Beispiel für δ = 0.2 erfüllt. Also ist z 0 it z 0 (, ) = z 0 z δ = 0.2 eine gültige Wahl. d) Für = 0 ist die Behauptung nach c) wahr. Ist die Behauptung für N 0 gezeigt, dann folgt aus z z C 2 z 0 z 2 δ und c) z + z C z z 2 C ( C 2 z 0 z ) 2 2 = C 2 + z 0 z 2+. Dait ist der Induktionsbeweis erbracht. e) Wegen z 0 z = (., 0.85) (, ) = 0.5 < δ folgt aus d) z z C 2 z 0 z 2 daher li z = z. C 2 δ 2 = (}{{} Cδ ) 2 C, < Aufgabe 6: Quadratur I Bestien Sie einen Näherungswert zu den Integralen a) cos(x) dx b) (3x 2 2e x 5) dx unter Verwendung der Trapezregel, der zusaengesetzten Trapezregel zur Intervalllänge h = 2 und der Sipsonregel. Bestien Sie darüberhinaus den exakten Wert der Integrale sowie den jeweiligen absoluten Fehler.

5 a) Der exakte Wert des Integrals lautet 2 sin() Die entsprechenden Näherungen lauten:. Trapezregel: 2 2 (cos( ) + cos()) Fehler: zusaengesetzte Trapezregel: 2 ( 2 cos( ) + cos( 0.5) + cos(0) + cos(0.5) + cos()) Fehler: Sipsonregel: 2 6 (cos( ) + 4 cos(0) + cos()) Fehler: b) Der exakte Wert des Integrals lautet 8 2e + 2 e Die entsprechenden Näherungen lauten:. Trapezregel: 2 2 ((3 2 e 5) + (3 2e 5)) Fehler: zusaengesetzte Trapezregel: 2 ( 2 (3 2 e 5)+( e 0.5 5)+( 2 5)+( e 0.5 5)+ (3 2e 5)) Fehler: Sipsonregel: 2 6 ((3 2 e 5) + 4 ( 2 5) + (3 2e 5)) Fehler: