Lösungen der Probe-Vorklausur 1. Lösungen der Probe-Vorklausur 2

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1 Bei allen Aufgaben muss der Rechenweg erkennbar sein (auch beim Bruchrechnen mindestens Zwischenschritt). Ohne Rechnung gibt es auch bei richtigem Ergebnis keine Punkte. Lösungen der Probe-Vorklausur Aufgabe : 2,3,6 0 0, ,5 40 Aufgabe 2: { ; 3} { 2; 0; 2} 3 2 { 3; } 3 ( a) + ) a) 3) 7 c a c a ) 2) c a/3 + b ) 3) Aufgabe 4: { 2; 4} 5 { 8; 8} 4 64 Aufgabe 5: f (x) 2x + e x (3x 4) (8x3 + ) 4 / 3 24x 2 3x 2 x 3 + (x2 + ) 3 x 3 + ) 3 (x 2 + ) 2 2x (x 2 + ) 6 cos( e 3 x + e 3x + ) ) 3 x e 3 x + 3x + 4x 3 4 x + x 4 4 x 4) Aufgabe 6: "Kandidaten": ( ; 2), ( ; ), (0 ; ), (3 ; 26); es gibt kein globales Maximum; globales Minimum bei (3 ; 26) Aufgabe 7: keine Lösung; viele Lösungen; 0,, 2 Aufgabe 8: {(0 ; ), (2 ; 3)} {( ; ), (3 ; 2)} Lösungen der Probe-Vorklausur 2 Aufgabe : 0,8, Aufgabe 2: {2; 3} {0; ; 3} { 2; 2} 2 { ; 3} ± a) + 4 a) 2) + 3 c + 2b c a + 2b ) 4) 4c 6 ) 4) Aufgabe 4: { 5; } { 3; 4} Aufgabe 5: f (x) cos(x) + e sin ( x ) 5(x 2 ) 4 2x 5 (x3 + ) 6 / 5 3x 2 3 (4x ) 2 4 x 4 + ) (4x ) 3 ( x 4 + ) ) 2 4x 3 x 4 + sin(e 3 x 2 x) ) (e 3 x 2 6x x ) 4 x 4 4) 4x 3 Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 ; 4), (3 ; 3), (2 ; 4), ( ; 2); globale Maxima bei (0 ; 4) und (2 ; 4); globales Minimum bei ( ; 2) Aufgabe 7: viele Lösungen; keine Lösung; 2, 2, 2 Aufgabe 8: {(0 ; 3), (2 ; )} {( ; ), (2 ; )}

2 Lösungen der Vorklausur WS 07/08 Aufgabe : 2,, Aufgabe 2: {2; 5} { 3; 0; 3} { 2; 2} { } {; 4} 2 a) + 2 a) 4) 5 b + c b + c ) 3) c a + 2b ) 2) Aufgabe 4: { ; } 5 { 8 ; } Aufgabe 5: 3 f (x) + e 3 x + 4 (2x 3) (x4 + ) 5 / 4 4x 3 2x x 2 + (3x 4)5 x 2 + ) 5 (3x 4) 4 3 (3x 4) 0 cos( e 3 x + 2x + ) ) e 3 x e 3 x + 2x + Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 ; ), ( ; 2), (2 ; 3), ( ; 4); globales Maximum bei (2 ; 3); globales Minimum bei ( ; 4) f (x) 2) + 2 x (3x x 4)) Aufgabe 7: 3, 2, ; keine Lösung; viele Lösungen Aufgabe 8: {(3 ; 3), (5 ; )} {(2 ; ), (4 ; 2)} Lösungen der Vorklausur SS 08 Aufgabe : 2,4, Aufgabe 2: {2; 3} { 2; 0; 2} ± a) + a) 5) 3 c + a b Aufgabe 4: { ; } 3 ± c ) 2) c 9 ) 3) Aufgabe 5: 4 f (x) + e 4 x 3 (x 2 ) 2 2x 6 (2x3 + ) 7 / 6 6x 2 e x e x + (2x + )3 e x + ) 3 (2x + ) 2 2 (2x + ) 6 sin( e x l n ( x ) ) e x l n ( x ) ( x) + x x ) f (x) 3) + 3 x (2x + e x ) Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 ; 0), ( ; 2), (2 ; 2), (2 ; 3), ( ; e); globales Maximum bei (2 ; 3); globales Minimum bei (0 ; 0) Aufgabe 7: keine Lösung; viele Lösungen; 0,, Aufgabe 8: {( ; 2), ( ; 2)} {(3 ; ), ( 6 ; )}

3 Lösungen der Vorklausur WS 08/09 Aufgabe : 0,8, Aufgabe 2: {2; 3} { 2; 0; 2} ± 2 ± a) ( + a) 2) ) 3 c + 2a + 4b Aufgabe 4: ± 5 ± 32 0 ±8 c + a + 2b ) 4) b + 5 a ) 5) Aufgabe 5: e x ( ) (4x + 5) 6 + e x 6(4x + 5) (2x3 + ) 4/3 6x 2 3) 3 x oder x 3 3 x 3 x 3) x 3 3 x 3x 2 x 6 cos(e 2 x + sin ( x ) ) e 2 x + sin ( x ) (2 + cos(x) ) 5 x + 5) (x + ) x + 5(x + ) 4 Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / 3), ( / 3), ( 2 / ), (2 / ), (0 / 5); Max. (0 / 5), Min. ( 2 / ), (2 / ) Aufgabe 7: viele Lösungen; keine Lösung; 2, 2, 2 Aufgabe 8: {(0 / 2), ( / )} {(0 / 2), ( / )} Lösungen der Vorklausur SS 09 Aufgabe :,6, Aufgabe 2: {2; 3} { 4; 0; 4} ± 2 {0; 3} e a + 3 ( 2 + a) 0) ) 5 c + 2 3a + 2b c + 2 3a + 2b ) 5) b e a + e a ) Aufgabe 4: {; 3} { 6; 0} ± Aufgabe 5: e 2 x 2 ( 2x) (3 2x) 5 + e 2 x 2 5(3 2x) 4 ( 2) 5 (x5 + ) 6/5 5x 4 4x 3 x 4 + (x2 + ) 3 + x 4 + ) ( 3) (x 2 + ) 4 2x oder 4x 3 x 4 + (x2 + ) 3 x 4 + ) 3 (x 2 + ) 2 2x (x 2 + ) 6 sin(2 3 x + + 4x + 5) (2 3 x + 2) 3 + 4) 5 5 x ) 0x Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / 4), ( / 3), ( / ), ( / 2), (2 / 3 e); kein glob. Max., Min. (2 / 3 e) Aufgabe 7: keine Lösung; viele Lösungen; 4, 3, 2 Aufgabe 8: {(2 / 3), (3 / 2)} {( / 6), (6 / )}

4 Lösungen der Vorklausur WS 09/0 2 Aufgabe :,7, Aufgabe 2: { ; 3} { 3; 0; 3} 2 2 ±2 3 + a) 2 ( + a) 3) ) ± 4 c + 2a + 3b a + 2b Aufgabe 4: {; 3} { 0; 6} c + 2a + 3b ) a + 2b 2) 4a 5 ) a 5 ) = 2 + 2) 2) Aufgabe 5: e ( 2 x ) 2 2 (2x ) 2 (3x + ) 4 + e ( 2 x ) 2 4 (3x + ) (3x4 + ) 5/4 2x 3 2 x 2) 2 x + (3x + ) x + ) ( 2) (3x + ) 3 3 oder 2 x 2) 2 x + (3x + )2 2 x + ) 2 (3x + ) 3 (3x + ) 4 cos(e sin (ex ) ) e sin (ex ) cos(e x ) e x 2 3 x 2) 3 x 3) Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / ), ( / 0), (0 / 3), ( / 9); Max. ( / 9), Min. existiert nicht Aufgabe 7: keine Lösung; 2,, 0; viele Lösungen Aufgabe 8: {( / 4), (2 / 5)} {(4 / ), (5 / 2)} Lösungen der Vorklausur SS 0 Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: {2; 3} { 5; 0; 5} {0; } 3 ± + + a) + 4 a) 4) ± 8 a b + c 2a 3b c 3a b/3 ) 3) c 4 a + 4 b ) 4) Aufgabe 4: {2; 3} { 2; 3} ± 8 7 ± 8 Aufgabe 5: e g (x) g'(x) g(x) + e g (x) g'(x) 3 (4x4 + ) 4/3 6x 3 g'(x) g(x) (g(x)) 2 + g(x)) ( 2) (g(x)) 3 g'(x) oder g'(x) g(x) (g(x))2 g(x)) 2 g(x) g'(x) (g(x)) 4 cos(sin(e 3 x + 3x)) cos(e 3 x + 3x) (e 3 x 3 + 3) f (x) 3) (3x x 3)) Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 / 0), ( / 4), (2 / 2), (2 / 3), ( / e), (3 / 2,5); kein glob. Max., Min. (0 / 0) Aufgabe 7:, 0, ; viele Lösungen; keine Lösung Aufgabe 8: {( / 3), (3 / 5)} {(5 / 3), (3 / )}

5 Lösungen der Vorklausur WS 0/ Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: { 2; 3} { 2; 0; 2} { ; 0; } 2 a ( c) b ) ± a) 2) 3 2 ( c a b ) Aufgabe 4: { 2; } { 6; 3} ± 8 ± 8 Aufgabe 5: f (x) ( 2x) + e x 2 3( 2x + ) 2 ( 2) 3 5 (2x + ) 8/5 2 e 2 x 2 e 2 x 2 e 2 x + (x2 + ) 3 + e 2 x + ) ( 3) (x 2 + ) 4 e 2 x + (x2 + ) 3 e 2 x + ) 3 (x 2 + ) 2 2x 2x oder (x 2 + ) 6 cos(2 3 x + )) 2 3 x 2) x + f (x) 4) 4 x 2 4) 2x Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / ), ( / 0), (0 / 2), (0 / ), ( / 2); glob. Max. (0 / 2), ( / 2); kein glob. Min. Aufgabe 7: 2, 3, 4; keine Lösung; viele Lösungen Aufgabe 8: {( / 5), (3 / 3)} {(2 / 6), (3 / 3)} Lösungen der Vorklausur SS Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: {2; 3} { 2; 0; 2} { ; 0; } 3 3 ± 4 a + ) + a ( b + c) 3) ) ± a 2 a 2) 3) a Aufgabe 4: { 4; 2} { 2; 6} ± Aufgabe 5: f (x) 2 + e 2 x + 3(x 2 + ) 2 2x 3 (sin(x 2 )) 4/3 cos(x 2 ) 2x e x + e x + x (x3 + ) 2 + e x + x) ( 2) (x 3 + ) 3 3x 2 oder e x + e x + x (x3 + ) 2 e x + x ) 2 (x 3 + ) 3x 2 (x 3 + ) 4 f (x) 2) g'(x) + 2 g (x) 2 g(x) g'(x) f (x) e 2 x + 2 Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / ), ( / 0), ( / ), ( / 0), ( / 3), (3 / 4); glob. Max. (3 / 4); glob. Min. ( / 3) Aufgabe 7: 2,, 0; keine Lösung; viele Lösungen Aufgabe 8: {( / 4), (2 / )} {(4 / ), ( / 2)}

6 Lösungen der Vorklausur WS /2 Aufgabe : 0,7, Aufgabe 2: { 4; 3} { 2; 0; 3} { ; 3} 3 4 a 4) ± + a) 3) Aufgabe 4: {0; 2} { 3; } 32 3 ± 4 Aufgabe 5: f (x) ( 3) + e 2 3 x 5(2 3x) 4 ( 3) 3 5 g(x) 8/5 g'(x) 5 x + 5) f (x) g'(x) + e g ( x ) 5 g(x) 4 g'(x) f (x) 2) 3 g ( x ) 3) g'(x) Aufgabe 6: Kandidaten: ( / 4), ( / 3), ( / ), ( / 2), (2 / 3 e); kein glob. Max.; glob. Min. (2 / 3 e) Aufgabe 7: viele Lösungen; 2, 0, 2; keine Lösung Aufgabe 8: {( / )} {( / )} Lösungen der Vorklausur SS 2 Aufgabe :,3, Aufgabe 2: { ; 4} { ; 0; 3} {0; } + a) log a ( + b) a Aufgabe 4: {; 2} { 2; 6} 4 9 Aufgabe 5: f (x) cos(x) + e sin ( x ) cos(e x ) e x 2 3 (2x ) 5/3 2 sin(sin(x 2 ) 2)) cos(x 2 ) 2x 2) f (x) (2 x) + 2x x ) 2x x 2 2x x 2 + Aufgabe 6: Kand.: (0 / ), ( / ), (2 / ), ( / 0), (5 /,5); glob. Max. (5 /,5), glob. Min. ( / 0) Aufgabe 7: viele (, 2, 0) Aufgabe 8: {(2 / 4), (3 / )} {( / 3)} Lösungen der Vorklausur WS 2/3 Aufgabe : 0,7, Aufgabe 2: { 2; 4} { ; 0; 2} {0; } 0 ± b + ) a ±2 3 2 Aufgabe 4: {; 3} { 2; 30} ±8 4 6

7 Aufgabe 5: 2 f (x) + e 2 x + 3 n (2x + 3) n 2 n 3 (3x 2) n/3 3 2x x 2 + (x2 + ) 2 x 2 + ) 2 (x 2 + ) 2x (x 2 + ) 4 cos( e g ( x ) 2 ) e g ( x ) 2 2 g(x) g'(x) f (x) ( x 2 x) + x x ) Aufgabe 6: Kand.: ( / 0), ( / 0), (0 / 0), ( / ), (2 / 4); glob. Max. (2 / 4), glob. Min. ( / ) Aufgabe 7: (3, 3, 3) viele Aufgabe 8: {(2 / 4)} {( / ), (4 / 2)} Lösungen der Vorklausur SS 3 Aufgabe : 2,3, Aufgabe 2: {2; 4} {0; ; 5} { ; } a ) 2 ± Aufgabe 4: ± 2 { 5; 4} ± 32 9 ± 3 Aufgabe 5: f (x) 2ax + e a x 2 5(3x + 4) n (3x + 4) 5/n 3 x + 3 x + cos( e x 2 + ) ) e x 2 2x e x 2 + f (x) (2x x) + x 2 x ) Aufgabe 6: Kand.: ( / 3), ( / 0), ( 2 / 2), ( / ), ( / ), (0 / 2); kein glob. Max., glob. Min. (0 / 2) 4 Aufgabe 7: viele (3, 2, ) Aufgabe 8: {(3 / ), (5 / 3)} {(3 / ), (5 / 3)} Lösungen der Vorklausur WS 3/4 Aufgabe : 0,6, ,6 6 /6 60 Aufgabe 2: {2; 4} {0; 2; 3} {0; } 0 ± 2) ± ± Aufgabe 4: {; 2} {5; 4} 64 ± 8

8 Aufgabe 5: f '(x) = f (x) a 2 + e a 2 x 2(3x 2) 3 f '(x) = 7 4 (5x + 6) /4 5 f '(x) = 3 x 3) f '(x) = f (x) 2) cos(3 x ) 3 x 3) f '(x) = f (x) [2x x 2 +) + (x 2 2x +) x 2 + ] Aufgabe 6: Kand.: ( / 4), ( / 0), (3 / ), (3 / 0 ), (5 / 4); glob. Max. (5 / 4), glob. Min. (3 / 0) Aufgabe 7: (3, 2, ) viele Aufgabe 8: {(2 / 3)} {(3 / 2)} Lösungen der Vorklausur SS 4 Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: {2; 4} {0; 2} ± 0 a + b ) ± 2 log 2(a) ± 2 a log 2 (3) 4 Aufgabe 4: { 2; } { 2; } 0 6 Aufgabe 5: f (x) ( 2) + e a 2 x 3 (a 2x) 2 ( 2) 4 (x2n + ) 5/4 2n x 2 n 2 5 x 4 ( sin( x 4 +) + ) ) 3 cos( x 4 +) + ) 4x3 x 4 + f (x) [2 x 2) x) + 2 x x ] Aufgabe 6: Kandidaten: ( / ), ( / 6), (0 / 2), (3 / 5 ), (2 / 4+ 2 ); es gibt keine globalen Extrema 3 Aufgabe 7: viele (4, 3, 2) Aufgabe 8: {( / 4)} {( / 4)} Lösungen der Vorklausur WS 4/5 Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: { 2; 3} ± 2 0 a(b + )) a) b 5 3a 2b 3 2 Aufgabe 4: {3; } {0; 6} ± 27 9 ± 8 Aufgabe 5: f (x) a + e a x + b 2(ax + b) a f (x) 2) ( 3 ) 3) + 3 x g' (x) sin( g (x) ) ) g (x) f (x) 2) (2x+) Aufgabe 6: Kand.: (0 / 4), ( / 5), (4 / 4), (2 / 0 ), ( / e 3 ), (3 / e 3 ); glob. Max. ( / e 3 ), (3 / e 3 ), glob. Min. (2 / 0)

9 Aufgabe 7: viele (2, 2, 2) Aufgabe 8: {(3 / 4)} {(2 / )} Lösungen der Vorklausur SS 5 Aufgabe :,6, Aufgabe 2: { 3; 2} { 2; 0; 3} b a ) b /a = a b 3 2a b Aufgabe 4: {; 3} { ; 5} ± 25 5 ± 8 Aufgabe 5: f (x) 2x + e x 2 a 2 2x 2 n (x2 + ) 2/n 2x 0 3 ( sin( 2 g (x) ) ) 2 cos( 2 g (x) ) 2 g (x) 2) g'(x) f (x) [( + e x ) x) + (x + e x ) x ] Aufgabe 6: Kandidaten: ( / ), ( / 0), ( / 0), (3 / 4 ); glob. Max.: (3 / ), es gibt kein glob. Min. 4 Aufgabe 7: (0, 2, 3 ) 3 (, 2, 3) Aufgabe 8: {(3 / 6)} {( / 4)} Lösungen der Vorklausur WS 5 Aufgabe :,4, Aufgabe 2: { ; 2} 0 { ; 0} {0; } + ) 2 ± 4 3 { ; 0; } Aufgabe 4: ± 2 {2; 6} 6 4 Aufgabe 5: f (x) g' (x) + e g (x) g' (x) 3 2 (x/2 + ) 5/2 2 x /2 3) 3 x cos( e x 2 + ) ) e x 2 2x e x 2 + f (x) [cos(x) x) + sin(x) x ] Aufgabe 6: Kand.: ( / ), ( / 0), (0 / ), (4 / 5), (4 / ), (2 / 0); kein glob. Max., glob. Min. (4 / 5) Aufgabe 7: ( 2, 0, 2) viele Aufgabe 8: {(3 / )} {(3 / )} Lösungen der Vorklausur SS 6 Aufgabe :,3,

10 Aufgabe 2: { ; 3} { 3; 0; } ± 2 0 ± b a ) ± 2 3 2a b 2 5 Aufgabe 4: { 2; 4} { ; 2} ± 2 2 ± 8 Aufgabe 5: 2 [sin(2x) e 2 x + x cos(2x) 2 e 2 x + x sin(2x) e 2 x 2] n 3 (2x + ) n/3 2 2x x 2) f (x) 2) cos( x 2 2x + ) ) x 2 + f (x) [cos(x) sin(x)) + sin(x) cos(x) sin(x) ] Aufgabe 6: Kandidaten ( / ), (0 / 4), ( / 0), (3 / ), (3 / 0), (4 / ); glob. Min.: (4 / ), kein glob. Max. Aufgabe 7: viele (2, 3, 2) Aufgabe 8: {( / 4)} {(2 / 5)}