7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu Einführung in die Numerik (SS 2012)

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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik, M1 Prof. Dr. Boris Vexler Dr. Ira Neitzel Dipl.-Math. Alana Kirchner 7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu Einführung in die Numerik (SS 2012) Diese Auswahl an Themen/Aufgabentypen soll Ihnen zur Wiederholung des Stoffes aus Einführung in die Numerik und zur Vorbereitung auf die Klausur dienen, wobei wir keine vollständige Themenabdeckung bzgl. der Klausur garantieren. Wir empfehlen Ihnen, sich bereits vor der letzten Tutorübung mit den Aufgaben zu beschäftigen, um entstandene Fragen vor der Klausur klären zu können. Außerdem kann sich so Ihr Tutor/Ihre Tutorin auf die Aufgaben konzentrieren, die Sie für schwierig erachten. Da keinesfalls alle Aufgaben in den Tutorübungen besprochen werden können, wird es zu diesem Blatt Lösungsvorschläge online geben. Aufgabe W 7.1: Es seien b = 2, t = 4, m, e Z. G := {g = m b e b t 1 m < b t m = 0} M := {g = m b e G 6 e 2} a) Bestimmen Sie die größte und kleinste positive Zahl von M. b) Markieren Sie M qualitativ auf der Zahlengeraden. c) Bestimmen Sie den maximalen relativen und absoluten Abstand zweier aufeinanderfolgender positiver Zahlen von M. d) Bestimmen Sie den minimalen relativen und absoluten Abstand zweier aufeinanderfolgender positiver Zahlen von M. e) Versuchen Sie die Zahlen x 1 = 1.625, x 2 = 3.7, x 3 = 0.02 und x 4 = 4.2 als Maschinenzahl aus M darzustellen. Falls das nicht geht, welche Maschinenzahlen ergeben sich bei Rundung, welche bei Abbrechen der Mantisse? Das heißt berechnen Sie fl(x i ) für i = 1, 2, 3, 4. Aufgabe W 7.2: Berechnen Sie die absolute und relative Kondition der Probleme a) f(x) = ln(x), x R + b) g(x) = 2x 2 + 3x + 1, x R Handelt es sich um gut oder schlecht konditionierte Probleme? Aufgabe W 7.3: Für welche x sind folgende Ausdrücke für die Funktionen f und g auslöschungsbehaftet? Finden Sie gegebenenfalls auslöschungsfreie Formeln für f bzw. g. a) f(x) = x + 1 x, x [0, ) ( ) b) g(x) = arcsin 2(1 cos(x)), x R x 2 Seite 1 von 6

2 Aufgabe W 7.4: Gesucht ist eine Nullstelle des Polynoms f(x) = x x 2. a) Man zeige, dass f genau eine Nullstelle x in (0, 1) besitzt. b) Konvergiert das Newton-Verfahren mit dem Startwert x 0 = 1 gegen x? c) Wie lauten die ersten beiden Iterierten des Newton-Verfahrens zum Startwert x 0 = 1? Aufgabe W 7.5: Für f : R R, f(x) = cos(x) 2x sollen alle Nullstellen mit Hilfe einer Fixpunktiteration und des Newton-Verfahrens bestimmt werden. a) Wie viele Nullstellen besitzt f? b) Wählen sie ein Intervall I R geeignet, so dass die Voraussetzungen des Banach schen Fixpunktsatzes auf I für die Fixpunktiteration x k+1 = φ(x k ) = 1 2 cos(x k) erfüllt sind. c) Leiten Sie Fehlerabschätzungen für den Fehler in der k-ten Iteration des Fixpunkt-Verfahrens x k+1 = 1 2 cos(x k) der Form x k x C x 0 x und x k x C x 1 x 0 her und berechnen Sie die Fehlerschranke für k = 5 und x 0 = 0. d) Berechnen Sie ausgehend von x 0 = 0 die fünfte Iterierte der Fixpunktiteration. e) Konvergiert das Newton-Verfahren mit dem Startwert x 0 = 0 gegen eine Nullstelle x von f? f) Führen Sie zur näherungsweisen Bestimmung von x zwei Schritte des Newton-Verfahrens zum Startwert x 0 = 0 durch. Aufgabe W 7.6: Es sei f : R R beliebig oft stetig differenzierbar und x eine doppelte Nullstelle von f (d.h. f(x ) = f (x ) = 0 und f (x ) 0). Zu zeigen ist: a) Das Newton-Verfahren x k+1 = φ(x k ) mit x f(x) φ(x) = f falls f (x) 0 (x) x falls f (x) = 0 konvergiert für jeden Startwert lokal nur linear und nicht mehr quadratisch. Hinweis: Betrachten Sie lim x x φ (x) und wenden Sie zweimal die Regel von l Hospital an. b) Folgende leicht veränderte Version des Newton-Verfahrens x k+1 = ψ(x k ) mit konvergiert lokal quadratisch. x 2f(x) ψ(x) = f falls f (x) 0 (x) x falls f (x) = 0 Seite 2 von 6

3 Aufgabe W 7.7: Gegeben seien A = d 1 e 2 d 2 f 3 e 3 d f n e n d n b 1 b 2, b = b 3. b n mit d i 0 für i = 1,..., n. a) Formulieren Sie den Algorithmus der Vorwärtssubsitution zur Lösung von Ax = b mit Hilfe von d i, e i und f i. b) Geben Sie die Arbeitsschritte zur effizienten Berechnung von α := b T (AA T ) 1 b unter Verwendung des Algorithmus aus a) an. Aufgabe W 7.8: Es sei das Gleichungssystem ( ) ( ) A s x s T = α ξ ( ) b β mit A R n n symmetrische positiv definite Tridiagonalmatrix, s, x, b R n, α, ξ, β R. y = A 1 b und L,D,L T gegeben mit 1 d 1 1 l 2 l 2 1 d 2. A = ln l n 1 dn 1 }{{}}{{}}{{} L D L T a) Man formuliere einen effizienten Algorithmus zur Lösung des linearen Gleichungssystems Lz = s. b) Man formuliere einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von ρ := α s T A 1 s. c) Man vervollständige die Blockdreieckszerlegung von ( ) A s A M := s T = α ( I 0? 1 ) ( ) A s 0? Unter welcher einfach zu überprüfenden Bedingung ist A M positiv definit? Hinweis: ( ) A s = 0 ( A 0 0 ) ( ) I A 1 s 0 1 d) Man formuliere einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von ξ und x = y ξa 1 s. Seite 3 von 6

4 Aufgabe W 7.9: Gegeben sei die Matrix ( ) R v A = u T R (n+1) (n+1), 0 wobei R R n n eine reguläre obere Dreiecksmatrix sei und u, v R n. a) Man bestimme die LR-Zerlegung von A. b) Man zeige: A regulär u T R 1 v 0. Aufgabe W 7.10: Gegeben sei die Tridiagonalmatrix A = a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 2, an 1,n a n,n 1 a n,n. a) Zunächst wird die LR-Zerlegung A = L R ohne Pivotisierung berechnet (Annahme: Alle Pivots sind ungleich Null) Wie vereinfacht sich der LR-Algorithmus aus der Vorlesung in diesem Spezialfall? Welche Struktur haben L und R? b) Falls Spaltenpivotsuche angewandt wird, erhält man die Zerlegung P A = LR mit einer Permutationsmatrix P. Haben L und R dieselbe Struktur wie in Fall a)? Aufgabe W 7.11: Gegeben sei die symmetrische Tridiagonalmatrix A = a) Berechnen Sie die LR-Zerlegung von A. b) Berechnen Sie die Cholesky-Zerlegung von A. Aufgabe W 7.12: Es sollen n Maschinenzahlen a i, i = 1,..., n, aufsummiert werden: n s := a i. i=1 Die Aufgabe wird durch den seriellen Summationsalgorithmus s := s + a i, i = 2,..., n mit Startwert s = a 1 gelöst. Seite 4 von 6

5 a) Zeigen Sie, dass für die Näherung x n zu s = n i=1 a i für n die Fehlerformel mit ε 1 = 0 gilt. n n x n s = a i (1 + ε j ) 1, ε j ε 0 i=1 j=i b) Berechnen Sie die Fehlerverstärkung der seriellen Summation. Hinweis: Linearisieren Sie hierzu die Fehlerformeln in a), indem Sie quadratische und höhere Terme in ε vernachlässigen. Setzen Sie dabei voraus, dass alle a i durch a 0 > 0 nach oben beschränkt sind. c) Kann man durch geeignete Anordnung der a i den absoluten Fehler verringern? Aufgabe W 7.13: Es seien x, y R mit xy 0. Leiten Sie eine obere Schranke für den Gesamtfehler b her, wenn b = (x + y) 2 wie folgt schrittweise berechnet wird: a = x + y, b = a a Aufgabe W 7.14: Es sei A eine reguläre Matrix, die durch eine Störung A zu à = A + A verfälscht wurde. Zeigen Sie: Falls A 1 A ε < 1, so gilt für die Konditionszahlen cond(ã) 1 + ε 1 ε cond(a). Aufgabe W 7.15: Gegeben seien die Punkte (x i, y i ), 1 i n paarweise verschieden mit ni=1 x i = 0. Gesucht wird eine Ausgleichsgerade y(x) = ax + b im Sinne der kleinsten Quadrate, d.h. a und b sollen so bestimmt werden, dass n i=1 y(x i ) y i 2 minimal wird. a) Stellen Sie die Geradengleichung der Ausgleichsgerade in Abhängigkeit von x i, y i auf. b) Wie lautet die Geradengleichung für das folgende Beispiel? x i y i Aufgabe W 7.16: Gegeben seien die 5 Punkte (x i, y i ), i = 1,..., 5: x i y i Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalengleichung eine Parabel f(x) = α + βx 2 derart, dass die Fehlerquadratsumme 5 i=1 (f(x i ) y i ) 2 minimal wird. Seite 5 von 6

6 Aufgabe W 7.17: Gegeben seien ein Vektor v R m mit v 0 und eine Matrix A R m n mit m n 1. Die Householder-Spiegelung orthogonal zu v ist gegeben durch H v = I 2 vvt v T v Rm m. Untersuchen Sie die zwei Algorithmen zur Berechnung des Produktes à = H va: A1: Berechne γ := v T v. Berechne η := 2 γ. Stelle die Matrix H v := I ηvv T auf. Multipliziere à := H v A. A2: Berechne γ := v T v. Berechne η := 2 γ. Berechne den Vektor w := AT v R n. Setze à := A ηvw T (Rang-1 Update). a) Vergewissern Sie sich, dass beide Algorithmen korrekt sind (in exakter Arithmetik), das heißt, dass auch bei A2 à = H va gilt. b) Stellen sie den Rechenaufwand, also die Anzahl der benötigten Fließkommaoperationen, für eine direkte Implementierung beider Algorithmen in Abhängigkeit von n und m auf. Hinweis: i) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Skalarprodukts x T y für x, y R n mit 2n 1 Operationen implementieren können. ii) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Matrix-Vektor-Produkts M x für M R m n, x R n mit m(2n 1) Operationen implementieren können. iii) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Matrix-Matrix-Produkts M B für M R m n, B R n d mit md(2n 1) Operationen implementieren können. iv) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Vektor-Vektor-Produkts xy T für x, y R n mit n 2 Operationen implementieren können. c) Vergleichen Sie die Effizienz der beiden Algorithmen. Aufgabe W 7.18: Es seien f : R R, f(x) = cos 2 (x) und x i für i = 0,..., 2 gegeben durch i x i 0 π/4 π/2 a) Bestimmen Sie das (quadratische) Interpolationspolynom p zu f durch (x i, y i ), i = 0,..., 2. b) Schätzen Sie den Interpolationsfehler. Seite 6 von 6