KLAUSUR. Mathematik IV Wolfram Koepf. Name: Vorname: Matr. Nr.:

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Carl Otto
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1 KLAUSUR Mathematik IV Wolfram Koepf Name: Vorname: Matr. Nr.: Bitte lassen Sie genügend Platz zwischen den Aufgaben und beschreiben Sie nur die Vorderseite der Blätter! Zum Bestehen der Klausur sollten 5 Punkte erreicht werden. ) 2) 3) 4) Punkte: Note:

2 . Gegeben sei folgende Tabelle von Stützstellen und Stützwerten: j 2 3 x j 3 4 y j 8 27 (a) (4P) Bestimmen Sie das zugehörige Interpolationspolynom in der Form von Newton. (b) (2P) Bestimmen Sie die Nullstellen des Interpolationspolynoms N 2 (x) = 9x2 29x (c) (3P) Bestimmen Sie die Regressionsgerade der Daten. (d) (3 Extrapunkte) Bestimmen Sie durch lineare Regression die beste Approximation der Form a + b e x. (e) (2P) Skizzieren Sie die Datenwolke, das Interpolationspolynom, die Regressionsgerade sowie ggfs. die Regression aus (d) in einem gemeinsamen Schaubild. 2. Approximieren Sie das Integral I = 0 + x 2 dx (a) (2P) mit der Trapezregel, (b) (2P) mit der Simpsonregel, bei einer Unterteilung in jeweils n = 4 Teilintervalle auf 6 Dezimalstellen genau. (c) (3P) Wie groß ist der jeweilige relative Fehler bzgl. des exakten Werts des Integrals? 3. (a) (2P) Bestimmen Sie das fünfte Legendrepolynom P 5 (x) unter Verwendung von P 4 (x) = 8 (35x4 30x 2 + 3) und P 3 (x) = 2 (5x3 3x) sowie der Rekursionsgleichung P n+ (x) = ( ) x(2n + )P n (x) n P n (x). n + (b) (4P) Bestimmen Sie die zwei positiven Nullstellen t 4, t 5 von P 5 (x) auf 6 Dezimalstellen genau. (c) (P) Welches sind die drei weiteren Nullstellen t, t 2 und t 3 von P 5 (x)? 4. Gegeben sei das Anfangswertproblem y = sin(x + 2y), y(0) =. (a) (5P) Wenden Sie das Euler-Cauchy-Verfahren mit h = 0, im Intervall [0, ] an. (b) (2P) Stellen Sie die erhaltene Approximationslösung graphisch dar. 2

3 Lösungen.) Das Interpolationspolynom in der Form von Newton ist gegeben durch N 2 (x) = b + (x )b 2 + (x 3)(x )b 3. Die Koeffizienten b, b 2 und b 3 finden wir durch dividierte Differenzen oder durch Lösen des linearen Gleichungssystems b =, b + 2b 2 = 8, b + 3b 2 + 3b 3 = 25, welches wir durch Einsetzen der Daten in den Ansatz erhalten. Das Gleichungssystem liefert die Lösung ( 9(x 3) N 2 (x) = + 7 ) (x ) (b): Das Interpolationspolynom hat die ausmultiplizierte Form N 2 (x) = 9x2 2 29x 2 + = ( ) 9x 2 29x Man sieht durch Einsetzen, dass x = 2 eine Nullstelle ist. Nach Polynomdivision erhalten wir die faktorisierte Form N 2 (x) = (x 2)(9x ), 2 aus welcher man die zweite Nullstelle x 2 = direkt ablesen kann. Man kann natürlich auch die 9 pq-formel verwenden, um die Nullstellen zu finden Die Daten und das Interpolationspolynom (c): Gegeben sind N = 3 Datenpaare. Die Daten liefern die Mittelwerte und x = N y = N x k = 8 3 k= k= y k = Die Steigung m der Regressionsgeraden y = m x + n ist also gleich m = N x k y k x y k= = x 2 k x2 N k= = 7,3574

4 und der Achsenabschnitt n ergibt sich zu n = y m x = 58 7 = 8,2857. (d): Eine analoge Rechnung mit den Zielfunktionen f (x) = und f 2 (x) = e x liefert die Bestapproximation 0, ,466845e x Die Regressionsgerade (grün) und die exponentielle Approximation 0, ,466845e x (blau) ) Sei f(x) = +x 2 im Intervall [a, b] = [0, ] gegeben. Wir unterteilen das Intervall in n = 4 Teile. Approximiert wird das Integral I = 0 + x 2 dx = arctan = π 4. (a): Die summierte Trapezformel liefert die Approximation 0.8 I Trapez = b a ( ) f(a) + f(b) + b a n f 2n n k= ( a + k b a ) n = = , Die Trapezapproximation der Funktion +x (b): Die summierte Simpsonformel liefert die Approximation I Simpson = b a ( ) f(a) + f(b) + b a n m k f 3n 3n k= ( a + k b a ) n = = ,785392, 4

5 wobei der Multiplikator m k = 2 für gerade k und m k = 4 für ungerade k ist. (c): Der exakte Wert des Integrals ist = π/4 0, Der relative Fehler der Trapezapproximation ist also E Trapez = I I Trapez I = 0, , beläuft sich also auf 0,33 %, den man gerade noch auf der Abbildung sehen kann. Der relative Fehler der Simpsonapproximation ist minimal: E Simpson = I I Simpson I = 0, ) Aus P 4 (x) = 8 (35x4 30x 2 + 3) und P 3 (x) = 2 (5x3 3x) erhält man mit der Rekursionsgleichung P n+ (x) = ( ) x(2n + )P n (x) n P n (x) n + der Legendrepolynome P 5 (x) = ( 63x 5 70x 3 + 5x ). 8 Für f(x) = P 5 (x) ergibt sich g(x) := x f(x) f (x) = 28 (9x 5 5x 3 ) 5 (2x 4 4x 2 + ). Beim Newtonverfahren wird also die Funktion g(x) iteriert. Beginnen wir mit dem Startwert x 0 = 0,5, so erhalten wir aus x n+ = g(x n ) die Folge (x n ) mit n x n 0,5 0, , , , , Also ist t 4 = 0, Die fünfte Nullstelle erhalten wir analog mit Startwert x 0 = 0,9. Dies liefert die Liste n x n 0,9 0, ,9068 0,9068 0,9068 0,9068 Also ist t 5 = 0,9068. Da P 5 (x) ungerade ist, sind weiter t = t 5, t 2 = t 4 sowie t 3 = Die Funktion P 5 (x) und ihre positiven Nullstellen

6 4.) Das Euler-Cauchy-Verfahren liefert mit h = 0, und n = 0 die Iteration x j = j h = 0, j y(x j ) = y j = y j + h g(x j, y j ) = y j + 0, sin(x j + 2 y j ) (j =,..., n) mit dem Anfangswert y 0 = y(0) =. Eine Rechnung liefert die Datentabelle j x j y j Der Lösung des Euler-Cauchy-Verfahrens zusammen mit der Lösung des Anfangwertproblems

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