Numerische Integration

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1 Numerische Integration Fakultät Grundlagen Januar 0 Fakultät Grundlagen Numerische Integration

2 Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Trapezregel Simpsonformel 3 Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie:

3 Ziel Grundsätzliches b a f (x) dx Bestimmte Integrale, deren Stammfunktion sich nicht mittels elementarer Funktionen darstellen lassen, sollen näherungsweise bestimmt werden. Dieselbe Prozedur kann auch auf Funktionen, die nur punktweise bekannt sind, angewandt werden. Grundgedanke dieser numerischen Verfahren ist es, die zu integrierende Funktion durch einfachere Funktionen meist Polynome oder Splines zu approximieren. Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 3

4 Trapezregel Grundsätzliches Trapezregel Simpsonformel y f (x) x a b b a f (x) dx f (b) + f (a) (b a) Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 4

5 Trapezregel; iteriert Grundsätzliches Das Intervall [a, b] wird in n gleich lange Teile [x k, x k ] k =,,... n unterteilt. In jedem Teilintervall wird die Funktion durch ihre Sehne approximiert. Die Fläche unterhalb der Trapeze ergibt die Näherung. T n = h = b a n { f (x0 ) + f (x ) y + f (x ) + f (x ) Trapezregel Simpsonformel f (x) ax 0 x x n bx n x f (x } n ) + f (x n) ; h = x k x k {f (x 0) + f (x ) + f (x ) f (x n ) + f (x n ) + f (x n)} Interpretation: gewichtetes Mittel der Funktionswerte an den Stützstellen, multipliziert mit der Intervall-Länge; Randpunkte erhalten halbes Gewicht! Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 5

6 Simpsonregel I Grundsätzliches Trapezregel Simpsonformel Eine genauere Integrationsformel ergibt sich, wenn man die zu integrierende Funktion f (x) in einem Doppelintervall mit einem Parabelbogen approximiert. Die Berechnung des bestimmten Integrals ist eine lineare Rechenoperation bezüglich des Integranden f (x). Deshalb muss jede Näherungsformel ebenfalls linear sein. Die gesuchte Formel hat zwingend die folgende Gestalt: x x 0 f (x) dx S(h) = h {αf (x 0 ) + βf (x ) + γf (x )}. Der einzige Freiheitsgrad in der Ausgestaltung dieser Näherungsformel besteht im Festlegen der Gewichte α, β, γ. Da wir die Funktionswerte durch ein quadratisches Polynom interpolieren wollen, muss diese Näherungsformel dann für Polynome bis zur Ordnung exakt sein. Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 6

7 Simpsonregel II Grundsätzliches Trapezregel Simpsonformel y y y h h x h h x h h x h dx = h = h (α+β+γ) h α+β+γ = h x dx = 0 = h ( hα+hγ) h α+γ = 0 h x dx = h3 = h (h 3 α+h γ) h α+γ = 3 α + β + γ = α γ = 0 α + γ = 3 α = γ = 3 β = 4 3 S(h) = h 3 {f (x 0) + 4f (x ) + f (x )} Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 7

8 Simpsonregel; iteriert Grundsätzliches Trapezregel Simpsonformel Bei einer geraden Anzahl von Teilintervallen können wir auf jedes Doppelintervall die obige Beziehung anwenden. y f (x) x 0 x x n x n x b f (x)dx S n (h) a S n (h) = h 3 {f (x 0) + 4f (x ) + f (x ) f (x n ) + f (x n )} Dabei werden die inneren Punkte abwechselnd mit 4 und gewichtet, während die beiden Randpunkte das Gewicht erhalten. Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 8

9 Romberg-Extrapolation I Die Anwendung der Trapezformel auf das Integral x dx = ln ln = ln ergibt die Näherungsfolge {T () = , T ( ) = , T ( 4 ) = ,...}, wobei der nächste Näherungswert jeweils durch Halbierung der alten Schrittweite gewonnen wurde. Aus der Tendenz wird man vermuten, dass der exakte Wert kleiner als die beste Trapeznäherung ist. Ist T (h) die Trapezformel zur Schrittweite h, dann schreiben wir: b a f (x)dx = T (h) + ε(h) Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 9

10 Romberg-Extrapolation II Grundidee: Wir legen durch die Punkte ( T ()), ( T ( )) eine symmetrische Parabel und extrapolieren h 0. Der Ansatz p (h) p (h) = a 0 + a h ergibt T () = a 0 + a T ( ) = a 0 + a 4 a 0 = 4T ( ) T () 3 = R () T () = T ( ) = R () = h = Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 0

11 Romberg-Extrapolation III Ist f (x) entsprechend oft differenzierbar, dann lässt sich der Fehler ɛ(h) in eine Potenzreihe mit gerade Exponenten entwickeln. ɛ(h) = c h + c h 4 + c 3 h Das Absolutglied muss Null sein, denn für h 0 strebt auch der Fehler ɛ(h) gegen Null. Der Hauptbeitrag für den Fehler kommt vom Summanden mit dem niedrigsten Exponenten. Die Reihe der Differenz 4T ( h ) T (h) beginnt mit einem h4 -Glied. T (h) = I + c h + c h 4 + c 3 h 6... T ( h ) = I + c ( ) h + c ( ) h 4 + c 3 ( h 6 )... 4 T ( h ) T (h) = 3 I + c h 4 ( 4 ) + c 3 h 6 ( 6 )... Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie:

12 Romberg-Extrapolation IV Die Beziehung R (h) = 4 T ( h ) T (h) 3 = I c 4 {}}{ c 4 h 4 c 6 {}}{ 5c 3 6 h ist somit ein Verfahren 4. Ordnung zur Bestimmung des bestimmten Integrals. Es verbessert die Fehlerordnung um zwei Potenzen. Diese Überlegungen lassen sich fortsetzen. Multipliziert man die obige Beziehung für h mit 6 und subtrahiert R (h), so beginnt die Reihenentwicklung mit h 6. Allgemein ergibt sich die Rekursionsbeziehung: R n (h) = 4n R n ( h ) R n (h) 4 n. Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie:

13 Romberg-Extrapolation V Insgesamt erhält man das folgende Romberg-Tableau: T (h) = R 0 (h) T ( h ) = R 0( h ) R (h) = 4 R 0( h ) R 0(h) 3 R (h) = 6 R ( h ) R (h) 5 R ( h ) = 4 R 0( h 4 ) R 0( h ) 3 R 3 (h) = 64 R ( h ) R (h) 63 T ( h 4 ) = R 0( h 4 ) R ( h ) = 6 R ( h 4 ) R ( h ) 5. R ( h 4 ) = 4 R 0( h 8 ) R 0( h 4 ) 3. T ( h 8 ) = R 0( h 8 ).. Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 3

14 Romberg-Extrapolation I 0 x x dx = 5 x 5 = 0.4 Mit h 0 = ergibt sich : 0 h R 0 (h) R (h) R (h) R 3 (h) R 4 (h) Nur der erste Extrapolationsschritt erbringt eine Verbesserung. Dies ist der Tatsache geschuldet, dass der Integrand bei Null nur einmal differenzierbar ist. In der Fehlerdarstellung tritt zusätzlich noch ein Summand der Bauart k h 5 auf. Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 4

15 Romberg-Extrapolation II Auf dieser Basis würde der zweite Extrapolationsschritt lauten: R (h) = I + c h ( ) 5 R ( h ) = I + c h +... I 4 R ( h ) R (h) 4 R ( h ) = I + c h Damit erhalten wir eine Verbesserung um eine Dezimale. R = = Bemerkung: In diesem Fall hätte allerdings auch die Substitution u = x zu einem beliebig oft differenzierbaren Integranten geführt. 0 x x dx = 0 u 4 du +... Fakultät Grundlagen Numerische Integration Folie: 5