Numerische Integration

Transkript

1 Heinrich Voss Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

2 In vielen Fällen ist es nicht möglich, ein gegebenes Integral b f (x) dx in geschlossener Form auszuwerten; z.b. ist für das in der Statistik häufig auftretende Integral F (x) = 1 x e t 2 /2 dt 2π keine elementare Stammfunktion angebbar. 0 a TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

3 In vielen Fällen ist es nicht möglich, ein gegebenes Integral b f (x) dx in geschlossener Form auszuwerten; z.b. ist für das in der Statistik häufig auftretende Integral F (x) = 1 x e t 2 /2 dt 2π keine elementare Stammfunktion angebbar. In diesem Fall ist man auf numerische Verfahren zur Integration, sog. Quadraturverfahren, angewiesen. Wir wollen in diesem Abschnitt einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale besprechen. 0 a TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

4 Konstruktion Numerische Integration Wir betrachten das bestimmte Integral b a f (x) dx mit einer gegebenen integrierbaren Funktion f : [a, b] R. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

5 Konstruktion Numerische Integration Wir betrachten das bestimmte Integral b a f (x) dx mit einer gegebenen integrierbaren Funktion f : [a, b] R. Mit der Variablentransformation x = a + t(b a) erhält man b a f (x) dx = (b a) 1 0 f (a + t(b a)) dt, so dass man sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf das Intervall [a, b] = [0, 1] beschränken kann. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

6 Konstruktion Numerische Integration Eine naheliegende Idee zur Konstruktion von Quadraturformeln ist, n + 1 verschiedene Knoten x 0, x 1,..., x n [0, 1] zu wählen, das Interpolationspolynom p von f zu diesen Knoten zu bestimmen und als Näherung für das Integral von f das Integral über das Interpolationspolynom p zu wählen. 1 f (x) dx 1 p(x) dx =: Q(f ). 0 0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

7 Konstruktion Numerische Integration Eine naheliegende Idee zur Konstruktion von Quadraturformeln ist, n + 1 verschiedene Knoten x 0, x 1,..., x n [0, 1] zu wählen, das Interpolationspolynom p von f zu diesen Knoten zu bestimmen und als Näherung für das Integral von f das Integral über das Interpolationspolynom p zu wählen. 1 f (x) dx 1 p(x) dx =: Q(f ). 0 0 Mit l j (x) := / n n (x x i ) (x j x i ), j = 0,..., n, i=0 i j i=0, i j gilt nach der Lagrangeschen Interpolationsformel p(x) = n f (x j )l j (x), j=0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

8 Konstruktion Numerische Integration und daher erhält man Q(f ) = 1 0 n f (x j )l j (x) dx = j=0 n f (x j ) 1 j=0 0 l j (x) dx =: n α j f (x j ). j=0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

9 Konstruktion Numerische Integration und daher erhält man Q(f ) = 1 0 n f (x j )l j (x) dx = j=0 n f (x j ) 1 j=0 0 l j (x) dx =: n α j f (x j ). j=0 Dabei hängen die Gewichte α j := 1 l j (x) dx 0 nur von den gewählten Knoten x 0,..., x n ab und sind unabhängig vom aktuellen Integranden f. Sie können also ein für alle mal berechnet werden und in Tafeln oder Dateien bereitgestellt werden. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

10 Mittelpuntkregel Numerische Integration 1 Für n = 0 und x 0 = 0.5 gilt l 0 (x) 1 und α 0 = l 0 (x) dx = 1. 0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

11 Mittelpuntkregel Numerische Integration 1 Für n = 0 und x 0 = 0.5 gilt l 0 (x) 1 und α 0 = l 0 (x) dx = 1. Die entstehende Quadraturformel 0 1 f (x) dx f (0.5) =: R(f ), bzw. für das allgemeine Intervall 0 b a f (x) dx (b a)f ( a + b ) =: R(f ), 2 heißt Rechteckregel oder Mittelpunktregel. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

12 Mittelpuntkregel Numerische Integration 150 Mittelpunktregel Integral = , Näherung = , relativer Fehler = 0.59 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

13 Trapezregel Numerische Integration Für n = 1, x 0 = 0 und x 1 = 1 ist l 0 (x) = 1 x und l 1 (x) = x. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

14 Trapezregel Numerische Integration Für n = 1, x 0 = 0 und x 1 = 1 ist l 0 (x) = 1 x und l 1 (x) = x. Durch Integration erhält man α 0 = α 1 = 0.5 und damit die Trapezregel 1 f (x) dx 1 (f (0) + f (1)) =: T (f ) 2 bzw. für das allgemeine Intervall 0 b a f (a) + f (b) f (x) dx (b a) =: T (f ). 2 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

15 Trapezregel Numerische Integration 150 Trapezregel Integral = , Näherung = , relativer Fehler = 1.53 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

16 Simpson Regel Numerische Integration Für n = 2, x 0 = 0, x 1 = 0.5 und x 2 = 1 erhält man wie in den beiden vorhergehenden Beispielen die Simpson Regel (in der deutschsprachigen Literatur auch Keplersche Fassregel) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

17 Simpson Regel Numerische Integration Für n = 2, x 0 = 0, x 1 = 0.5 und x 2 = 1 erhält man wie in den beiden vorhergehenden Beispielen die Simpson Regel (in der deutschsprachigen Literatur auch Keplersche Fassregel) 1 f (x) dx 1 (f (0) + 4f (0.5) + f (1)) =: S(f ) 6 bzw. 0 b a f (x) dx b a 6 (f (a) + 4f ( a + b ) + f (b)) =: S(f ). 2 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

18 Simpson Regel Numerische Integration 160 Simpson Regel Integral = , Näherung = , relativer Fehler = 0.12 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

19 Milne Regel Numerische Integration Für n = 4 und x j = a + j(b a)/4, j = 0, 1,..., 4, erhält man die Milne Regel b a f (x) dx b a 90 (7f (x 0) + 32f (x 1 ) + 12f (x 2 ) + 32f (x 3 ) + 7f (x 4 )) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

20 Milne Regel Numerische Integration 150 Milne Regel Integral = , Näherung = , relativer Fehler = TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

21 Newton Cotes Formeln Es ist naheliegend (und dies ist auch die historisch älteste Wahl), die Knoten äquidistant im Intervall [a, b] zu wählen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

22 Newton Cotes Formeln Es ist naheliegend (und dies ist auch die historisch älteste Wahl), die Knoten äquidistant im Intervall [a, b] zu wählen. Berücksichtigt man dabei die Intervallenden, wählt man also x j = a + j b a, j = 0,..., n, n so erhält man die abgeschlossenen Newton Cotes Formeln 1 0 f (x) dx n j=0 α (n) j f ( j n ) bzw. b a f (x) dx (b a) n j=0 α (n) j f (a + j b a n ) =: ANC n(f ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

23 Abgeschlossene Newton Cotes Formeln n Name 1 1/2 1/2 Trapezregel 2 1/6 4/6 1/6 Simpson Regel 3 1/8 3/8 3/8 1/8 3/8 Regel 4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 Milne Regel α (n) j TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

24 Summierte Newton Cotes Formeln Die Gewichte der Newton Cotes Formeln wachsen rasch an. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

25 Summierte Newton Cotes Formeln Die Gewichte der Newton Cotes Formeln wachsen rasch an. Für die abgeschlossenen Formeln treten für n 8 wechselnde Vorzeichen auf. Diese Formeln sind also anfällig für Rundungsfehler. Man benutzt die Newton Cotes Formeln daher nur für kleine n auf Teilintervallen von [a, b] und summiert auf. Man erhält dann die summierten Newton Cotes Formeln oder zusammengesetzten Newton Cotes Formeln. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

26 Summierte Rechteckregel Beispiele hierfür sind mit h := b a m und x j := a + j h, j = 0,..., m, die summierte Rechteckregel b a f (x) dx h m f (x j h/2) =: R h (f ), (1) j=1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

27 Summierte Rechteckregel TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

28 Summierte Trapezregel b a ( m 1 1 f (x) dx h 2 f (a) + f (x i ) + 1 ) 2 f (b) =: T h (f ), (2) i=1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

29 Summierte Trapezregel TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

30 Summierte Simpson Regel b a f (x) dx 2h 6 = 2h 6 ( ) f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + 2 f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) f (x 2k 1 ) + f (x 2k ) ( f (a) + 4 k k 1 ) f (x 2i 1 ) + 2 f (x 2i ) + f (b) =: S h (f ). i=1 i=1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

31 Summierte Simpson Regel 0.7 stückweise quadratische Interp TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

32 Fehler von Quadraturformeln Wir untersuchen nun den Fehler von Quadraturformeln. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

33 Fehler von Quadraturformeln Wir untersuchen nun den Fehler von Quadraturformeln. Wir betrachten das Integral I := 1 0 f (x) dx und eine zugehörige Quadraturformel mit den Knoten x 0,..., x n [0, 1] und den Gewichten w 0,..., w n R Q(f ) := n w i f (x i ) i=0 für das Referenzintervall [0, 1]. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

34 Fehlerordnung Numerische Integration Die Quadraturformel Q(f ) hat die Fehlerordnung m, wenn für den Fehler gilt E(f ) := 1 0 f (x) dx (i) E(p) = 0 für alle Polynome p Π m 1 (ii) E(p) 0 für ein p Π m. n w i f (x i ) i=0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

35 Fehlerordnung Numerische Integration Die Quadraturformel Q(f ) hat die Fehlerordnung m, wenn für den Fehler gilt E(f ) := 1 0 f (x) dx (i) E(p) = 0 für alle Polynome p Π m 1 (ii) E(p) 0 für ein p Π m. n w i f (x i ) Bemerkung Wegen der Linearität des Fehlers ist klar, dass Q genau die Fehlerordnung m hat, wenn E(x j ) = 0 für j = 0,..., m 1 und E(x m ) 0 gilt. i=0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

36 Fehlerordnung Numerische Integration Die Konstruktion liefert, dass die Newton Cotes Formeln mit n Knoten wenigstens die Fehlerordnung n + 1 haben. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

37 Fehlerordnung Numerische Integration Die Konstruktion liefert, dass die Newton Cotes Formeln mit n Knoten wenigstens die Fehlerordnung n + 1 haben. Für die Trapezregel ist dies die genaue Fehlerordnung, denn T (x 2 ) = x 2 dx = 1 3. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

38 Fehlerordnung Numerische Integration Die Konstruktion liefert, dass die Newton Cotes Formeln mit n Knoten wenigstens die Fehlerordnung n + 1 haben. Für die Trapezregel ist dies die genaue Fehlerordnung, denn T (x 2 ) = x 2 dx = 1 3. Für die Simpson Regel gilt S(x 3 ) = 1 6 ( ) = 1 4 = 1 0 x 3 dx, S(x 4 ) = x 4 dx = 1 5, so dass die Simpson Regel sogar die Ordnung 4 hat. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

39 Satz 3.10 Numerische Integration Es sei Q eine Quadraturformel der Fehlerordnung m 1. Dann hat für f C m [0, 1] der Fehler von Q die Darstellung E(f ) = 1 0 f (x) dx Q(f ) = 1 0 K (x) f (m) (x) dx (3) mit K (x) = ( 1 1 (m 1)! m (1 x)m n i=0 w i (x i x) m 1 + ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

40 Satz 3.10 Numerische Integration Es sei Q eine Quadraturformel der Fehlerordnung m 1. Dann hat für f C m [0, 1] der Fehler von Q die Darstellung mit E(f ) = K (x) = 1 0 f (x) dx Q(f ) = 1 ( 1 1 (m 1)! m (1 x)m 0 K (x) f (m) (x) dx (3) n i=0 w i (x i x) m 1 + Dabei ist (x i x) + = x i x falls x i x und (x i x) + = 0 sonst. ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

41 Satz 3.10 Numerische Integration Es sei Q eine Quadraturformel der Fehlerordnung m 1. Dann hat für f C m [0, 1] der Fehler von Q die Darstellung mit E(f ) = K (x) = 1 0 f (x) dx Q(f ) = 1 ( 1 1 (m 1)! m (1 x)m 0 K (x) f (m) (x) dx (3) n i=0 w i (x i x) m 1 + Dabei ist (x i x) + = x i x falls x i x und (x i x) + = 0 sonst. Definition Die Funktion K in der Fehlerdarstellung (3) heißt der Peano Kern der Quadraturformel Q. ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

42 Beispiel Numerische Integration Für die Trapezregel gilt x 0 = 0, x 1 = 1, w 0 = w 1 = 0.5, m = 2, und daher K T (x) = 1 2 (1 x)2 1 2 (1 x) = 1 x(1 x). 2 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

43 Beispiel Numerische Integration Für die Trapezregel gilt x 0 = 0, x 1 = 1, w 0 = w 1 = 0.5, m = 2, und daher K T (x) = 1 2 (1 x)2 1 2 (1 x) = 1 x(1 x). 2 Für die Simpson Regel gilt x 0 = 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, w 0 = w 2 = 1 6, w 1 = 2 3 und m = 4, und daher K S (x) = 1 3! ( 1 4 (1 x)4 1 6 (1 x)3 2 3 (1 2 x)3 + wobei für eine Funktion f gilt f (x) + := max(f (x), 0). ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

44 Fehlerkonstante Numerische Integration Aus Satz 3.10 erhält man die folgende Abschätzung für den Fehler 1 E(f ) f (m) K (x) dx =: c m f (m). ( ) 0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

45 Fehlerkonstante Numerische Integration Aus Satz 3.10 erhält man die folgende Abschätzung für den Fehler 1 E(f ) f (m) K (x) dx =: c m f (m). ( ) 0 In vielen Fällen wechselt der Peano Kern K (x) das Vorzeichen auf dem Intervall [0, 1] nicht. Dann folgt aus (3) mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung mit einem ξ (0, 1) E(f ) = f (m) (ξ) 1 0 K (x) dx =: c m f (m) (ξ) ( ) für eine Quadraturformel der Ordnung m. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

46 Fehlerkonstante Numerische Integration Aus Satz 3.10 erhält man die folgende Abschätzung für den Fehler 1 E(f ) f (m) K (x) dx =: c m f (m). ( ) 0 In vielen Fällen wechselt der Peano Kern K (x) das Vorzeichen auf dem Intervall [0, 1] nicht. Dann folgt aus (3) mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung mit einem ξ (0, 1) E(f ) = f (m) (ξ) 1 0 K (x) dx =: c m f (m) (ξ) ( ) für eine Quadraturformel der Ordnung m. Definition: c m heißt die Fehlerkonstante des Verfahrens Q. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

47 Trapezregel Numerische Integration Für die Trapezregel gilt K T (x) = 1 x(1 x) für alle x [0, 1]. 2 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

48 Trapezregel Numerische Integration Für die Trapezregel gilt K T (x) = 1 x(1 x) für alle x [0, 1]. 2 Da T die Ordnung 2 hat, gilt E T (f ) = f (ξ) x(1 x) dx = f (ξ), und die Fehlerkonstante ist c 2 = TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

49 Simpson Regel Numerische Integration Eine elementare Rechnung zeigt, dass auch für die Simpson Regel K S (x) = 1 ( 1 3! 4 (1 x)4 1 6 (1 x)3 2 ) 3 (1 2 x)3 + 0 für alle x [0, 1] gilt. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

50 Simpson Regel Numerische Integration Eine elementare Rechnung zeigt, dass auch für die Simpson Regel für alle x [0, 1] gilt. K S (x) = 1 ( 1 3! 4 (1 x)4 1 6 (1 x)3 2 ) 3 (1 2 x)3 + 0 Durch Integration von K von 0 bis 1 erhält man für den Fehler wegen m = 4 E S (f ) = f (4) (ξ) 2880 für ein ξ (0, 1), d.h. die Fehlerkonstante ist c 4 = TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

51 ehlerkonstante Numerische Integration Man kann die Fehlerkonstante der Simpson Regel und auch anderer Formeln ohne Integration (sogar ohne Kenntnis) des Peano Kerns bestimmen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

52 ehlerkonstante Numerische Integration Man kann die Fehlerkonstante der Simpson Regel und auch anderer Formeln ohne Integration (sogar ohne Kenntnis) des Peano Kerns bestimmen. Ist bekannt, dass der Peano Kern einer Formel der Ordnung m sein Vorzeichen in [0, 1] nicht wechselt, der Fehler also eine Darstellung (**) hat, so hat man nur E(x m ) zu berechnen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

53 ehlerkonstante Numerische Integration Man kann die Fehlerkonstante der Simpson Regel und auch anderer Formeln ohne Integration (sogar ohne Kenntnis) des Peano Kerns bestimmen. Ist bekannt, dass der Peano Kern einer Formel der Ordnung m sein Vorzeichen in [0, 1] nicht wechselt, der Fehler also eine Darstellung (**) hat, so hat man nur E(x m ) zu berechnen. Wegen d m dx m (x m ) = m! ist E(x m ) = m! c m, und hieraus erhält man c m. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

54 ehlerkonstante Numerische Integration Man kann die Fehlerkonstante der Simpson Regel und auch anderer Formeln ohne Integration (sogar ohne Kenntnis) des Peano Kerns bestimmen. Ist bekannt, dass der Peano Kern einer Formel der Ordnung m sein Vorzeichen in [0, 1] nicht wechselt, der Fehler also eine Darstellung (**) hat, so hat man nur E(x m ) zu berechnen. Wegen d m dx m (x m ) = m! ist E(x m ) = m! c m, und hieraus erhält man c m. Im Fall der Simpson Regel ist E(x 4 ) = 1 0 x 4 dx 1 6 ( (0) (1/2) ) = = 1 120, und daher gilt c 4 = 1 ( 4! 1 ) = TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

55 Andere Intervalle Wir betrachten nun das Integral von f über ein Intervall der Länge h: α+h α f (x) dx. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

56 Andere Intervalle Wir betrachten nun das Integral von f über ein Intervall der Länge h: α+h α f (x) dx. Mit der Variablentransformation x =: α + ht geht dieses über in α+h f (x) dx = h 1 α 0 g(t) dt, g(t) := f (α + ht) = f (x), TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

57 Andere Intervalle Wir betrachten nun das Integral von f über ein Intervall der Länge h: α+h α f (x) dx. Mit der Variablentransformation x =: α + ht geht dieses über in α+h f (x) dx = h 1 α 0 g(t) dt, g(t) := f (α + ht) = f (x), das wir mit der Quadraturformel Q(g) = n i=0 w ig(x i ) behandeln, d.h. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

58 Andere Intervalle Wir betrachten nun das Integral von f über ein Intervall der Länge h: α+h α f (x) dx. Mit der Variablentransformation x =: α + ht geht dieses über in α+h f (x) dx = h 1 α 0 g(t) dt, g(t) := f (α + ht) = f (x), das wir mit der Quadraturformel Q(g) = n i=0 w ig(x i ) behandeln, d.h. Q [α,α+h] (f ) := h n w i f (α + hx i ). i=0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

59 Fehler Numerische Integration Für den Fehler gilt E [α,α+h] (f ) := α+h α ( 1 ) f (x) dx Q [α,α+h] (f ) = h g(t) dt Q(g) = h E(g). 0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

60 Fehler Numerische Integration Für den Fehler gilt E [α,α+h] (f ) := α+h α ( 1 ) f (x) dx Q [α,α+h] (f ) = h g(t) dt Q(g) = h E(g). 0 Besitzt der Fehler E(g) eine Darstellung (*), so folgt wegen d m g dt m = d m f dx m ( ) m dx = h m d m f dt dx m E [α,α+h] (f ) h m+1 c m max α x α+h f (m) (x). ( ) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

61 Fehler Numerische Integration Für den Fehler gilt E [α,α+h] (f ) := α+h α ( 1 ) f (x) dx Q [α,α+h] (f ) = h g(t) dt Q(g) = h E(g). 0 Besitzt der Fehler E(g) eine Darstellung (*), so folgt wegen d m g dt m = d m f dx m ( ) m dx = h m d m f dt dx m E [α,α+h] (f ) h m+1 c m max α x α+h f (m) (x). ( ) Gilt eine Darstellung (**), so erhält man genauso E [α,α+h] (f ) = h m+1 c m f (m) (η), η [α, α + h]. ( ) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

62 Summierte Formel Wir haben bereits erwähnt, dass die Genauigkeit einer Näherung für ein Integral nicht durch die Erhöhung der Ordnung der benutzten Quadraturformel verbessert wird, sondern dass das Intervall [a, b] in n Teilintervalle der Länge h zerlegt wird, und dass in jedem Teilintervall eine Quadraturformel kleiner Ordnung verwendet wird. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

63 Summierte Formel Wir haben bereits erwähnt, dass die Genauigkeit einer Näherung für ein Integral nicht durch die Erhöhung der Ordnung der benutzten Quadraturformel verbessert wird, sondern dass das Intervall [a, b] in n Teilintervalle der Länge h zerlegt wird, und dass in jedem Teilintervall eine Quadraturformel kleiner Ordnung verwendet wird. Für die summierte Quadraturformel Q h (f ) := n Q [a+(i 1) h,a+i h] (f ) i=1 erhält man aus (* ) (und genauso aus (** )) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

64 Summierte Formel b a n ( a+i h f (x) dx Q h (f ) = i=1 a+(i 1) h f (x) dx Q [a+(i 1) h,a+i h] (f ) ) n E [a+(i 1) h,a+i h] (f ) i=1 n h m+1 c m max{ f (m) (x) : a + (i 1) h x a + i h} i=1 n h h m c m f (m) = h m (b a) c m f (m). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

65 Summierte Formel b a n ( a+i h f (x) dx Q h (f ) = i=1 a+(i 1) h f (x) dx Q [a+(i 1) h,a+i h] (f ) ) n E [a+(i 1) h,a+i h] (f ) i=1 n h m+1 c m max{ f (m) (x) : a + (i 1) h x a + i h} i=1 n h h m c m f (m) = h m (b a) c m f (m). Man verliert also für die summierte Formel eine Potenz in h. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

66 Beispiel Numerische Integration Insbesondere erhält für die summierte Trapezregel den Fehler b f (x) dx T h (f ) h2 12 (b a) f a TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

67 Beispiel Numerische Integration Insbesondere erhält für die summierte Trapezregel den Fehler b f (x) dx T h (f ) h2 12 (b a) f a und für die summierte Simpson Regel b f (x) dx S h (f ) h (b a) f (4). a TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

68 Quadraturformeln von Gauß Wir haben bisher die Knoten der Quadraturformeln (äquidistant) vorgegeben. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

69 Quadraturformeln von Gauß Wir haben bisher die Knoten der Quadraturformeln (äquidistant) vorgegeben. Die Fehlerordnung war dann (wenigstens) gleich der Anzahl der Knoten (im Falle der Simpson Regel bei 3 Knoten 4). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

70 Quadraturformeln von Gauß Wir haben bisher die Knoten der Quadraturformeln (äquidistant) vorgegeben. Die Fehlerordnung war dann (wenigstens) gleich der Anzahl der Knoten (im Falle der Simpson Regel bei 3 Knoten 4). Wir fragen nun, wie weit wir durch Wahl der Knoten und der Gewichte die Fehlerordnung erhöhen können. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

71 Beispiel Numerische Integration Wir betrachten die Quadraturformel G 1 (f ) := w 1 f (x 1 ) mit einem Knoten x 1 für das Integral 1 0 f (x) dx und bestimmen x 1 [0, 1] und w 1 R so, dass Polynome möglichst hohen Grades exakt integriert werden: TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

72 Beispiel Numerische Integration Wir betrachten die Quadraturformel G 1 (f ) := w 1 f (x 1 ) mit einem Knoten x 1 für das Integral 1 0 f (x) dx und bestimmen x 1 [0, 1] und w 1 R so, dass Polynome möglichst hohen Grades exakt integriert werden: 1 0 x 0 dx = 1 = w 1 x 0 1 = w 1 w 1 = 1, 1 0 x 1 dx = 0.5 = w 1 x 1 1 = x 1 x 1 = 0.5. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

73 Beispiel Numerische Integration Wir betrachten die Quadraturformel G 1 (f ) := w 1 f (x 1 ) mit einem Knoten x 1 für das Integral 1 0 f (x) dx und bestimmen x 1 [0, 1] und w 1 R so, dass Polynome möglichst hohen Grades exakt integriert werden: 1 0 x 0 dx = 1 = w 1 x 0 1 = w 1 w 1 = 1, 1 0 x 1 dx = 0.5 = w 1 x 1 1 = x 1 x 1 = 0.5. Durch diese beiden Gleichungen ist also die Quadraturformel G 1 (f ) = f (0.5) bereits festgelegt. Man erhält die Mittelpunktregel. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

74 Beispiel Numerische Integration Wir betrachten die Quadraturformel G 1 (f ) := w 1 f (x 1 ) mit einem Knoten x 1 für das Integral 1 0 f (x) dx und bestimmen x 1 [0, 1] und w 1 R so, dass Polynome möglichst hohen Grades exakt integriert werden: 1 0 x 0 dx = 1 = w 1 x 0 1 = w 1 w 1 = 1, 1 0 x 1 dx = 0.5 = w 1 x 1 1 = x 1 x 1 = 0.5. Durch diese beiden Gleichungen ist also die Quadraturformel G 1 (f ) = f (0.5) bereits festgelegt. Man erhält die Mittelpunktregel. Wegen 1 0 x 2 dx = (0.5)2 hat sie die Fehlerordnung 2. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

75 Beispiel Numerische Integration Für die Quadraturformel G 2 (f ) = w 1 f (x 1 ) + w 2 f (x 2 ) mit zwei Knoten x 1, x 2 [0, 1] erhält man die Bestimmungsgleichungen x 0 dx = 1 = w 1 + w 2 x 1 dx = 1 2 = w 1x 1 + w 2 x 2 x 2 dx = 1 3 = w 1x w 2 x x 3 dx = 1 4 = w 1x w 2x 3 2 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

76 Beispiel Numerische Integration mit der (bis auf Vertauschung von x 1 und x 2 ) eindeutigen Lösung w 1 = w 2 = 1 2, x 1 = 1 ( 1 1 ), x 2 = 1 ( ) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

77 Beispiel Numerische Integration mit der (bis auf Vertauschung von x 1 und x 2 ) eindeutigen Lösung w 1 = w 2 = 1 2, x 1 = 1 ( 1 1 ), x 2 = 1 ( ) Wegen 1 0 x 4 dx = 1 5 w 1x w 2 x 4 2 = 7 36 hat die gefundene Formel G 2 die Fehlerordnung 4. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

78 Beispiel Numerische Integration mit der (bis auf Vertauschung von x 1 und x 2 ) eindeutigen Lösung w 1 = w 2 = 1 2, x 1 = 1 ( 1 1 ), x 2 = 1 ( ) Wegen 1 0 x 4 dx = 1 5 w 1x w 2 x 4 2 = 7 36 hat die gefundene Formel G 2 die Fehlerordnung 4. Prinzipiell kann man so fortfahren und Quadraturformeln immer höherer Ordnung konstruieren. Man erhält dann nichtlineare Gleichungssysteme, die immer unübersichtlicher werden. Ein anderer Weg ist in dem Skript Grundlagen der numerischen Mathematik ausgeführt. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

79 Problemstellung Numerische Integration In Verallgemeinerung unserer bisherigen Überlegungen betrachten wir gleich I(f ) = b a w(x) f (x) dx mit einer positiven Gewichtsfunktion w C[a, b]. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

80 Problemstellung Numerische Integration In Verallgemeinerung unserer bisherigen Überlegungen betrachten wir gleich I(f ) = b a w(x) f (x) dx mit einer positiven Gewichtsfunktion w C[a, b]. Man kann zeigen, dass es zu jedem n N und jeder positiven Gewichtsfunktion w C[a, b] eindeutig bestimmte Gewichte w i > 0 und Knoten x i (a, b), i = 1,..., n, gibt, so dass die Quadraturformel G n (f ) := n w i f (x i ) (1) i=1 die Fehlerordnung 2n besitzt (also für alle Polynome vom Höchstgrad 2n 1 exakt ist, nicht aber für x 2n ) und dass durch keine Wahl von Knoten und Gewichten eine höhere Fehlerordnung erreichbar ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

81 Maximale Fehlerordnung Dass mit n Knoten nicht die Fehlerordnung 2n + 1 erreicht werden kann, sieht man so ein. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

82 Maximale Fehlerordnung Dass mit n Knoten nicht die Fehlerordnung 2n + 1 erreicht werden kann, sieht man so ein. Besitzt (1) die Fehlerordnung 2n + 1, so wird insbesondere das Polynom exakt integriert. p(x) := n (x x j ) 2 Π 2n j=1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

83 Maximale Fehlerordnung Dass mit n Knoten nicht die Fehlerordnung 2n + 1 erreicht werden kann, sieht man so ein. Besitzt (1) die Fehlerordnung 2n + 1, so wird insbesondere das Polynom exakt integriert. p(x) := Wegen p 0 und p 0 gilt aber n (x x j ) 2 Π 2n j=1 b a w(x)p(x) dx > 0, während G n (p) = 0 ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

84 Spezialfall Numerische Integration Wir geben einige Gewichte und Knoten für den Spezialfall aus Satz 3.27 an. n w i x i 1 w 1 = 2 x 1 = 0 2 w 1 = w 2 = 1 x 2 = x 1 = w 1 = w 3 = 5 9, w 2 = x 3 = x 1 = 5, x 2 = 0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

85 Spezialfall Numerische Integration Wir geben einige Gewichte und Knoten für den Spezialfall aus Satz 3.27 an. n w i x i 1 w 1 = 2 x 1 = 0 2 w 1 = w 2 = 1 x 2 = x 1 = w 1 = w 3 = 5 9, w 2 = x 3 = x 1 = 5, x 2 = 0 Weitere Werte findet man in Abramowitz und Stegun, pp. 916 ff, und in Piessens et al., pp. 19 ff. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

86 Beispiel Numerische Integration Für das Integral I := 1 e x sin(5x) dx erhält man mit den Gauß Quadraturformeln G n die Fehler 0 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

87 Beispiel Numerische Integration Für das Integral I := 1 e x sin(5x) dx erhält man mit den Gauß Quadraturformeln G n die Fehler 0 n G n I e e e e e-06 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

88 Bemerkung Numerische Integration Auch für unbeschränkte Integrationsintervalle kann man Gaußsche Quadraturformeln. Man erhält für Integrale der Gestalt 0 e x f (x) dx (mit den Nullstellen der Laguerre Polynome als Knoten) die Gauß Laguerre Quadraturformeln, und für Integrale der Gestalt e x 2 f (x) dx (mit den Nullstellen der Hermite Polynome als Knoten) die Gauß Hermite Quadraturformeln. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

89 Beispiel Numerische Integration Für das Integral 0 x 1 + e x dx = 0 e x x π2 dx = 1 + e x 12 = enthält die folgende Tabelle die Näherungen mit den Gauß Laguerre Quadraturformeln und die Fehler. Man sieht, dass man auch mit wenigen Knoten zu sehr guten Näherungen gelangt. n Q n Fehler e e e e e e-5 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

90 Adaptive Quadratur Wir haben summierte Quadraturformeln nur mit konstanter Schrittweite h > 0 betrachtet. Es ist klar, dass man dabei für Funktionen mit unterschiedlichem Verhalten in verschiedenen Teilen des Integrationsintervalls entweder bei zu groß gewähltem h ein ungenaues Ergebnis erhält oder bei zu kleinem h Arbeit in den Bereichen verschenkt, in denen die Funktion gutartig ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

91 Adaptive Quadratur Wir haben summierte Quadraturformeln nur mit konstanter Schrittweite h > 0 betrachtet. Es ist klar, dass man dabei für Funktionen mit unterschiedlichem Verhalten in verschiedenen Teilen des Integrationsintervalls entweder bei zu groß gewähltem h ein ungenaues Ergebnis erhält oder bei zu kleinem h Arbeit in den Bereichen verschenkt, in denen die Funktion gutartig ist. Beispiel 3.37 ( f (x) = exp 200 (x +0.8) 2) ( +10 exp 500 (x 0.9) 2), 1 x 1. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

92 Beispiel Numerische Integration TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

93 Adaptive Quadratur Wir entwickeln nun eine Vorgehensweise, mit der bei gegebenem Integranden, gegebenen Grenzen a und b und gegebener Genauigkeitsschranke ε > 0 eine Quadraturformel I(f ) = k w j f (x j ) j=0 erzeugt wird, für die gilt b a f (x) dx I(f ) < ε, wobei der Punkt über dem Ungleichungszeichen besagt, dass die Ungleichung nur asymptotisch für feine Zerlegungen a x 0 < x 1 < < x k b von [a, b] gilt. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

94 Adaptive Quadratur Die Knoten x j und Gewichte w j werden adaptiv durch das Verfahren in Abhängigkeit von f und ε erzeugt. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

95 Adaptive Quadratur Die Knoten x j und Gewichte w j werden adaptiv durch das Verfahren in Abhängigkeit von f und ε erzeugt. Es sei Q(f ) = n w i f (t i ) eine Quadraturformel der Ordnung m für das Referenzintervall [ 1, 1]. i=1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

96 Adaptive Quadratur Die Knoten x j und Gewichte w j werden adaptiv durch das Verfahren in Abhängigkeit von f und ε erzeugt. Es sei Q(f ) = n w i f (t i ) eine Quadraturformel der Ordnung m für das Referenzintervall [ 1, 1]. i=1 Es sei das Integral bis zum Punkt x j [a, b) schon näherungsweise bestimmt, und es sei x j+1 (x j, b] gegeben. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

97 Adaptive Quadratur Die Knoten x j und Gewichte w j werden adaptiv durch das Verfahren in Abhängigkeit von f und ε erzeugt. Es sei Q(f ) = n w i f (t i ) eine Quadraturformel der Ordnung m für das Referenzintervall [ 1, 1]. i=1 Es sei das Integral bis zum Punkt x j [a, b) schon näherungsweise bestimmt, und es sei x j+1 (x j, b] gegeben. Dann berechnen wir die zwei Näherungen Q [xj,x j+1 ](f ) = x j+1 x j 2 n i=1 ( xj+1 + x j w i f 2 ) x j+1 x j + t i 2 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

98 Adaptive Quadratur und Q [xj,x j+1 ](f ) := x j+ x 1 j x j+1 x j n i=1 ( xj+ 1 + x j 2 w i f 2 n ( xj+1 + x j+ 1 2 w i f 2 für x j+1 x j f (x) dx, wobei x j+ 1 := 0.5(x j + x j+1 ) gesetzt ist, 2 i=1 x j+ 1 x j 2 + t i 2 + t i x j+1 x j ) ) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

99 Adaptive Quadratur und Q [xj,x j+1 ](f ) := x j+ x 1 j x j+1 x j n i=1 ( xj+ 1 + x j 2 w i f 2 n ( xj+1 + x j+ 1 2 w i f 2 für x j+1 x j f (x) dx, wobei x j+ 1 := 0.5(x j + x j+1 ) gesetzt ist, 2 i=1 x j+ 1 x j 2 + t i 2 + t i x j+1 x j ) ) und hiermit ˆQ [xj,x j+1 ] := ( ) 1 2 m 2 m 1 Q [xj,x j+1 ](f ) Q [xj,x j+1 ](f ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

100 Adaptive Quadratur Dann ist mit Q und Q auch ˆQ eine Quadraturformel von mindestens der Ordnung m, und man kann leicht mit Hilfe der Fehlerdarstellung aus Satz 3.10 zeigen, dass durch ˆQ sogar Polynome vom Grade m exakt integriert werden, ˆQ also wenigstens die Ordnung m + 1 hat. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

101 Adaptive Quadratur Dann ist mit Q und Q auch ˆQ eine Quadraturformel von mindestens der Ordnung m, und man kann leicht mit Hilfe der Fehlerdarstellung aus Satz 3.10 zeigen, dass durch ˆQ sogar Polynome vom Grade m exakt integriert werden, ˆQ also wenigstens die Ordnung m + 1 hat. Wir benutzen nun ˆQ, um den Fehler von Q (der genaueren der beiden Ausgangsformeln) zu schätzen. Es gilt mit h := x j+1 x j xj+1 Ẽ [xj,x j+1 ](f ) := f (x) dx Q [xj,x j+1 ](f ) x j = ˆQ [xj,x j+1 ](f ) Q [xj,x j+1 ](f ) + O(h m+2 ) ( ) 1 = 2 m Q[xj 2 m,x 1 j+1 ](f ) Q [xj,x j+1 ](f ) Q [xj,x j+1 ](f ) + O(h m+2 ) ( ) 1 = Q 2 m [xj,x 1 j+1 ](f ) Q [xj,x j+1 ](f ) + O(h m+2 ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

102 Adaptive Quadratur Da andererseits Ẽ[x j,x j+1 ](f ) = O(h m+1 ) gilt, können wir für kleine h den Summanden O(h m+2 ) vernachlässigen und erhalten die Fehlerschätzung Ẽ [xj,x j+1 ](f ) 1 ( Q[xj 2 m,xj+1](f ) Q [xj,xj+1](f )). (1) 1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

103 Adaptive Quadratur Da andererseits Ẽ[x j,x j+1 ](f ) = O(h m+1 ) gilt, können wir für kleine h den Summanden O(h m+2 ) vernachlässigen und erhalten die Fehlerschätzung Ẽ [xj,x j+1 ](f ) 1 ( Q[xj 2 m,xj+1](f ) Q [xj,xj+1](f )). (1) 1 Wir benutzen (1), um das Intervall [a, b] durch Bisektion zu zerlegen in a = x 0 < x 1 < < x k = b, so dass für j = 1,..., k gilt Q [xj 1,x j ](f ) Q [xj 1,x j ](f ) 2m 1 b a (x j x j 1 ) ε. (2) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

104 Adaptive Quadratur Dann folgt für die summierte Quadraturformel Q(f ) := k Q [xj 1,x j ](f ) j=1 aus (2) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

105 Adaptive Quadratur Dann folgt für die summierte Quadraturformel Q(f ) := k Q [xj 1,x j ](f ) j=1 aus (2) E(f ) = b a 1 2 m 1 1 b a f (x) dx Q(f ) = k Ẽ [xj 1,x j ](f ) j=1 k Q [xj 1,x j ](f ) Q [xj 1,x j ](f ) j=1 k (x j x j 1 ) ε = ε. j=1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

106 Adaptive Quadratur Mit der Fehlersch"atzung kann man nun auf folgende Weise ein Intergral mit einer gew"unschten (asymptotischen) Genauigkeit adaptiv berechnen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

107 Adaptive Quadratur Mit der Fehlersch"atzung kann man nun auf folgende Weise ein Intergral mit einer gew"unschten (asymptotischen) Genauigkeit adaptiv berechnen. Ist das Integtral x j a f (x) dx schon mit der gewünschten Genauigkeit bestimmt und wurden mit der Schrittweite h die Näherungen Q [xj,x j +h](f ) und Q [xj,x j +h](f ) berechnet, so kann man hiermit das Erfülltsein der lokalen Fehlerschranke (2) prüfen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

108 Adaptive Quadratur Mit der Fehlersch"atzung kann man nun auf folgende Weise ein Intergral mit einer gew"unschten (asymptotischen) Genauigkeit adaptiv berechnen. Ist das Integtral x j a f (x) dx schon mit der gewünschten Genauigkeit bestimmt und wurden mit der Schrittweite h die Näherungen Q [xj,x j +h](f ) und Q [xj,x j +h](f ) berechnet, so kann man hiermit das Erfülltsein der lokalen Fehlerschranke (2) prüfen. Ist dies der Fall, so geht man zu dem neuen Intervall [x j+1, x j+1 + h neu ], x j+1 := x j + h, über. Sonst wiederholt man den Schritt mit einer verkleinerten Schrittweite h neu. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

109 Adaptive Quadratur Die neue Schrittweite, kann man so bestimmen: Es ist d.h. E [xj,x j +h] 1 2 m 1 Q [x j,x j +h](f ) Q [xj,x j +h](f ) Ch m+1, C h m 1 2 m 1 Q [x j,x j +h](f ) Q [xj,x j +h](f ), TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

110 Adaptive Quadratur Die neue Schrittweite, kann man so bestimmen: Es ist E [xj,x j +h] 1 2 m 1 Q [x j,x j +h](f ) Q [xj,x j +h](f ) Ch m+1, d.h. C h m 1 2 m 1 Q [x j,x j +h](f ) Q [xj,x j +h](f ), und daher kann man erwarten, dass mit d.h. ε h neu b a = Chm+1 neu = h m 1 2 m 1 Q [x j,x j +h](f ) Q [xj,x j +h](f ) hneu m+1, h neu = h ( (2 m 1)hε (b a) Q [xj,x j +h](f ) Q [xj,x j +h](f ) die lokale Fehlerschranke (2) eingehalten wird. ) 1/m TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

111 Adaptive Quadratur function int=adap-gauss3(f,a,b,tol); factor=63*tol/(b-a); h=0.1*(b-a); int=0; while a < b do q=gauss3(f,a,a+h); qs=gauss3(f,a,a+0.5*h)+gauss3(f,a+0.5*h,a+h); h neu = 0.9 h (h factor/abs(qs q)) 1/6 ; if abs(q-qs) > h*factor; then h = h neu ; else int=int+qs+(qs-q)/63; a=a+h; h = min(h neu, b a); end if end while TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

112 Beispiel Numerische Integration Für das Beispiel 3.37 erhält man hiermit ε Fehler Funktionsauswertungen 1E E E E E E E E E E E E TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

113 Kronrod Quadratur Wir gehen aus von einer Gauß Formel G n (f ) = n w i f (x i ) i=1 der Ordnung 2n mit den Knoten x 1,..., x n ( 1, 1), und bestimmen n + 1 weitere Knoten y 0,..., y n ( 1, 1) und Gewichte α i, β i, so dass die Quadraturformel K n (f ) := n n α i f (x i ) + β i f (y i ) i=1 i=0 möglichst hohe Ordnung besitzt. K n heißt die zu G n gehörige Kronrod Formel. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

114 Beispiel Numerische Integration Ausgehend von ( G 2 (f ) = f 1 ) ( 1 ) + f 3 3 machen wir für K 2 den Ansatz ( K 2 (f ) = α 1 f 1 ) ( 1 ) + α 2 f 3 + β 0 f (y 0 ) + β 1 f (y 1 ) + β 2 f (y 2 ) 3 und bestimmen die 8 Unbekannten α 1, α 2, β 0, β 1, β 2, y 0, y 1, y 2 so, dass die Funktionen x j, j = 0, 1, 2,..., m, für möglichst großes m durch K 2 exakt integriert werden. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

115 Beispiel Numerische Integration Man kann zeigen, dass die Kronrod Formeln symmetrisch sind (hier: α 1 = α 2, β 0 = β 2, y 0 = y 2, y 1 = 0). Unter Ausnutzung dieser Symmetrie folgt K 2 (x 2j+1 ) = 0 = 1 1 x 2j+1 dx für alle j = 0, 1, 2,... TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

116 Beispiel Numerische Integration Man kann zeigen, dass die Kronrod Formeln symmetrisch sind (hier: α 1 = α 2, β 0 = β 2, y 0 = y 2, y 1 = 0). Unter Ausnutzung dieser Symmetrie folgt K 2 (x 2j+1 ) = 0 = 1 1 x 2j+1 dx für alle j = 0, 1, 2,... Für die geraden Potenzen ergibt sich das nichtlineare Gleichungssystem x 0 : 2 α β 0 + β 1 = 2, x 2 2 : 3 α β 0 y0 2 = 2 3, x 4 2 : 9 α β 0 y0 4 = 2 5, x 6 2 : 27 α β 0 y0 6 = 2 7, TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

117 mit der eindeutigen Lösung 6 y 0 = 7, α 1 = , β 0 = , β 1 = , d.h. ( K 2 (f ) = G 2(f ) + 1 ( ( 98 f ) + f ( 6 ) ) ) f (0). 7 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

118 mit der eindeutigen Lösung 6 y 0 = 7, α 1 = , β 0 = , β 1 = , d.h. ( K 2 (f ) = G 2(f ) + 1 ( ( 98 f ) + f ( 6 ) ) ) f (0). 7 Nach Konstruktion hat diese Formel mindestens die Ordnung 8, und durch Berechnung von E(x 8 ) sieht man, dass die Ordnung genau 8 ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

119 Man kann zeigen, dass zu einer n-punkt Gauß Formel G n stets die (2n + 1)-Punkt Kronrod Formel konstruiert werden kann, und dass ihre Ordnung 3n + 2 ist, falls n gerade ist, und 3n + 3, falls n ungerade ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

120 Man kann zeigen, dass zu einer n-punkt Gauß Formel G n stets die (2n + 1)-Punkt Kronrod Formel konstruiert werden kann, und dass ihre Ordnung 3n + 2 ist, falls n gerade ist, und 3n + 3, falls n ungerade ist. Die Kronrod Formel K n kann man nun auf folgende Weise nutzen, um den Fehler E n der zugehörigen Gauß Formel zu schätzen. Es gilt für [x j, x j+1 ] [ 1, 1] xj+1 x j h := x j+1 x j, und daher folgt E n := xj+1 x j f (x) dx = K n (f ) + h 3n+2 c 3n+2 f (3n+2) (η), f (x) dx G n (f ) = K n (f ) G n (f ) + h 3n+2 c 3n+2 f (3n+2) (η). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

121 Da E n proportional zu h 2n ist, können wir für kleine h den letzten Summanden vernachlässigen und erhalten E n K n (f ) G n (f ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

122 Da E n proportional zu h 2n ist, können wir für kleine h den letzten Summanden vernachlässigen und erhalten E n K n (f ) G n (f ). In dem folgenden Algorithmus schätzen wir hiermit den Fehler der Gauß Formel, verwenden aber als Näherung für das Integral x j+1 x j f (x) dx den mit der Kronrod Formel ermittelten Wert. Dies führt dazu, dass der Fehler wesentlich unterhalb der geforderten Toleranz liegt. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

123 Kronrod Quadratur function int=adap-kronrod(f,a,b,tol); h=0.1*(b-a); int=0; eps=tol/(b-a); while a < b do [int1,int2]=kronrod(f,a,a+h) h neu = 0.9 h (h eps/abs(int1 int2)) 1/4 ; if abs(int1-int2) > h*eps; then h = h neu ; else int=int+int2; a=a+h; h = min(h neu, b a); end if end while TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

124 Beispiel Numerische Integration Für das Beispiel 3.37 erhält man hiermit ε Fehler Funktionsauswertungen 1E E E E E E E E TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

125 QUADPACK Numerische Integration Adaptive Quadraturverfahren unter Benutzung von Gauß-Kronrod Formeln mit bis zu 30 bzw. 61 Knoten finden sich in dem Softwarepackage QUADPACK von Piessens et al., das als Public Domain Software geladen werden kann von TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

126 Numerische Differentiation Wir betrachten eine Funktion f : [a, b] R, von der nur die Funktionswerte y j := f (x j ) an diskreten Punkten a x 1 < x 2 < < x n b bekannt sind. Aufgabe ist es, aus diesen diskreten Daten eine Näherung für den Wert einer Ableitung f (m) (x), m 1, an einer Stelle x zu ermitteln. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

127 Numerische Differentiation Wir betrachten eine Funktion f : [a, b] R, von der nur die Funktionswerte y j := f (x j ) an diskreten Punkten a x 1 < x 2 < < x n b bekannt sind. Aufgabe ist es, aus diesen diskreten Daten eine Näherung für den Wert einer Ableitung f (m) (x), m 1, an einer Stelle x zu ermitteln. Ähnlich wie bei der numerischen Integration interpolieren wir hierzu einige der gegebenen Daten (x j, y j ) in der Nähe des Punktes x und wählen die m-te Ableitung der interpolierenden Funktion an der Stelle x als Näherung für f (m) (x). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

128 Numerische Differentiation Wir betrachten eine Funktion f : [a, b] R, von der nur die Funktionswerte y j := f (x j ) an diskreten Punkten a x 1 < x 2 < < x n b bekannt sind. Aufgabe ist es, aus diesen diskreten Daten eine Näherung für den Wert einer Ableitung f (m) (x), m 1, an einer Stelle x zu ermitteln. Ähnlich wie bei der numerischen Integration interpolieren wir hierzu einige der gegebenen Daten (x j, y j ) in der Nähe des Punktes x und wählen die m-te Ableitung der interpolierenden Funktion an der Stelle x als Näherung für f (m) (x). Gebräuchlich ist die Interpolation mit Polynomen und mit Splines. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

129 Numerische Differentiation Wir beschränken uns hier auf die Interpolation mit Polynomen und betrachten nur den Fall, dass die Stelle x, an der die Ableitung approximiert werden soll, ein Knoten ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

130 Numerische Differentiation Wir beschränken uns hier auf die Interpolation mit Polynomen und betrachten nur den Fall, dass die Stelle x, an der die Ableitung approximiert werden soll, ein Knoten ist. Wir leiten Formeln für die Approximation der ersten Ableitung her. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

131 Numerische Differentiation Wir beschränken uns hier auf die Interpolation mit Polynomen und betrachten nur den Fall, dass die Stelle x, an der die Ableitung approximiert werden soll, ein Knoten ist. Wir leiten Formeln für die Approximation der ersten Ableitung her. Interpoliert man f linear mit den Daten (x j, y j ) und (x j+1, y j+1 ), so erhält man und als Näherung für die Ableitung p(x) = y j + y j+1 y j x j+1 x j (x x j ), f (x j ) p (x j ) = y j+1 y j x j+1 x j. (1) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

132 Numerische Differentiation Wir beschränken uns hier auf die Interpolation mit Polynomen und betrachten nur den Fall, dass die Stelle x, an der die Ableitung approximiert werden soll, ein Knoten ist. Wir leiten Formeln für die Approximation der ersten Ableitung her. Interpoliert man f linear mit den Daten (x j, y j ) und (x j+1, y j+1 ), so erhält man und als Näherung für die Ableitung p(x) = y j + y j+1 y j x j+1 x j (x x j ), f (x j ) p (x j ) = y j+1 y j x j+1 x j. (1) Dieser Ausdruck heißt der vorwärtsgenommene Differenzenquotient. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

133 Numerische Differentiation Interpoliert man die Daten (x j 1, y j 1 ) und (x j, y j ) linear, so erhält man genauso die Approximation f (x j ) y j y j 1 x j x j 1 (2) durch den rückwärtsgenommenen Differenzenquotienten. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

134 Numerische Differentiation Interpoliert man die Daten (x j 1, y j 1 ) und (x j, y j ) linear, so erhält man genauso die Approximation f (x j ) y j y j 1 x j x j 1 (2) durch den rückwärtsgenommenen Differenzenquotienten. Interpoliert man f quadratisch mit den Knoten (x j+k, y j+k ), k = 1, 0, 1, so erhält man mit der Ableitung p(x) = y j + [x j 1, x j ](x x j ) + [x j+1, x j 1, x j ](x x j 1 )(x x j ) p (x) = [x j 1, x j ] + [x j+1, x j 1, x j ](2x x j 1 x j ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

135 Numerische Differentiation Einsetzen von x = x j liefert nach kurzer Rechnung f (x j ) x j+1 x j [x j 1, x j ] + x j x j 1 [x j, x j+1 ]. (3) x j+1 x j 1 x j+1 x j 1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

136 Numerische Differentiation Einsetzen von x = x j liefert nach kurzer Rechnung f (x j ) x j+1 x j [x j 1, x j ] + x j x j 1 [x j, x j+1 ]. (3) x j+1 x j 1 x j+1 x j 1 Ist speziell x j+1 x j = x j x j 1 =: h, so ist (3) der zentrale Differenzenquotient f (x j ) 1 2 [x j 1, x j ] [x j, x j+1 ] = y j+1 y j 1. (4) 2h TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

137 Numerische Differentiation Sind nur Funktionswerte von f auf einer Seite von x j bekannt, so verwendet man einseitige Differenzenapproximationen. Z.B. erhält man mit y j+k = f (x j+k ), k = 0, 1, 2, die Näherung f (x j ) x j+2 + x j+1 2x j [x j, x j+1 ] x j+1 x j [x j+1, x j+2 ], (5) x j+2 x j x j+2 x j TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

138 Numerische Differentiation Sind nur Funktionswerte von f auf einer Seite von x j bekannt, so verwendet man einseitige Differenzenapproximationen. Z.B. erhält man mit y j+k = f (x j+k ), k = 0, 1, 2, die Näherung f (x j ) x j+2 + x j+1 2x j [x j, x j+1 ] x j+1 x j [x j+1, x j+2 ], (5) x j+2 x j x j+2 x j und im äquidistanten Fall f (x j ) 3 2 [x j, x j+1 ] 1 2 [x j+1, x j+2 ] = y j+2 + 4y j+1 3y j. (6) 2h TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

139 Numerische Differentiation Genauso erhält man mit 5 bzw. 7 äquidistanten Knoten die zentralen Differenzenapproximationen f (x j ) 1 12h (y j 2 8y j 1 + 8y j+1 y j+2 ) (7) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

140 Numerische Differentiation Genauso erhält man mit 5 bzw. 7 äquidistanten Knoten die zentralen Differenzenapproximationen f (x j ) 1 12h (y j 2 8y j 1 + 8y j+1 y j+2 ) (7) und f (x j ) 1 60h ( y j 3 + 9y j 2 45y j y j+1 9y j+2 + y j+3 ). (8) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

141 Numerische Differentiation Den Fehler einer Differenzenformel kann man mit Hilfe des Taylorschen Satzes bestimmen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

142 Numerische Differentiation Den Fehler einer Differenzenformel kann man mit Hilfe des Taylorschen Satzes bestimmen. Für f C 2 gilt mit einem ξ (x j, x j + h) d.h. f (x j + h) = f (x j ) + f (x j )h + h2 2 f (ξ), f (x j ) = y j+1 y j h h 2 f (ξ), TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

143 Numerische Differentiation Den Fehler einer Differenzenformel kann man mit Hilfe des Taylorschen Satzes bestimmen. Für f C 2 gilt mit einem ξ (x j, x j + h) d.h. f (x j + h) = f (x j ) + f (x j )h + h2 2 f (ξ), f (x j ) = y j+1 y j h h 2 f (ξ), und genauso mit einem η (x j h, x j ) f (x j ) = y j y j 1 h h 2 f (η). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

144 Numerische Differentiation Den Fehler einer Differenzenformel kann man mit Hilfe des Taylorschen Satzes bestimmen. Für f C 2 gilt mit einem ξ (x j, x j + h) f (x j + h) = f (x j ) + f (x j )h + h2 2 f (ξ), d.h. f (x j ) = y j+1 y j h h 2 f (ξ), und genauso mit einem η (x j h, x j ) f (x j ) = y j y j 1 h h 2 f (η). Es gilt also für den Fehler sowohl des vorwärtsgenommenen als auch des rückwärtsgenommenen Differnzenquotienten die Asymptotik O(h). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

145 Definition Numerische Integration Eine Differenzenapproximation D r f (x; h) für die Ableitung f (r) (x) mit der Schrittweite h besitzt die Fehlerordnung p, falls gilt D r f (x; h) f (r) (x) = O(h p ). TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

146 Definition Numerische Integration Eine Differenzenapproximation D r f (x; h) für die Ableitung f (r) (x) mit der Schrittweite h besitzt die Fehlerordnung p, falls gilt D r f (x; h) f (r) (x) = O(h p ). Vorwärts- und rückwärtsgenommene Differenzenquotienten zur Approximation von f (x) besitzen also die Fehlerordnung 1. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

147 Für f C 4 gilt und daher f (x j ± h) = f (x j ) ± hf (x j ) + h2 2 f (x j ) ± h3 6 f (x j ) + O(h 4 ), y j+1 y j 1 2h f (x j ) = h2 6 f (x j ) + O(h 3 ). Der zentrale Differenzenquotient besitzt also die Fehlerordnung 2. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

148 Für f C 4 gilt und daher f (x j ± h) = f (x j ) ± hf (x j ) + h2 2 f (x j ) ± h3 6 f (x j ) + O(h 4 ), y j+1 y j 1 2h f (x j ) = h2 6 f (x j ) + O(h 3 ). Der zentrale Differenzenquotient besitzt also die Fehlerordnung 2. Genauso erhält man für die Approximationen in (7) und (8) die Fehlerordnungen 4 und 6. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

149 Endliche Arithmetik Bei Rechnung in exakter Arithmetik beschreibt die Fehlerordnung das Verhalten des Fehlers für h 0. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

150 Endliche Arithmetik Bei Rechnung in exakter Arithmetik beschreibt die Fehlerordnung das Verhalten des Fehlers für h 0. Die Differenzenformeln enthalten alle Differenzen von Funktionswerten von f, die bei kleinem h nahe beieinander liegen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

151 Endliche Arithmetik Bei Rechnung in exakter Arithmetik beschreibt die Fehlerordnung das Verhalten des Fehlers für h 0. Die Differenzenformeln enthalten alle Differenzen von Funktionswerten von f, die bei kleinem h nahe beieinander liegen. Dies führt beim Rechnen mit endlicher Stellenzahl zu Auslöschungen. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

152 Beispiel Numerische Integration Wir bestimmen für f (x) := cos x Näherungen für f (1) mit dem vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten. Die folgende Tabelle enthält die Fehler der Approximationen für h j = 10 j, j = 0, 1,..., 16. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

153 Beispiel Numerische Integration Wir bestimmen für f (x) := cos x Näherungen für f (1) mit dem vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten. Die folgende Tabelle enthält die Fehler der Approximationen für h j = 10 j, j = 0, 1,..., 16. j Fehler j Fehler j Fehler e e e e e e e e e e e e e e e e e-7 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

154 Beispiel Numerische Integration Wir bestimmen für f (x) := cos x Näherungen für f (1) mit dem vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten. Die folgende Tabelle enthält die Fehler der Approximationen für h j = 10 j, j = 0, 1,..., 16. j Fehler j Fehler j Fehler e e e e e e e e e e e e e e e e e-7 Der Fehler fällt also (wie durch die Fehlerordnung 1 vorausgesagt) zunächst bis h = 10 8 linear, steigt aber danach durch Auslöschung in der Differenzenformel wieder an. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

155 Beispiel Numerische Integration Differenzenformel Ordnung 1 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

156 Endliche Arithmetik Das Verhalten im letzten Beispiel kann man auf folgende Weise erklären. Wir nehmen an, dass der errechnete Funktionswert ỹ j y j die Größe ỹ j = y j (1 + δ j ), δ j Ku (9) hat, wobei u die Maschinengenauigkeit bezeichnet und K eine kleine Konstante ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

157 Endliche Arithmetik Das Verhalten im letzten Beispiel kann man auf folgende Weise erklären. Wir nehmen an, dass der errechnete Funktionswert ỹ j y j die Größe ỹ j = y j (1 + δ j ), δ j Ku (9) hat, wobei u die Maschinengenauigkeit bezeichnet und K eine kleine Konstante ist. Dann gilt für den errechneten vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten ) (ỹj+1 ỹ j D 1 (h) := fl = ỹj+1 ỹ j (1 + ε 1 )(1 + ε 2 ), ε 1, ε 2 u. h h TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

158 Endliche Arithmetik Unter Verwendung von (9) erhält man, wenn man Terme der Größenordnung u 2 vernachlässigt, D 1 (h) = y j+1 y j h + y j+1δ j+1 y j δ j h + y j+1 y j (ε 1 + ε 2 ), h TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

159 Endliche Arithmetik Unter Verwendung von (9) erhält man, wenn man Terme der Größenordnung u 2 vernachlässigt, D 1 (h) = y j+1 y j h + y j+1δ j+1 y j δ j h + y j+1 y j (ε 1 + ε 2 ), h und daher ist der Rundungsfehler bei der Auswertung der Differenzenformel D 1 (h) := (y j+1 y j )/h mit Konstanten C 1, C 2 D 1 (h) D 1 (h) = y j+1 δ j+1 y j δ j h + y j+1 y j h (ε 1 + ε 2 ) C 1 h u + C 2u. (10) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

160 Endliche Arithmetik Da die vorwärtsgenommene Differenzenformel die Ordnung 1 hat, gibt es eine Konstante C 3 mit D 1 (h) f (x j ) C 3 h, und daher folgt für den Gesamtfehler D 1 (h) f (x j ) C 1 h u + C 2u + C 3 h =: (h). (11) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

161 Endliche Arithmetik Der Graph dieser Funktion hat die Gestalt der Fehlerfunktion in der letzten Abbildung: Mit fallendem h fällt die Funktion (h) bis zum Minimum, das durch (h) = C 1u h 2 + C 3 = 0 charakterisiert ist, d.h. bis C 1 h opt = u, (12) C 3 und steigt danach wieder. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

162 Endliche Arithmetik Der Graph dieser Funktion hat die Gestalt der Fehlerfunktion in der letzten Abbildung: Mit fallendem h fällt die Funktion (h) bis zum Minimum, das durch (h) = C 1u h 2 + C 3 = 0 charakterisiert ist, d.h. bis C 1 h opt = u, (12) C 3 und steigt danach wieder. In MATLAB ist u 10 16, das Minimum des Fehlers muss also in der Größenordnung von 10 8 liegen. Die Abbildung zeigt, dass dies tatsächlich im Beispiel der Fall ist. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

163 Endliche Arithmetik Besitzt die Differenzenformel D 1 die Fehlerordnung m, so bleibt (10) richtig, und man erhält entsprechend (11) den Gesamtfehler D 1 (h) f (x 0 ) C 1 h u + C 2u + C 3 h m =: (h). (13) TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

164 Endliche Arithmetik Besitzt die Differenzenformel D 1 die Fehlerordnung m, so bleibt (10) richtig, und man erhält entsprechend (11) den Gesamtfehler D 1 (h) f (x 0 ) C 1 h u + C 2u + C 3 h m =: (h). (13) In diesem Fall erhält man als Größenordnung der optimalen Schrittweite h opt = Cu 1/(m+1), die ebenfalls durch die Beispiele in den folgenden Abbildungen bestätigt werden. TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

165 Endliche Arithmetik Differenzenformel Ordnung 2 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

166 Endliche Arithmetik Differenzenformel Ordnung 4 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87

167 Endliche Arithmetik Differenzenformel Ordnung 6 TUHH Heinrich Voss Kapitel / 87