I. Zur Quadratur des Kreises eine Berechnung von Π Einige Presseartikel zu Π. Frankfurter Rundschau, Frankfurt,

Transkript

1 I. Zur Quadratur des Kreises eine Berechnung von Π Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis Wintersemester 003 / Einige Presseartikel zu Π Frankfurter Rundschau Frankfurt Pi mal Daumen TOKIO 4. August (ap). Zwei japanische Mathematiker haben am Freitag einen neuen Weltrekord für die Berechnung der Professor Kaneda sagte seine Gruppe habe einen Großcomputer benutzt um zwei verschiedene Formeln durchrechnen Scientists find even more pi Siehe auch: Mathematik im Internet: Π Extra Tip Kassel Zahl Pi falsch Hermann Wahler ist Rentner. Sein Hobby: Mathematik. Besonders angetan hat's ihm der Rauminhalt des Kreises. Der wir Seite 6: Zahl Pi neu berechnet! Drückt man beim Taschenrechner auf die Taste "" erscheint der Wert damit errechnet man den Rauminhalt des Eine Formel dazu und raus kommt die Zahl Pi: Doch Wahler gibt sich damiicht zufrieden. Sein Trick: Er zieht ein Vieleck innerhalb des Kreises. Je mehr Ecken den Kr Das Vieleck unterteilt den Kreis in viele Dreiecke plus die Summe der Kreisabschnitte. Wahlers Ergebnis: Die Zahl Pi ist k Hermann Wahler: "Je mehr Ecken ich berechne desto genauer wird die endgültige Zahl Pi. Sicher schon jetzt: Die Zahl d Stimmt seine Rechnung? "Ich glaube schon doch ich hoffe daß das jemand auf einem Großrechner nachrechnet" meint "Die ganze Geschichte der Zahl habe ich verfolgt es wurde immer um den Rauminhalt des Kreises gestritten" meint Wah *Name und Ort geändert Kurhessische Landeszeitung Kassel

2 Skript01p.nb Eine sensationelle Veröffentlichung des K.f.d.K. Landesleitung Kurhessen: Quadratur des Kreises entdeckt Ein epochales Forschungsergebnis von unschätzbarer Bedeutung - Der Musikforscher Willi Oberle Kassel löst ein Jahrh Durch die "Kurhessische Landeszeitung" gibt der Landesleiter des Kampfbundes für deutsche Kultur Max Köhler der Öffe "Dem Musikforscher Willi Oberle in Kassel-Niederzwehren früher in Baden-Baden Mitarbeiter des Kampfbundes für deut Der Weg zur Lösung Daß in seinen Konstruktionen die Quadratur des Kreises verborgen sein könne vermutete Oberle schon seit 197. Die vie Mit größter Intensität widmete sich dann Oberle der Aufgabe das Problem aus seinen Konstruktionen aufzudecken. Daß e Wir beschränken uns hier zunächst auf die Verkündigung der gefundenen Grundresultate: "Der absolute Inhalt eines jeden Kreises ist gleich dem Quadrat über der Hypothenuse des rechtwinckligen Dreiecks dess Forschungserfolg von unaussprechlicher Bedeutung Die Bedeutung der Entdeckung der Quadratur des Kreises läßt sich erst daran ermessen daß sich die Menschheit seit Ja 1. Näherungsweise Berechnung von Π (-87 (?) - -1 ) Archimedes' Approximation of Pi Approximation des Kreises durch reguläre Polygone nach Archimedes (-87 (?) - -1) ARCHIMEDES approximierte einen Kreis von innen und außen erst durch ein 6-Eck dann durch je ein 1-Eck und 96-Eck. Der Umfang des einbeschriebenen 6-Ecks ist beim Einheitskreis (also dem Kreis mit Radius eins) 6. Damit ist 3 die erste Näherung von (wie auch in der Bibel: 1. Könige 7. 3). ARCHIMEDES verdoppelte bei jedem Schritt die Anzahl der Ecken der Polygone bzw. halbierte die Winkel. Wenn Sie eine Näherung kennen können Sie verstehen wie die nächste berechnet wird.

3 Skript01p.nb 3 Sei also n eine schon berechnete Seitenlänge eines einbeschriebenen n-ecks. s n s n 1 s n Mit PYTHAGORAS folgt (grünes Dreieck) Σ n und damit (blaues Dreieck) s n = s n + 1 Σ n = s n s n = s n s n + 1 s n = 1 s n d.h. (1) s n = 4 s n.

4 4 Skript01p.nb Sie rechnen leichach daß gilt 4 s n 4 s n = s n. Also ist auch () s n s n 4 s n eine Formel die bei manchen numerischen Rechnungen zweckmäßiger ist. E n := n s n ergibt eine Näherung für den Umfang des Kreises also Π. Für den Umfang des n-ecks ergibt sich (3) E n := n s n = n 4 s n = = n s n = E n. 4 s n 4 s n Nun ist 4 s n < 4 = also 4 s n < = d.h. (4) E n = E n 4 s n > E n was anschaulich ja auch einsichtig ist. Ähnliche Überlegungen lassen die Berechnung der Umfänge der umbeschriebenen Polygone zu. Der Umfang des umbeschriebenen 6-Ecks ist 4 3. Sei nun n eine schon berechnete Seitenlänge eines umbeschriebenen n-ecks.

5 Skript01p.nb 5 1 Wieder folgt bei einer Halbierung des Winkels mit PYTHAGORAS (grünes Dreieck) 1 Τ n = 1 + d.h. Τ n = 1 1 und damit (blaues Dreieck und weiße Dreiecke) (5) t n = t n + Τ = t n Für die folgende Zwischenrechnung seien a := und x := t n gesetzt. Damit ergibt sich für (5) a x = x + 1 a 1 und diese Gleichung isach x aufzulösen. Es folgt a a x x = x 1 a 1 a 1 a x = 1 a x = tn 1 = 4 4 also t n = 4 4 was sich wie oben zu

6 6 Skript01p.nb (6) t n = umrechnen läßt. 4 Der Umfang U n des umschriebenen n-ecks ist gleich n d.h. U n = n t n = also (7) U n < U n. 4 n 4 = 4 U n 4 < 4 4 U n Auch dieses ist anschaulich klar.mit den Rekursionsformeln (1) und (6) ergibt sich die folgende Tabelle n E n E n. U n Im Folgenden sei M := { m m = } und n M. Das Verhältnis von U n zu E n läßt sich mit Hilfe folgender Figur und des Strahlensatzes berechnen: 1 r n s n

7 Skript01p.nb 7 Wie oben folgt Ρ n und damit ( 9 ) = s n 4 s n. Dies ergibt mit U n = n und E n = n s n (10) U n = E n 4 s n und daraus folgt (11) n < n. bzw. E n = U n 4 s n Die letzte Ungleichung ist anschaulich wieder trivial doch die Gleichungen (10) helfen um die Differenz (locker) abzuschätzen: U n E n U n E n = U n E n = E n da 4 s n 3 und damit folgt ( 1 ) U n E n 4 4 s n E n s n E n s n E n s n 3 U n E n 3 E n 6 1 = E n 4 4 s n s = E n 4 s n n U n s n 6 Weiterhin folgt aus den vorigen Bemerkungen 4 3 = U 6 U n E n = n s n und damit s n < 4 3 n also gilt bzw. s n < 48 n ; (13) U n E n < = 3 3 n < 64 n. U 6 s n 6 = Mit dieser Abschätzung werden wir uns später noch beschäftigen. s n E n 4 s 3 n s n = 3 s n. In dem Buch von Hischer/Scheid steht auf Seite XXX bzgl. der Rekursionsformeln zu E n und U n : Rechnet man mit einem achtstelligen Taschenrechner dann bleibt der Algorithmus nach dem 13. Schritt bei n = 4576 "stehen" und liefert E 4576 = und U 4576 = so daß man stellengenau Π = erhält. Aufgabe: Rechnen Sie mit Ihrem Taschenrechner bis zum 13. Schritt E n aus und zwar nach den beiden Formeln (1) und (). Schreiben Sie alle von Ihnen berechneten Zwischenwerte in eine Tabelle. Aufgabe: Rechnen Sie mit Ihrem Taschenrechner bis zum 13. Schritt E n aus und zwar nach den beiden Formeln (1) und (). Schreiben Sie alle von Ihnen berechneten Zwischenwerte in eine Tabelle. Zum Schluß dieses Abschnittes die ersten 999 Nachkommastellen von Π :

8 8 Skript01p.nb N Π NumberForm N Π 1000 DigitBlock 3 NumberSeparator " "