Näherungsverfahren zur Berechnung von Pi Umfangberechnung von regelmässigen n-ecken KP-E2 Burhan Yildiz, Carim Dreyfuss, Cedric Kroos, Philipp Lenz

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1 Näherungsverfahren zur Berechnung von Pi Umfangberechnung von regelmässigen n-ecken KP-E2 Burhan Yildiz, Carim Dreyfuss, Cedric Kroos, Philipp Lenz 2009

2 Zusammenfassung Wenn es dich schon immer interessiert hat wie die Kreiszahl Pi berechnet wird, dann wird dich unser Projekt bestimmt interessieren. Wir haben dies mit einem bestimmten Näherungsverfahren bearbeitet. Zu diesem Näherungsverfahren wollen wir allerdings nicht zu viel verraten, nur dass es sich um regelmässige n-ecke und deren Umfänge handelt. Dazu hatten wir 14 Schulstunden Zeit, die wir eigentlich nur im Informatikzimmer verbracht haben. Erstaunlicherweise haben wir bemerkt, dass man dazu eigentlich gar nicht so viele Formeln benutzen muss. Jedoch beinhaltet dieses Projekt so viele Zahlen, dass wir Excel an seine Grenzen gebracht haben. Deshalb konnten wir die ganze Zahl Pi nicht herausfinden, doch näherten wir uns der Zahl Pi sehr. Wenn du dich jetzt mehr dafür interessierst, dann solltest du dir das Projekt genauer anschauen, denn du wirst bestimmt spannende Dinge erfahren die du noch nicht wusstest Seite 2 von 11

3 Inhaltsverzeichnis Aufgabenstellung... 4 Umfangberechnung von regelmässigen n-ecken... 4 Lösungsansätze... 5 Theorieerklärung... 5 Umfang n-eck innen... 5 Umfang n-eck aussen... 6 Berechnungen... 7 Herleitung der Formeln... 7 Berechnungen mit Excel... 8 Darstellung der Ergebnisse... 9 Schlussdiskussion Glossar Quellenverzeichnis Seite 3 von 11

4 Aufgabenstellung Umfangberechnung von regelmässigen n Ecken Beginnen wir unsere Betrachtungen an einem Kreis mit dem Durchmesser 1. Der Umfang dieses Kreises ist gerade Pi. Daher wollen wir zur Bestimmung von Pi versuchen, den Umfang des Kreises zu bestimmen. Wir können nun versuchen, den Umfang des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Dazu verwenden wir ein regelmässiges n-eck, das wir dem Kreis einbeschreiben, so dass die Ecken gerade auf dem Umfang des Kreises liegen. Offensichtlich ist der Umfang des Kreises grösser als der Umfang des n-eckes. Den Fehler, den wir dabei machen, können wir minimieren, wenn wir die Anzahl Ecken des n-eckes erhöhen. Ausserdem können wir dem Kreis auch n-ecke umbeschreiben. Dabei ist der Kreisumfang offensichtlich kleiner als der Umfang des n-eckes. Als Beispiel ist hier ein 6-Eck dem Kreis ein- und umbeschrieben. Der gesuchte Umfang liegt also offenbar zwischen diesen n-eck-umfängen. Bei der Einbeschreibung von n-ecken gilt: U innen < Pi Bei der Umbeschreibung von n-ecken gilt: U aussen > Pi Bauen wir dies zusammen, so erhalten wir: U innen < Pi < U aussen Seite 4 von 11

5 Lösungsansätze Theorieerklärung Umfang n-eck innen Um den Umfang eines n-eckes berechnen zu können, müssen wir zuerst den Umfang eines 6- Ecks berechnen. Wir müssen mit den Winkelfunktionen eine Seite des 6-Ecks berechnen, da die gegebene Form ein rechtwinkliges Dreieck ist. Wir rechnen mit dem Einheitskreis. Den Winkel Alpha (α) finden wir heraus wenn wir 360 durch die Anzahl Ecken (n) und anschliessend durch 2 teilen. Daher nehmen wir direkt 180 und teilen es durch die Anzahl Ecken. Eine Seite des Dreiecks ist durch den Einheitskreis gegeben, nämlich die Hypotenuse H = 0.5. Jetzt können wir die Hälfte der einen Seite berechnen, danach mit 2 und der Anzahl Ecken (n) multiplizieren. Somit erhalten wir folgende Formel: U 180 = H sin 2 n n Seite 5 von 11

6 Umfang n-eck aussen Den Umfang des äusseren n-ecks berechnen wir nach dem gleichen Prinzip, wie beim inneren n-eck. Ausser, dass nicht die Hypotenuse sondern die Ankathete AK = 0.5 gegeben ist. Somit können wir nicht mit dem Sinus, sondern wir müssen mit dem Tangens rechnen. Somit erhalten wir die zweite Formel: U 180 = AK tan 2 n n Seite 6 von 11

7 Berechnungen Herleitung der Formeln Legende: U = Umfang GK = Gegenkathete α = Winkel Alpha in Grad AK = Ankathete H = Hypotenuse n = Anzahl Ecken des Vielecks tan GK AK ( α ) = GK = tan( α ) AK U 360 α = 2 = n 180 n GK sin( α ) = GK = sin( α ) H H 180 = sin H 2 n n U 180 = tan AK 2 n n Seite 7 von 11

8 Berechnungen mit Excel Anzahl Ecken Umfang des inneren n-ecks Umfang des äusseren n-ecks Seite 8 von 11

9 Darstellung der Ergebnisse Seite 9 von 11

10 Schlussdiskussion Nun sind wir am Ende unserer Dokumentation und berichten über unsere Erfahrungen. Wir haben im Grossen und Ganzen unsere Ziele erreicht, und hatten keine grossen Pannen. Mit der Hilfe von Herr Oggenfuss, war es kein Problem die Formel für die Berechnung herzuleiten. Am Anfang waren wir alle nicht wirklich sehr interessiert an der Geschichte, doch mit der Zeit fanden wir alle Spass daran herumzuforschen und zu berechnen. Trotz allem mussten wir erkennen, dass es uns nicht möglich ist, die ganze Zahl Pi herauszufinden. Alleine weil Excel es uns nicht ermöglicht hat, weiter zu berechnen. Das Berechnungsverfahren ist eigentlich relativ einfach und trotzdem erhält man einen grossen Teil der Zahl Pi Seite 10 von 11

11 Glossar KP-E2 N-Eck Sin Tan = Klassenbezeichnung: Konstrukteur, Polymechnaiker, Niveau E, 2. Lehrjahr = Vieleck wobei das n die Anzahl Ecken darstellt = Sinus, Winkelfunktion = Tangens, Winkelfunktion Quellenverzeichnis Michael Hopf, Michael s Blog, URL: Seite 11 von 11