Näherungsverfahren zur Berechnung von PI

Transkript

1 2009 Näherungsverfahren zur Berechnung von PI Patrick Ulmann Thierry Altermat David Heller KP-E

2 2 Inhaltsverzeichnis Tittelblatt... 1 Inhaltsverzeichnis... 2 Zusammenfassung... 3 Aufgabenstellung (Beschreibung des Näherungsverfahren)... 4 Theorieerklärung... 5 Lösungssätze...6 Berechnungen...7 Grafische Darstellung... 8/9 Schlussdiskusion Glossar/ Literatur und Quellenverzeichniss... 11

3 3 Zusammenfassung Interessierst Du dich für unser PI Projekt? Wir drei hatten die Aufgabe durch die Streifenmethode so nah wie möglich an Pi heranzukommen. Dafür hatten wir 14 Lektionen Zeit. Zuerst lasen wir die Instruktionen wie wir das überhaupt Rechnen mussten, wir hatten erkannt dass wir zur Berechnung von PI einen Viertelkreis in A aussen und A innen aufteilen müssen. Danach bekamen wir Hilfe von Herr Oggenfuss um die Formel herzuleiten, weil wir auf diverse Probleme gestossen waren. Anschliessend ging es und wir konnten PI auf 3 Stellen nach dem Komma genau Ausrechnen. Wir machten verschieden Grafiktabellen mit dem Mittelwert um zu sehen wie Nahe wir gekommen waren, diese Tabellen schickten wir wie auch alles gemachte der Homepage- Gruppe. Wenn es dich immer noch interessiert dann schau doch mal rein.

4 4 Aufgabenstellung Bei diesem Näherungsverfahren unterteilt man einen Viertelkreis in viele Streifenpaare, je mehr Streifenpaare man nimmt, desto genauer wird später der Näherungswert zu Pi. Dazu Teilt man die innere Fläche (Graue Flächen) in gleich breite rechteckige Streifen auf, die man nach oben so abschließen, dass sie gerade noch in den Kreis hineinpassen. Auf dieser Weise erhält man innen so wie eine Treppenfläche. Verlängern wir die Streifen nach oben so weit, dass die Rechtecke die Kreisfläche vollständig überdecken, somit erhält man eine äußere Treppenfläche (Fläche Weiß). Wenn man nun von dem Punkt null den Radius (Grüne Linie) auf das am Kreis liegende Ecke des Rechteckes zieht so kann man die Fläche mit Hilfe von Phytagoras ausrechnen. Wenn man alle inneren Flächen Berechnet hat muss man diese nun zu einer gesamt Innenfläche zusammenzählen und dasselbe mit den Äusseren Flächen. Somit kommt man dem PI schon etwas näher, wenn man jetzt noch den Mittelwert von beiden Flächen nimmt so kommt man mit der Streifenmethode das Pi auf drei Stellen genau.

5 5 Theorieerklärung zum Näherungsvefahren von Pi Um an Pi ran zu kommen verwendeten wir das Programm Microsoft Excel. In der ersten Kolonne schrieben wir für die Anzahl der Streifen n hin, dann nummerierten wir von nach unten. In der Zweiten Kolonne also B1 schrieben wir Ai für die Fläche der inneren Streifen dort machten wir noch nichts Weiteres. Von C1 IR1 nummerierten wir noch mal auf 250 dies sind die Streifen. Um die Fläche eines Streifens zu berechnen brauchten wir die Höhe h um dies zu berechnen verwendeten wir den Satz des Pythagoras, das heisst wir zogen den Radius 1 bis zum Punkt wo die Höhe den Bogen erreicht somit hatten wir das rechtwinklige Dreieck (siehe Bild 1). Als wir den Zweiten Streifen berechneten fuhren wir mit dem Radius R1 zur nächsten Ecke, siehe gestrichelte Linie( im Bild 1.) Somit kriegten wir die Formel: R1 2 2 h 1 (1*1/ n) Im Excel gaben wir bei dem ersten Streifen also C2 die Formel wie folgt ein: wurzel 1 ( C1*1/ A2)^2 Wenn man dies eingibt erhält man die Zahl 0 diese zieht man dann bis zur Zahl 250 herunter somit erhält man fast in jeder Spalte ungefähr um die 0,9. Und hiermit machte das Programm schon den erste Fehler er sollte eigentlich immer mit 1 rechnen also immer bei C1 bleiben, aber er ging immer mit also er rechnete mit 0,9. Um diesen Fehler zu beheben mussten wir dieses Zeichen einfügen $. Dieses Zeichen bedeutet stehen bleiben wenn sich das andere bewegt. Somit hiess die neue Formel: wurzel 1 ( C$1*1/ $ A2)^2 Also C1 bleibt stehen wenn sich A bewegt. Nun ziehen wir die Kolonne wieder bis 250 nach unten und gleichzeitig auch 250 nach rechts. Somit bringen wir das Programm Excel zum Anschlag, weil wir nach rechts nur in 250 Streifen einteilen konnten. Nun haben wir aber erst die höhen der Streifen berechnet wir brauchten aber die Fläche. Wir nahmen die Standartformel für Rechtecke: A l * b Und haben diese in Unsere Formel eingefügt und erhielten diese neue Formel: A 2 1/ n* 1 (1*1/ n ) 2 h Bild 1 Rechter Winkel für den Pythagoras

6 6 Somit haben wir diese Formel in Excel wie folgt eingegeben. ( 1/ A 2)* wurzel(1 ( C$1*1/ $ A2)^2) Dan hat das Programm wieder einen Fehler gemacht und wir mussten wieder bei A2 das $ Zeichen einfügen: ( 1/$ A 2)* wurzel(1 ( C$1*1/ $ A2)^2) So nun hatten wir das Ziel erreicht und die Flächen aller Streifen berechnet doch da gab es einen Schönheitsfehler dort wo eigentlich nichts stehen dürfte steht #Zahl! Um diesen Fehler zu beheben mussten wir dem Programm den Befehl geben das wenn die Zahlen die nach rechts gehen also von grösser sind als die Anzahl der Streifen, im Feld nichts stehen darf dies machten wir mit dieser Formel: wenn ( C$1 A$2;'''';(1/$ A2)* wurzel(1 ( C$1*1/ $ A2)^2) Nun kommen wir wieder auf das Ai zurück dort kam jetzt die gesamten Flächen der Streifen hin. Das heisst viermal die Fläche aller Streifen und so sieht die Formel aus: Ai 4 * Ag Weil es ein Kreis ist und wir nur einen Viertelkreis anschauten mussten wir die gesamt Fläche aller Streifen mal vier rechnen. So sah die Formel im Excel aus bei B2: 4* summe ( C1: IR1) Nun konnten wir das wieder nach unten ziehen und somit hatten wir das Ai. Was uns nun aufgefallen war ist das desto mehr Streifen wir hatten umso näher kommen wir an Pi heran. So nun dasselbe Spiel auch noch umgekehrt mit den Streifen ausserhalb des Bogens siehe Bild 2. R1 h Bild 2 Streifen außerhalb des Bogens

7 7 Nachdem wir dasselbe auch mit den Streifen ausserhalb des Bogens gemacht hatten, hatten wir zum Schluss Ai und Aa. Dann nahmen wir den Mittelwert von Ai und Aa und kamen drei Stellen nach dem Komma genau an Pi heran.

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10 10 Schlussdiskussion Wir haben Höhen und Tiefen erlebt bei unserem PI Projekt. Am Anfang wussten wir nicht so richtig was wir machen mussten, aber zum Glück hatten wir Herr Oggenfuss der uns mit seinem Rat zur Seite gestanden ist. Zum Beispiel haben wir Excel an den Anschlag gebracht, weil es nicht mehr als 250 Stellen hatte. Durch unsere Methode konnte PI nur bis drei Stellen nach dem Komma berechnet werden, also nicht gerade genau. Ansonsten hatten wir viel Spass bei diesem Projekt.

11 11 Literatur- und Quellenverzeichnis [1] ActiveVB, kurze Zusammenfassung [2] Wikipedia Glossar Fremdwörter -Instruktionen -KP-E2 Bedeutung So etwas wie eine Anleitung Konstrukteur, Polymechaniker 2.Klasse Niveau E

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