Näherungsverfahren zur Berechnung von Pi Ein- und Umbeschreibung von regelmässigen n-ecken

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1 Näherungsverfahren zur Berechnung von Pi Ein- und Umbeschreibung von regelmässigen n-ecken Erarbeitet von: Klasse: Freitag, den 13. Februar 009 Dominik Tanner KP-E Patrick Zauta Claudio Wilda Oliver Vanoni Seite 1

2 Inhaltsverzeichnis - Zusammenfassung - Theorieerklärungen, Berechnungen - Diagramm / Ergebnisse von n- Eck - Beschreibung des Näherungsverfahren - Schlussdiskussion - Literatur - Glossar - Quellenverzeichnis - Berechnungstabellen Excel Seite

3 Zusammenfassung Näherungsverfahren zur Berechnung der Kreiszahl Pi Ein- und Umschreibung von regelmässigen n-ecken Wir haben die Fläche der inneren regelmässigen n-ecke und der äusseren regelmässigen n-ecke in einer Exeltabelle berechnet und in einer Grafik dargestellt. Wir haben diese Berechnung von 3-Eck bis zu einem Eck gemacht. Man muss den Durchschnitt der inneren und der äusseren Fläche berechnen um an eine Annäherung von Pi zukommen. Je mehr Ecken das regelmässige n-eck hat, desto genauer kommt man an Pi heran. Beispiel: n Fläche innen Fläche aussen Lösung: Fläche innen + Fläche aussen = = Seite 3

4 Formelsammlung für Pi-Berechnung bei regelmässigem n-eck Geg: r= 1mm n= Anzahl Ecken Lösung A r 1 R = 1 A n A h g A 360 n h cos() r = 1 h g sin( ) g A n cos( ) sin( ) Seite 4

5 A n cos sin n n Fläche innen + Fläche aussen Beschreibung des Näherungsverfahren Das Näherungsverfahren der Zahl ermitteln wir mit einer Flächenberechnung. Unsere Fläche ist ein Regelmässiges n- Eck (z.b. ein 3- Eck / 6 Eck / 8- Eck / 4- Eck usw.). Je mehr Ecken ein Regelmässiges n- Eck hat, desto mehr ähnelt es einem Kreis. Die Berechnungsformel eines n- Ecks basiert auf einer grundlegenden Formel der Geometrie. Es ist die bekannte Formel für Drei- Ecks Berechnungen. A G h Die Formel für ein regelmässiges n- Eck ist praktisch die Selbe. A G h n Wir beweisen jetzt das ein Unendliches n-eck einen Kreis ist. Literatur der Zahl Pi Schon die Ägypter kannten schon den Wert 56/81= 3, v.chr. Auch die Griechen hatten schon 000 v. Chr. Näherungsverfahren zur Berechnung der Zahl Pi. Archimedes von Syrakus war ein Grieche der sich sein Leben lang mit Mathematik und Physik auseinandersetzte (der 87-1 v.chr.). Er entdeckte das gleiche Näherungsverfahren welches unsere Gruppe als Grundlage nutzte um die Zahl Pi zu ermitteln. Er bewies, dass sich der Umfang eines Kreises sich proportional zu seinem Durchmesser verhält. Ebenso verhält sich die Fläche des Kreises proportional zum Quadrat des Seite 5

6 Kreises. Mit der Berechnung von n- Ecks von 3-96 berechnet er obere und untere Schranke für den Kreisumfang. In unserer Gruppe haben wir eine Bildliche Darstellung von diesem Verfahren. Er kam zu der damaligen Zeit äusserst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3+10/70 sein muss, jedoch grösser als 3+10/71: Glossar n-eck = Vieleck Exeltabelle = Tabelle im Programm Microsoft Grafik = Darstellung Schlussdiskussion Am Anfang, am bekamen wir die gesamte Einführung von Herr Oggenfuss übermittelt. Danach teilten wir uns in die einzelnen Gruppen auf und konnten zwischen den verschiedenen Verfahren auswählen, welches wir bearbeiten und vorstellen wollten. Am ging es dann los, mit dem ersten Tag an dem wir uns wirklich mit der Kreiszahl Pi befassten. Als wir angefangen haben zu arbeiten, hatten wir viele Probleme um alleine nur die Formel zu finden, deshalb gab es auch ein paar wenige Spannungen in der Gruppe. Woche 3, am , wir haben einen neuen Mitschüler aus der BM- Klasse bekommen und dieser kommt ausgerechnet zu uns. Wir mussten ihn erstmal mit allem bekannt machen, was wir genau machen mussten, was auch Zeitverluste einbrachte. Am selben Tag war auch der Fototermin für das Klassenfoto und Gruppenfoto statt. Langsam fängt es dann auch an zu laufen und wir konnten endlich die Formeln benutzen und in die Exeltabelle einfügen. In der 4.Woche, am , haben wir unsere Formelsammlung ausgereift. Jedoch gab es immer noch einige Spannungen zwischen Seite 6

7 einzelnen Personen, dank Uneinigkeiten. Dies gab leider wieder Verzögerungen. Es läuft aber trotzdem alles besser, es gibt zwar manchmal auch noch Probleme mit den Programmen, da nicht alle mit der neuen Microsoft Version vertraut sind, dennoch kommt die Sache langsam aber sicher ins Rollen. Am in der 5.Woche hatten wir dann bereits die ersten Arbeiten abgeschlossen. Die weiteren arbeiten liefen weiter. Mit Woche 6 geht es langsam gegen das Ende zu, so mussten wir am Hart weiter arbeiten, damit nicht alles perfekt lief war ein Mitglied unserer Gruppe abwesend und keiner wusste irgendetwas davon. Er hatte zudem auch noch die gesamte Formelsammlung bei sich. Zweitletzter Termin am in der 7. Woche. Vorausgesehen war ein Mitglied wegen dem Militär abwesend, doch zu unserem Schrecken waren noch zwei weitere krank. Somit musste also jemand alleine an allem weiter arbeiten. Dieser informiert danach die anderen darüber, was er gemacht hat und was noch zu tun gewesen ist. Nach den Sportferien am Freitag den , der 7. Woche und dem letzten Termin für die Bearbeitung. Wir arbeiten alle so fleissig wie es geht und kommen gut voran. Schlussendlich sind wir fast fertig geworden, nur ein paar einzelne Arbeiten mussten zuhause gemacht werden und dann haben wir es endlich geschafft. Dominik Tanner: Patrick Zauta: Claudio Wilda: Oliver Vanoni: Quellenverzeichniss: -Wikipedia Seite 7