Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine Zufallszahl? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausbli.

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1 Die Kreiszahl π Svenja Kapitzke Mathematisches Proseminar: Implementierung mathematischer Algorithmen

2 Gliederung 1 Geometrische Herleitung nach Archimedes 2 Monte-Carlo-Methode 3 Ist π eine Zufallszahl? 4 Borwein-Algorithmus 5 Fazit und Ausblick

3 Geometrische Definitionen Umfang Kreis: Flächeninhalt Kreis: Oberfläche Kugel: Volumen Kugel: U = 2 π r A = π r 2 O = 4π r 2 V = 4 3 π r 3

4 Pi geometrisch ermitteln nach Archimedes Abbildung : Annäherung von π mittels Vielecken [1]

5 Geometrische Annäherung nach Archimedes Herleitung 1: Sechseck Beispiel: Umfang, inneres Sechseck U Sechseck = 6r U Kreis U Sechseck 2πr 6r π = 6 2 = 3

6 Geometrische Annäherung nach Archimedes Herleitung 2: Vom Sechseck zum Zwölfeck Beispiel: Umfang, inneres 12-Eck ( r ) 2 s 2 = + x 2 2 (1) ( r ) 2 x = r r 2 2 (2) s = ( ( ) r ) r r 2 r 2 (3) 4 U Kreis U Zwoelfeck 2πr 12s Man erhält: π =3.106

7 Geometrische Annäherung nach Archimedes Herleitung 3: Vom Zwölfeck zum Polygon Zwölfeck: s = ( ( r ) 2 + r r 2 2 r 2 4 ) 2 Polygon (Ecken verdoppeln sich jedes Mal): ( s n+1 = sn r r 2 s2 n 4 ) 2

8 o.b.d.a. r=1, da π nicht von r abhängt: ( ) 2 s n+1 = sn s2 n (4) 4 Ein Vieleck mit der Kantenlänge s n hat 6 2 n Ecken (n=0 entspricht Sechseck, n=1 entspricht Zwölfeck...) U Kreis = U Vieleck 2π = 6 2 n s2 n s2 n π = 3 2 n s2 n s2 n (5)

9 Geometrische Herleitung nach Archimedes Implementierung - Matlab-Programmcode rekursiv rekursiv: function e r g e b n i s=s e i t e n l a e n g e ( n ) i f n==0 e r g e b n i s =1; end i f n>0 a l t=s e i t e n l a e n g e ( n 1) ; e r g e b n i s=s q r t ( ( ( a l t ˆ2) / 4. 0 )+ (1 s q r t (1 ( a l t ˆ 2 / 4. 0 ) ) ) ˆ2) ; end PI=S e i t e n l a e n g e ( n ) 3 2ˆ n

10 Geometrische Herleitung nach Archimedes Implementierung - Matlab-Programmcode mit Schleife Iterativ mit Schleife: function e r g e b n i s=s e i t e n l a e n g e ( n ) e r g e b n i s =1; while ( n>0) e r g e b n i s = s q r t ( ( ( e r g e b n i s ˆ2)/4.0)+ (1 s q r t (1 ( e r g e b n i s ˆ 2 / 4. 0 ) ) ) ˆ 2 ) ; n=n 1; end PI=S e i t e n l a e n g e ( n ) 3 2ˆ n

11 Geometrische Herleitung nach Archimedes Implementierung - Ergebnis Legende rote Ziffern falsch schwarze Ziffern richtig

12 Geometrische Annäherung nach Archimedes Eine der ersten Annäherungen an π Inneres Sechseck entspricht unterer Schranke von π, Äußeres Sechseck entspricht oberer Schranke von π Geht mit Flächeninhalt oder Umfang

13 Geometrische Annäherung nach Archimedes historische Ergebnisse Historisch erzielte Ergebnisse mit dieser Methode: 1. König Salomo (ca. 800 v. Chr.): π = 3 2. Archimedes (ca 250 v. Chr.): 3, 1071 < π < 3, Ludolf van Ceulen (ca n. Chr.): π = 3, , 36 Dezimalen Ludolphsche Zahl

14 Pi in der Bibel 1. Buch der Könige, Kapitel 7, 23.26: König Salomo gibt ein Meer in Auftrag: Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum anderen zehn Ellen weit und fünf Ellen hoch, und eine Schnur von dreißig Ellen war das Maß ringsherum.... und es gingen zweitausend Eimer hinein.

15 Geometrische Annäherung nach Archimedes historische Ergebnisse Historisch erzielte Ergebnisse mit dieser Methode: 1. König Salomo (ca. 800 v. Chr.): π = 3 2. Archimedes (ca 250 v. Chr.): 3, 1071 < π < 3, Ludolph van Ceulen (ca n. Chr.): π = 3, , 36 Dezimalen Ludolphsche Zahl

16 Monte-Carlo-Methode Grundprinzip Methode beruht auf Wahrscheinlichkeiten Generierung zufällige Punkte innerhalb eines Quadrats Ermitteln, wie viele Punkte im Kreis liegen mittels Kreisgleichung nach Pythagoras x 2 + y 2 <= r 2 Radius des Kreises entspricht Seitenlänge des Quadrats

17 Herleitung Monte-Carlo-Methode Punkte in Viertelkreis generierte Punkte im Quadrat = Viertelkreisfläche = Quadratfläche 1 4 π r 2 r 2 = π 4

18 Monte-Carlo-Methode Implementierung Anstatt Zufallszahlen habe ich die Nachkommastellen von π in Päckchen aufgeteilt Bspl: 2-er Päckchen: Koordinaten eines Punktes (05 78), Radius=99 Punkte zählen: i f ( x x+y y<=r a d i u s r a d i u s ) { z a e h l e r i n k r e i s ++; } e l s e { z a e h l e r n i c h t i n k r e i s ++; } Punkte zeichnen: i f ( x x+y y<=r a d i u s r a d i u s ) { cout<< x <<e n d l ; } e l s e { cout<<. <<e n d l ; }

19 Monte-Carlo-Methode optisches Ergebnis

20 Monte-Carlo-Methode rechnerische Lösung Zeitliches Limit erreicht Untersuchung zeigt: Verarbeitung des pi-strings in einem Vektor zu zeitaufwendig Zufallszahlen schneller zu verarbeiten als die Nachkommazahlen von pi

21 f o r ( i =1: a n z a h l p u n k t e 1) x=z u f a l l s z a h l e n ( i ) ; y=z u f a l l s z a h l e n ( i +1); i f ( ( x x+y y)<= r a d i u s r a d i u s ) z a e h l e r i n k r e i s=z a e h l e r i n k r e i s +1; end z a e h l e r=z a e h l e r +1; i=i +2; end Pi=z a e h l e r i n k r e i s / z a e h l e r 4 ; Monte-Carlo-Methode rechnerische Lösung 2 r a d i u s =10000 z a e h l e r i n k r e i s =0; z a e h l e r =0; Z u f a l l s z a h l e n=r a n d i ( r a d i u s, 1, a n z a h l p u n k t e ) ;

22 Monte-Carlo-Methode rechnerische Lösung 2 - Ergebnis Legende rote Ziffern falsch schwarze Ziffern richtig

23 Ist π eine Zufallszahl? Zahlenuniversum Definition: Zahlenuniversum In einer unendlichen Folge zufällig ausgewählter Ziffern kommt jede beliebige endliche Folge vor, wenn jede Ziffer mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann. Diese Folgen nennt man Folgenuniversum. Die reellen Zahlen, deren Dezimalenfolge ein Folgenuniversum ist, heißen Zahlenuniversum zur Basis 10 (auf jede Basis anwendbar). [5]

24 Ist π eine Zufallszahl? Zahlenuniversum Beispiele: Zahlenuniversum Champernownesche Zahl: 0, Zahlenuniversum zur Basis 10 Jede Folge s, die nicht mit 0 anfängt, kommt vor, wenn sie an der Reihe ist. Jede Folge s, die mit 0 anfängt, kommt vor, wenn 1s an der Reihe ist. Auch die Zahl 0, (die Potenzen von 2 zur Basis 10 aneinandergefügt) ist ein Zahlenuniversum zur Basis 10. [5]

25 David Gawen Champernowne ( ) Englischer Ökonom und Mathematiker Schrieb Arbeit über Champernownesche Zahl während seines Bachelor-Studiums Entwickelte einen der ersten Schachcomputer mit

26 Ist π eine Zufallszahl? Zahlenuniversum Viele Verfahren zur Konstruktion von Zahlenuniversen Es gibt überabzählbar viele Zahlenuniversen Je länger die gesuchte Zahlenfolge, desto größer der Bereich, in dem sie wahrscheinlich zu finden ist Noch nicht bekannt, ob π ein Zahlenuniversum ist.

27 Ist π eine Zufallszahl? gleichverteilte Zahlen Definition: gleichverteilte Folge Zieht man zufällige Ziffern zur Basis b mit gleicher Wahrscheinlichkeit, dann ist die Häufigkeit jeder Ziffer nach dem Gesetz der großen Zahlen 1/b. Eine solche Folge heißt gleichverteilt. [5]

28 Definition: Normal zur Basis b Eine reelle Zahl heißt normal zur Basis b, wenn gilt: Die Häufigkeit von Ziffernfolgen beliebiger Länge ist gleichverteilt. Eine zur Basis b normale Zahl ist gleichverteilt zur Basis b n für jedes beliebige n. [5] Beispiel: Normal zur Basis 10 Bei einer zur Basis 10 normalen Zahl geht die Häufigkeit von 23 unter den Dezimalstellen gegen 1/100, von 345 gegen 1/1000, etc.

29 Gleichverteilt impliziert nicht normal Eine zur Basis b gleichverteilte Zahl ist nicht zwingend zu dieser Basis normal. Eine gleichverteilte Zahl kann rational sein, eine normale Zahl ist zwingend irrational. Wäre sie rational, hätte sie eine Periode mit der Länge p und Folgen der Länge p wären nicht gleichverteilt. [5] Beispiel 1/3 = 0, ist gleichverteilt zur Basis 2 und rational, aber nicht normal zur Basis 2. [5]

30 Definition: Normalität Eine Zahl heißt normal, wenn sie normal zu allen Basen ist. [5] Beispiel: Normalität [5] Die Champernownesche Zahl ist normal zur Basis 10 Noch nicht bewiesen, dass sie normal zu allen Basen ist Eine Zahl kann normal zu einer Basis sein, auch wenn sie geordnet ist Eine normale Zahl muss nicht zwingend eine Zufallszahl sein

31 Ist π eine Zufallszahl? π scheint zu allen Basen gleichverteilt zu sein Die Mehrheit der Mathematiker glaubt, π sei normal Bewiesen ist nicht einmal, dass π gleichverteilt zur Basis 10 ist Da es effiziente Techniken zur Identifikation der Dezimalen von pi gibt, sollte π in der Kryptographie nicht als Zufallsgenerator verwendet werden

32 Ist π eine Zufallszahl? i n t count ( s t r i n g s, s t r i n g g e s u c h t ) { i n t z a e h l e r =0; i n t pos =0; while ( s. f i n d ( gesucht, pos )!= 1) { z a e h l e r ++; pos=s. f i n d ( gesucht, pos )+1; } return z a e h l e r ; }

33 Ist π eine Zufallszahl? Ergebnis der C++-Implementierung Unter der ersten Million Ziffern von pi:

34 Random Walk x-chromosom Random Walk: Visualisierung einer Zahlenfolge Basiswechsel der Zahl zur Basis 4 0 heißt ein Kästchen nach rechts, 1 eins nach oben, 2 eins nach links und 3 eins nach unten. Farbverlauf: rot, orange, grün, blau, violett, rot.

35 Random Walk 100 Milliarden Stellen von Pi

36 Borwein Brueder Peter Borwein, geb. Okt 1953 in Schottland (links) Jonathan Borwein, geb. Mai 1951 in Schottland (rechts) Zwei der berühmtesten Vertreter der experimentellen Mathematik Entwickler sehr effizienter Algorithmen für pi

37 Borwein Algorithmus Matlab-Programmcode A= s q r t (5)+384 s q r t ( 5 ) ( s q r t ( 5 ) ) ˆ ( 1 / 2 ) ; B= s q r t ( 5 ) s q r t (3110) ( s q r t ( 5 ) ) ˆ ( 1 / 2 ) ; C= s q r t ( 5 ) 1296 s q r t ( 5) ( s q r t ( 5 ) ) ˆ ( 1 / 2 ) ;

38 summe=0; C 3 π = i=0 (6i)! A + ib (3i)!(i!) 3 C 3i f o r i =0:1: s c h r i t t e summe = summe + ( F a k u l t a e t (6 i ) /( F a k u l t a e t (3 i ) ( F a k u l t a e t ( i ) ) ˆ 3 ) ) (A+i B) / (Cˆ(3 i ) ) ; end e r g e b n i s=s q r t ( Cˆ3)/summe ; Sehr effizient: jeder Summand erzeugt ca. 50 neue Stellen von π

39 Borwein-Algorithmus Ergebnis der Matlab-Implementierung Ergebnis Borwein-Algorithmus: Die ersten Ziffern

40 BBP-Formel Entwickelt von Simon Plouffe, Peter Borwein und David Harold Bailey Mit einem von der Formel abgeleiteten Algorithmus ist jede beliebige Nachkommastelle von π bestimmbar, ohne die vorherigen Nachkommastelllen zu kennen Aber: funktioniert nur im 2er- oder Hexadezimalsystem oder in einem System zur Basis 2 b, b N Bisherige Versuche, die Formel ins 10er-System zu übertragen, sind gescheitert ( 1 4 π = 16 k 8k k k ) 8k + 6 k=0

41 Fazit und Ausblick Nachkommastellenrekorde Teil 1 William Sharks 1853: Reihenentwicklung von arctan 1/5 u. arctan 1/239 Berechnete 707 Dezimalen per Hand 1945 wurde entdeckt, dass die letzten 180 falsch waren

42 Fazit und Ausblick Nachkommastellenrekorde Teil 2 Abbildung : Yasumasa Kanada, geb. 1954, japanischer Informatiker und theoretischer Physiker

43 Fazit und Ausblick Nachkommastellenrekorde Teil 3 Fabrice Bellard berechnete 2010 mit einen herkömmlichem Desktop-Computer und einem eigens geschriebenen Programm 2,7 Trillionen Nachkommastellen. Er benötigte 131 Tage Berechnungszeit und mehr als ein Terabyte Speicherplatz.

44 Quellenverzeichnis Zwischenspiel mit Pi, Vortrag von Gerhard Aulenbacher ( , 16:43) Delahaye, Jean-Paul:Pi-die Story, aus dem Französischen von Manfred Stern.-Basel;Boston;Berlin:Birkhäuser, 1999 Originaltitel: Le fascinant nombre π, ISBN: algorithm ( , 15:29)

45 Quellenverzeichnis 2 s algorithm Jörg Arndt und Christoph Haenel: Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer Verlag Berlin Heidelberg 1998

46 Quellenverzeichnis 3 G. Champernowne( ) Die Bibel