Pi über den Kreisumfang berechnen

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1 Pi über den Kreisumfang berechnen Die Babylonier wussten schon vor über 4000 Jahren, dass das Verhältnis von Kreisumfang zum Durchmesser konstant sein muss. Tatsächlich beschreibt die Zahl das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Es gilt: π= Umfang Durchmesser Doch woher weiß man, dass konstant ist? Um diese Frage zu beantworten, werden zwei unterschiedlich große, konzentrische Kreise betrachtet. In beide Kreise werden Sechsecke so gelegt, dass die Umfänge von Kreis und Sechseck sich berühren. Es gilt ferner: r 1 ist der Radius des kleineren Kreises, r 2 der Radius des größeren Kreises. L 1 ist die Länge einer Seite des kleineren Sechsecks und L 2 die Länge einer Seite des größeren. Mit dem Strahlensatz kann gezeigt werden, dass das Verhältnis L 2 /r 2 gleich dem Verhältnis L 1 /r 1 ist. Wenn man die Längen L 1 und L 2 mit der Anzahl der Seiten multipliziert, erhält man die Umfänge U 1 und U 2. Daraus folgt: U 1 r 1 = U 2 r 2. Abbildung 1 - Pi ist konstant Die Eckenzahl der Sechsecke wird nun beliebig, jedoch bei beiden Vielecken gleich, erhöht. Auch bei den neu konstruierten Vielecken kann mit dem Strahlensatz gezeigt werden, dass die Verhältnisse der beiden Umfänge zu den Radien konstant bleiben. Je mehr Ecken das Vieleck hat, umso ähnlicher wird es dem Kreis. Im Grenzübergang wird deutlich, dass das Verhältnis von Umfang zum Radius auch beim Kreis konstant ist. Die Methode von Archimedes Das Bestreben der Menschen war, dem Phänomen auf die Spur zu kommen. Man wollte nicht nur wissen, dass es eine konstante Zahl gibt, die 3 plus ein bisschen beträgt, sondern man wollte sie berechnen können. Der erste, der ein Verfahren zur systematischen Berechnung von entwickelte, war Archimedes. Seite 1

2 Archimedes hat wahrscheinlich in der Zeit von 287 bis 212 v. Chr. gelebt. Er war Sohn des Astronomen Pheidias und lebte in seiner Heimatstadt Syrakus. Zahlreiche Legenden ranken sich um ihn. Er soll während eines Bades das physikalische Gesetz des Auftriebs entdeckt haben, vor Freude nackt durch die Straßen gerannt sein und dabei Heureka gerufen haben. Weitere bekannte Entdeckungen, die ihm zugeschrieben werden, sind der Hebel sowie der Flaschenzug. Unser gesamtes Wissen über Zylinder, Kegel und Kreis geht auf Archimedes zurück. Er leitete seine Erkenntnisse nicht nur deduktiv aus den Axiomen ab, sondern bewies seine Beobachtung und gab darauf aufbauend allgemeingültige Regeln an. Diese Mischung aus induktivem und deduktivem Verfahren ist in unserer Erkenntnislehre heute noch vorherrschend. Sein Beitrag zur -Forschung war so relevant, dass seine Ideen beinahe 2000 Jahre lang in ähnlicher oder abgewandelter Form verwendet wurden. Prinzip: Archimedes legte ein Sechseck in einen Einheitskreis und eines außen herum. Er berechnete die Umfänge der beiden Sechsecke und konnte hieraus zwei Werte für ableiten. Danach verdoppelte er die Zahl der Ecken, so dass zwei Zwölfecke entstanden. Aus deren Umfängen ließen sich wieder zwei Näherungswerte für berechnen. Je größer die Zahl der Ecken wird, umso näher rücken die obere und die untere Grenze für zusammen. Daraus folgt: lim U n Eck =U Kreis =2 π n Abbildung 2 - Prinzip von Archimedes Wie wird diese Methode konkret umgesetzt? Als Ausgangsbasiahm Archimedes Sechsecke, die er so in einen Kreis einschrieb, dass die Eckpunkte auf der Kreislinie lagen. Da konstant ist für beliebige Radien, ist es erlaubt, nur den Einheitskreis (Radius = 1) zu betrachten. Die eingeschriebenen Sechsecke lassen sich in sechs gleichseitige Dreiecke zerlegen. Für die einzelnen Seiten gilt daher: =s 6 =r=1 Abbildung 3 - Archimedes (ein Teildreieck) Der Umfang des inneren Sechsecks beträgt 6 1=6. Beim Einheitskreis entspricht wegen U =2 π r=2 π 1 π= U 2 der halbe Umfang genau. Seite 2

3 Hier also: 6=2 π r=2 π π= 6 2 =3. Die untere Grenze für ist folglich 3. In gleichseitigen Dreiecken gilt: die Höhe des Dreiecks fällt mit der Mittelsenkrechten zusammen und beträgt h n = r 2 ( Beim Einheitskreis gilt also unter den gegebenen Voraussetzungen: Die Höhe eines einzelnen Dreiecks beträgt: h n= 1 ( 1 2) 2 = 3 4 Folgend wird die Eckenzahl verdoppelt. Die Höhe h 6 (= h n ) wird um die Strecke b bis zur Kreislinie verlängert. Der Schnittpunkt mit dieser ist eine Ecke des Zwölfecks. Der Punkt P ist eine weitere Ecke des Zwölfecks. Die Strecke zwischen diesen beiden Linien ist eine Seite des Zwölfecks, s 2n. Aus der nachstehenden Grafik sieht man, dass die Zwölfecklinie mit der halben Sechseckseite und b ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Abbildung 4 - Vom Sechseck zum Zwölfeck Die Zwölfeckseite lässt sich also nach der Formel berechnen: (s 2 n ) 2 =( +b 2 Die Strecke b ist die Differenz von Radius minus h n. Daraus folgt: ( s 2 n ) 2 =( +(r h n ) 2 Die hintere Potenz kann aufgelöst werden: ( s 2 n ) 2 =( +r 2 2 r h n +h n 2 h n wurde oben schon mit dem Satz des Pythagoras berechnet: Seite 3

4 = h r 2 n ( Es ergibt sich also: ( s 2 n ) 2 =( +r 2 2 r h n +r 2 ( Vereinfacht: ( s 2 n ) 2 =2 r 2 2 r h n =2 r 2 2 r r2 ( =2 r 2 r 4 r 2 s n 2 Für beliebige Radien gilt: s 2n = 2 r 2 r 4 r 2 s n 2 Für den Einheitskreis gilt: s 2n= Mit dieser Formel lassen sich nicht nur der Übergang vom Sechseck zum Zwölfeck beschreiben, sondern auch weitere Vervielfachungen: der Übergang vom Zwölfeck zum Vierundzwanzigeck usw. ist jeweils die vorherige Seitenlänge. Die Seiten des außen liegenden Vielecks sind parallel zu denen des innen liegenden. Die Grafik verdeutlicht dies. Die äußere Sechseckseite S n berührt den Kreis im Schnittpunkt mit der verlängerten Mittelsenkrechten des innen liegenden Dreiecks. Nach den Regeln des Strahlensatzes sieht man: die halbe Seite des außen liegenden Sechsecks steht zum Radius des Kreises im selben Verhältnis wie die halbe Seite des innen liegenden Sechsecks zur Höhe h n. Man kann dieses Verhältniotieren: Abbildung 5 - Die Vielecke außen S n r = ( s r2 n Beim Einheitskreis gilt: S n = 1 ( Seite 4

5 Aus diesen Überlegungen lassen sich folgende gerundeten Werte berechnen: Tabelle 1 - Konvergenz nach der Umfangsmethode Zahl der Ecken untere Grenze für obere Grenze für Mittelwert Betrachtet man die Mittelwerte, findet man, dass diese Berechnungsweise sehr schlecht konvergiert. Man erhält weniger als eine korrekte Dezimalstelle pro Rechenschritt. Die vorgestellte Vorgehensweise entspricht nicht genau den Gedanken Archimedes, übernimmt aber dessen grundsätzliche Idee. In seiner Abhandlung Über Kreismessung schreibt er: Das Verhältnis des Umfangs eines jeden Kreises zu seinem Durchmesser ist kleiner als [3+1/7], aber größer als [3+10/71]. Archimedes stand seiner eigenen Methode kritisch gegenüber. Sie führt nicht zu einem Ergebnis, das eindeutig als richtig oder als falsch gewertet werden kann. Man erhält eine Obergrenze und eine Untergrenze für pi. Man weiß also nur, dass der tatsächliche Wert von irgendwo dazwischen liegt. Dieses Ergebnis war für den Geistesarbeiter Archimedeicht übermäßig befriedigend. Er bezeichnete seine Berechnung auch als mechanisch. Tatsächlich konvergieren die Methoden, die auf ihn zurückgehen, nur sehr langsam. Ferner bieten sie eine erhebliche Fehlerquelle. Da jedes Mal rekursiv Vielecke aus dem jeweiligen Vorgänger abgeleitet werden, führt ein Rechenfehler zu zwingend falschen nachfolgenden Ergebnissen. Dennoch übt seine Methode eine sehr große Faszination aus. Im antiken Griechenland war ein dezimales Stellenwertsystem nicht bekannt, so dass es eine große Leistung war, diese Rechnungen überhaupt durchzuführen. Ferner benötigen sie lediglich zwei geometrische Sätze, den Satz des Pythagoras und den Strahlensatz, und im übrigen elementare arithmetische Operationen. Somit besticht sie durch logischen Aufbau und dadurch, dass sie nachvollziehbar sind. Seite 5