Lernzirkel: Grenzprozesse

Transkript

1 Lernzirkel: Grenzprozesse Mit diesem Lernzirkel kannst du verschiedene Grenzprozesse kennenlernen und dein Verständnis solcher Prozesse vertiefen. Bei jeder Station bearbeitest du ein anderes Thema. Dieses Blatt hilft dir bei der Arbeit. In der ersten Spalte der unteren Tabelle sind die Stationen angekreuzt, die du auf jeden Fall bearbeiten solltest (Pflichtstationen). Die anderen Stationen sind ein zusätzliches Angebot (Kürstationen). Reihenfolge der Stationen Du kannst die Stationen in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Stationen abhaken Wenn du eine Station bearbeitet hast, kannst du sie auf diesem Blatt abhaken. So weißt du immer, was du noch bearbeiten musst. Anschließend solltest du deine Lösung kontrollieren. Danach kannst du hinter der Station in der Übersicht das letzte Häkchen machen. Zeitrahmen Natürlich musst du auch die Zeit im Auge behalten. Überlege dir, wie lange du für eine Station einplanen kannst. Am Ende solltest du auf jeden Fall die Pflichtstationen erledigt und deren Themen verstanden haben. Viel Spaß! Pflicht Kür Station Anmerkungen bearbeitet korrigiert Zahlenfolgen was passiert im Unendlichen? Unendliche Summen Kann ich unendlich viele Zahlen addieren? Kopiervorlage S 45 Kopiervorlage S 46 Die Quadratwurzel aus Kopiervorlage S 47 Die Kreiszahl π Wie viele Ecken hat ein Kreis? Kopiervorlage S 48 S 44

2 Lernzirkel: Zahlenfolgen was passiert im Unendlichen? Eine Zahlenfolge besteht aus unendlich vielen, fortlaufend nummerierten Zahlen. Die Reihenfolge der Zahlen darf nicht geändert werden. Man schreibt (a 1, a, a 3, ). Eine Folge lässt sich, ähnlich wie eine Funktion, auch in einem Schaubild darstellen, die Punkte dürfen dabei aber nicht verbunden werden. Die folgenden Kärtchen erklären dir, wie eine Zahlenfolge sich im Unendlichen verhalten kann. Ordne den Erklärungen die passenden Beispiele und die dazugehörigen Schaubilder zu. S 45

3 Lernzirkel: Unendliche Summen Kann ich unendlich viele Zahlen addieren? = Leider kannst du nicht unendlich viele Zahlen in den Taschenrechner eingeben. Trotzdem kannst du herausfinden, ob diese Aussage einen Sinn ergibt! 1 Berechne hierzu die Zwischenergebnisse, wenn du die ersten 4, 5, 6, 10 und 15 Summanden addierst. (Tipp: Wenn du sehr viele Summanden addieren willst musst du beachten, dass dein Taschenrechner nur eine bestimmte Anzahl an Nachkommastellen anzeigt und gegebenenfalls rundet!) Folgende Grafik zeigt die Summenbildung anschaulich. a) Schreibe die ersten 6 Summanden in die zugehörigen Flächen. Ergänze die Grafik falls notwendig. b) Wie verhält sich die verbleibende weiße Fläche, wenn man immer mehr Summanden einzeichnet? c) Was bedeutet das für die Summe? 3 Kannst du im rechten Quadrat eine kleine Fläche einzeichnen, die beim Einzeichnen beliebig vieler Summanden weiß bleibt? 4 Welchem Wert nähert sich die Summe an? 5 Achtung! Nicht alle solche Summen nähern sich einem Wert an. Ein solches Beispiel ist die Summe Teste es, indem du so viele Summanden wie möglich addierst. 4 S 46

4 Lernzirkel: Die Quadratwurzel aus Gesucht ist die Seitenlänge des Quadrats mit dem Flächeninhalt. Wir wissen bereits, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, der genaue Wert ist unbekannt. Diese unbekannte Zahl nennen wir die Quadratwurzel aus und bezeichnen sie mit. Mit dem Heron-Verfahren können wir Rechtecke mit dem Flächeninhalt finden, deren Seitenlängen sich immer weniger unterscheiden und somit die gesuchte Seitenlänge annähern. Wir beginnen mit dem Rechteck mit den Seitenlängen 1 und, denn die gesuchte Zahl liegt zwischen 1 und. 1 Als neue Seitenlänge nehmen wir den Mittelwert der beiden Seitenlängen, also. Damit der Flächeninhalt ist, muss die zweite Seite lang sein. Nun berechnen wir wieder den Mittelwert der beiden Seiten und erhalten eine neue Seitenlänge usw. Führe noch zwei weitere Schritte aus und trage die Werte anschließend in die Tabelle ein. Schritt Intervall Genauigkeit (Intervalllänge) 1 liegt zwischen 1 und 1 = 1 liegt zwischen und = Zeichne noch zwei weitere Rechtecke in die Grafik ein. 4 Erhält man mit diesem Verfahren nach sehr vielen Schritten ein Quadrat? Begründe. 5 Überlege dir, wie man mit dem Heron-Verfahren 3 annähern kann. Bestimme den Wert auf 4 Kommastellen genau. S 47

5 Lernzirkel: Die Kreiszahl π Wie viele Ecken hat ein Kreis? 1 Die Frage nach dem Flächeninhalt des Kreises ist ein sehr altes mathematisches Problem. Schon Archimedes, der etwa 87 v. Chr. geboren wurde, versuchte mit Zirkel und Lineal aus einem Kreis ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren. Ohne Erfolg. Erst 188 konnte durch den Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden, dass dies unmöglich ist. Man kann den Flächeninhalt eines Kreises zunächst näherungsweise bestimmen. Löse hierzu die folgenden Aufgaben: 1 Der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks kann in 5 Dreiecke mit dem Innenwinkel zerlegt 5 werden. Um die Rechnung zu vereinfachen nehmen wir an, dass der Radius r = 1 ist. Berechne zunächst den Flächeninhalt des Dreiecks und zeige dann, dass der Flächeninhalt A 5 des Fünfecks mit folgender Formel berechnet werden kann: A 5 = 5 sin(36 ) cos (36 ). Zeichne in die leeren Kreise ein regelmäßiges 6-, 8- und 1-Eck. Berechne jeweils deren Flächeninhalte A 6, A 8 und A 1. 3 Vergleiche den Flächeninhalt des Vielecks und den des Kreises bei steigender Anzahl von Ecken. 4 Für die Fläche des n-ecks gilt A n = n sin 360 cos 360 n n. Berechne A 180, A 1800 und A Ein Kreis hat natürlich keine Ecken! Manchmal wird jedoch behauptet, ein Kreis hätte unendlich viele Ecken. Erläutere, wie es zu dieser Fehlvorstellung kommen kann. S 48

6 Lösungen Lernzirkel: Grenzprozesse, Seite S 44 Erklärungen zum Ablauf und Stationenübersicht. Lernzirkel: Zahlenfolgen was passiert im Unendlichen?, Seite S 45 Zuordnungen der Kärtchen: 1) Nähert sich eine Zahlenfolge beliebig nah an eine Zahl an, so nennt man diese Zahl den Grenzwert der Folge. ) Hat eine Folge keinen Grenzwert, so sagen wir die Folge ist divergent., 1 1, 1 1 3, 1 1 4,, Grenzwert: 1 (1,, 3, 4, 5, ) 1, 1, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6,, Grenzwert: 0 (1, 1,,, ) 9 10, , , , Grenzwert: 1 1, 1,, 1 3, 3, 1, 4, 4 Zusatzinfo für Interessierte: Diese Folge ist divergent. Ein Teil der Folgenglieder hat einen Grenzwert, aber dazwischen sind immer Ausreißer. Daher spricht man hier vom Grenzwert der Teilfolge, die Folge selbst hat keinen Grenzwert.

7 Lösungen Lernzirkel: Unendliche Summen Kann ich unendliche viele Zahlen addieren?, Seite S = 15 8 = 1, = = 1, = 63 3 = 1, = , = 1, a) b) Die verbleibende weiße Fläche halbiert sich bei jedem Schritt, sie wird beliebig klein. (Wird beim Bruch der Nenner beliebig groß, so wird der Wert des Bruchs beliebig klein.) Die Fläche verschwindet aber nicht. c) Wären beide Quadrate komplett gefüllt, so wäre die Summe exakt. Egal wie viele (endlich viele) Summanden man addiert, die Summe erreicht die nicht. 3 Man kann eine solche Fläche nicht einzeichnen, da die verbleibende weiße Fläche beliebig klein wird, wenn man genügend Schritte einzeichnet. Addiert man immer mehr Summanden, so nähert sich die Summe beliebig nah an die Zahl an. Man ordnet der unendlichen Summe (genannt Reihe ) den Wert zu und schreibt dafür =. 4 Die Summe nähert sich dem Wert 1 3 an. 5 Rechnet man beispielsweise mit einer Tabellenkalkulation (oder von Hand) immer mehr Summanden zusammen, so vermutet man, dass die Werte sich nicht an einen Grenzwert annähern, sondern unbeschränkt sind. Beweisen kann man das allerdings (in der Schule noch) nicht. Lernzirkel: Die Quadratwurzel aus, Seite S 47 1 Als neue Seitenlänge nimmt man den Mittelwert der beiden Seitenlängen, also 3. Damit der Flächeninhalt bleibt, muss die zweite Seite 4 lang sein. 3 Schritt Intervall Genauigkeit (Intervalllänge) 1 liegt zwischen 1 und 1 = 1 liegt zwischen 4 3 und 3 3 liegt zwischen 4 17 und liegt zwischen und = 1, = 1, ,5 1, 3 = 1, 6 Etwa 0,005 Die rechte Spalte gibt an, wie viele Dezimalstellen bereits richtig angenähert sind. Etwa 0,

8 Lösungen 3 Beim Einzeichnen kann man die beiden letzten Rechtecke bereits nicht mehr unterscheiden, da der Fehler kleiner als die Strichbreite ist. 4 Nein, man erhält kein Quadrat, ganz gleich wie viele Schritte man durchführt. Man erhält als Seitenlängen immer rationale Zahlen, die Quadratwurzel aus ist aber irrational. 5 Man geht genau wie bei vor. Nur beginnt man mit 1 und 3 als Seitenlängen. Man erhält als kürzere Rechteckseiten folgende Werte: 1; 1,5; 1,714 85; 1, ; 1, usw. Nach 4 Schritten hat man bereits die gewünschte Genauigkeit: 3 1, Lernzirkel: 4 Die Kreiszahl π Wie viele Ecken hat ein Kreis?, Seite S 48 1 Es gilt: sin(36 ) = a r = a und cos(36 ) = h r = h Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ist A = 1 a h = 1 sin(36 ) cos (36 ) Das Fünfeck setzt sich aus 10 solchen Dreiecken zusammen: A 5 = 5 sin(36 ) cos (36 ),378 A 6 = 6 sin(30 ) cos(30 ),598 A 8 = 8 sin(,5 ) cos(,5 ),89 A 1 = 1 sin(15 ) cos(15 ) 3,000 3 Der Flächeninhalt des Vielecks nähert sich mit steigender Anzahl von Ecken dem Inhalt der Kreisfläche an. 4 A 180 = 180 sin(1 ) cos(1 ) 3, A 1800 = 1800 sin(0,1 ) cos(0,1 ) 3, A = sin(0,01 ) cos(0,01 ) 3, Je mehr Ecken das Vieleck hat, desto mehr nähert sich seine Form der Kreislinie an. Wir können einen Kreis beliebig genau durch ein Vieleck annähern. Aber der Kreis selbst ist kein Vieleck, der Kreis hat keine Ecken.