Grundwissen 9. Klasse. Mathematik

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1 Grundwissen 9. Klasse Mathematik Philipp Kövener I. Reelle Zahlen 1.1 Quadratwurzel Definition Für a 0 ist die Quadratwurzel diejenige nicht-negative Zahl, deren Quadrat a ergibt. a heißt Radikand und darf nicht negativ sein. = a für a, denn 9² = 81, denn 1,2² = 1,44 nicht definiert 1.2 Rechenregeln Produktregel:, für a,b 0 Quotientenregel: und mit b 0 Achtung: und, aber 1

2 1.3 Reelle Zahlen Die Menge der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus der Menge der rationalen Zahlen Q (Bruchzahlen; endliche oder unendlich periodische Dezimalbrüche) und der Menge der irrationalen Zahlen (nicht endliche und nicht periodische Dezimalzahlen) 2 sind z.b. rational, da man endliche und periodische (unendliche) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln kann. oder 1, sind z.b. irrational, da diese in keinen Bruch umgewandelt werden können. Irrationale Quadratwurzeln, wie bestimmt werden. können näherungsweise mit Hilfe von Intervallen liegt im Intervall weil [1; 2] 1² < 2 < 2² [1.4; 1,5] 1,4²< 2 < 1,5² [1,41; 1,42] 1,41² < 2 < 1,42² [1,414; 1,415] 1,414² < 2 < 1,415² 1.4 Binomische Formeln (1.binomische Formel; Plus-Formel ) (2. binomische Formel; Minus-Formel ) (3. binomische Formel; Plus-Minus-Formel ) 1.5 n-te Wurzeln Definition ist für diejenige nicht negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. heißt n-te Wurzel aus a. (n ; n ); denn 5³ = 125 ; existiert nicht 2

3 1.6 Potenzgesetze Potenzgesetze Sind q und p rationale Zahlen und z und y positive reelle Zahlen, so gilt für Potenzen mit gleicher Basis: und für Potenzen mit gleichem Exponenten: und für Potenzen von Potenzen: 1.7 Potenzen mit rationalen Exponenten Definition Für positive Grundzahlen a gilt: und (p, q ) für n, n 1, also 1.8 Rechnen mit Wurzeln Teilweise Radizieren Ziel: Wir wollen die Wurzel auf die einfachste Form bringen. 1. Faktorisieren des Radikanden z.b. 2. Anwendung der Produktregel 3. Ordnen der Zahlen 3

4 1.8.2 Rationalmachen des Nenners Mit Bruchtermen lässt sich häufig leichter rechnen, wenn im Nenner keine Wurzeln auftreten. 1. Der Nenner eines Bruches besteht aus einer Wurzel. Man erweitert mit dieser Wurzel z.b. oder 2. Der Nenner eines Bruches ist eine Summe oder eine Differenz, in der Quadratwurzeln vorkommen. Man nutzt beim Erweitern die 3. binomische Formel/ Plus-Minus-Formel z.b Lösen von Wurzelgleichungen 1. Bringe die Wurzel alleine auf eine Seite 2. Quadriere beide Seiten der Gleichung 3. Löse die Gleichung 4. Überprüfe das Ergebnis Achtung: Probe: Das Einsetzen von 5 führt zu keinem richtigen Ergebnis. Durch das Quadrieren kann sich eine Gleichung ergeben, die eine andere Lösung als die ursprüngliche hat. Daher ist eine Probe unerlässlich. 4

5 VII. Raumgeometrie 7.1 Geraden und Ebenen im Raum Eine Gerade s wird als Senkrechte (Lot) zur Ebene E bezeichnet, wenn sie mit zwei (beliebigen) Geraden g und h dieser Ebene E, die durch den Schnittpunkt F gehen, einen rechten Winkel bildet. Die Länge der Lotstrecke [PF] ist der sogenannte Abstand des Punktes P von der Ebene E. Der Winkel FQP des rechtwinkligen Dreiecks QFP ist der Neigungswinkel einer Geraden g gegen eine Ebene E. Dabei ist Q Schnittpunkt von g mit E, P ein beliebiger Punkt (nicht Q) der Geraden g und F Fußpunkt des Lotes von P auf die Ebene. Schneiden sich zwei Ebenen E1 und E2 in der gemeinsamen Geraden s, so nennt man den spitzen Winkel zwischen zwei Geraden g und h, die in demselben Punkt P auf der Schnittgeraden s senkrecht stehen und in E1 bzw. E2 liegen, den Neigungswinkel zwischen den Ebenen E1 und E2. 5

6 7.2 Schrägbilder von Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel Regeln zur Erstellung eines Schrägbildes: 1. Zur Zeichenebene parallel Strecken erscheinen in wahrer Länge und Richtung 2. Zur Zeichenebene senkrechte Strecken erscheinen unter dem Winkel α (Verzerrungswinkel) gegen die Horizontale geneigt und im gleichen Verhältnis k (Verzerrungsverhältnis) verkürzt oder verlängert 3. Parallelität wird beibehalten Beispiel 1: Beispiel 2: Für Schrägbilder von Zylindern und Kegeln ist es erforderlich, das Schrägbild von Kreisen zu zeichnen. Dazu zeichnet man in einer Hilfsfigur den Kreis in wahrer Größe, markiert Hilfspunkte auf der Kreislinie und trägt Lotstrecken ein. Diese werden dann in das Schrägbild übertragen. 6

7 7.3 Volumen und Oberflächeninhalt Prisma 4-seitiges Prisma Ein Prisma mit G als Grundfläche, h als Höhe und M als Mantelfläche hat ein/en Volumen: V = G h Oberflächeninhalt: O = 2 G + M Zylinder Ist bei einem geraden Zylinder r der Grundkreisradius, h die Höhe und G der Grundflächeninhalt, so gilt für das/den Volumen: V = G h = Inhalt der Mantelfläche: M = 2 Oberflächeninhalt: O = 2 G + M = 7

8 7.3.3 Pyramide 4-seitige Pyramide Besitzt eine Pyramide eine Grundfläche G, eine Mantelfläche M und eine Höhe h, so gilt: Volumen: V = Oberflächeninhalt: O = G + M (M besteht in diesem Beispiel aus den 4 Dreiecken) Kegel Ist bei einem geraden Kegel r der Grundkreisradius, G die Grundfläche, h die Höhe und s die Mantellinie, dann berechnet man Volumen: V = = Inhalt der Mantelfläche: M = Oberflächeninhalt: O = G + M = Darstellungen und weitere Informationen entnommen aus Lambacher Schweizer 9 8

9 Quellenverzeichnis Prof. August Schmid, Prof. Dr. Ingo Weidig: Lambacher Schweizer 9 Mathematik für Gymnasien, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2007 zu I. und VII.: Regeln und Rechnungen angelehnt an: Lambacher Schweizer 9, Seite 8-41, Graphiken und Zeichnungen: Skriptseite Seite Lambacher Schweizer ,7,