Wiederholung der Algebra Klassen 7-10

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1 PKG Oberstufe Wiederholung der Algebra Klassen rr5 4. (a) Kürze so weit wie möglich: 4998 (b) Schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl und als Dezimalbruch: (c) Schreibe das Ergebnis als Bruch: (a) = : 5, 0,5 ( ) 4 : (b) = 6 = 6 66 =,94 (c) = 7 80 ( ) 4 : 7 9 4,4 06cm04. Fasse zusammen! (a) ( 4 ) 7 5 (b) (c) (a) 40 (b) 7 0 (c) 9 07sn00. Berechne folgende Terme: (a) ( ) +( 94)+( 4) (b) ( ) +( 84)+( ) (c) [( 8) : (+)] : ( ) (d) [( 8) : (+4)] : ( ) (e) (f)( x) ( y) + x 7y (a) 4 (b) 0 (c) 7 (d) 8 (e) 5 (f) 7x +0y 07rr Berechne die Definitionsmengen folgender Terme: (a) T (x) = x x + x 7 x 5, G = N (b) T (x) = x x + x 7 x 5, G = Q

2 (c) T (x) = (a) D = N\{} (b) D = Q\ {, 5 } (c) D = Q\ {, 4,} x 7 (x+)(5x 5)(8x+), G = Q 07rr0 5. Berechne die Definitionsmenge D des Terms T(x) = x+4 x 7 T(0), T( ) und T ( ). 07rr007 07rr07 D = Q\ { } 7 4, T(0) = 7, T( ) = 9, T ( ) 6. Berechne die Definitionsmengen folgender Terme: (a) T (x) = 7 x+ x, G = Q (b) T (x) = (c) T (x) = x x, G = Q (a) x+ x = (b) D = N (c) x x = (d) D 4 = {} { x für x > 0 0 für x 0 { 0 für x 0 x für x < 0 = +4 x x+ x, G = Z (d) T 4 (x) = x x x, G 4 = N D = Q + = {x x > 0} D = Q = {x x < 0} 7. Berechne die Definitionsmenge D des Terms T(x) = 5 x x T(0), T( ) und T ( ). D = Q\{ ;}, T(0) = 5 (, T( ) = 6, T ) und die Termwerte = 5 = 45 und die Termwerte = 5+ = 6 5 =, 08in Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung über G = Q: D = Q\{0; }, L = { } x 4x x+ = 0 08in Bestimme jeweils Definitions- und Lösungsmenge: (a) x 4 x x (b) x+ = (c) x 4 = x x x +x x 7 x x x+ = x x

3 (a) D = Q\{}, L = D (b) D = Q\{0; }, L = {} (c) D = Q\{0,5;,5}, L = { 4,5} 08in Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichung: G = Q\{;0}, L = { 5 } x x 9 + x 0 4x x+ 6x = 0, G = Q 08ga0. Löse nach der Variablen a auf: a c ac ab+ac = + a a = b+c b c 08rw0. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q! (I) 5(x+y) (x y) = 6 (II) (x y)+(x+y) = x =, y = 08rw0. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q! (I) (II) x =,4, y = 0,9,5y +0,5 + 0,6 4x = 0 y + 8x+ = 0 08rw04 4. Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems über Q an! (I) x 5 x + y +8 y 5 5y +7 = 0 (II) y + + 5x+6 ( x ) = 0 Beide Gleichungen mit dem Hauptnenner multiplizieren: (I) (y +8)( y 5 +) x y 7 = 0 (II) (y +)( x ) 4x y 9 = 0 Das Gleichungssystem (I ) x y 7 = 0 und (II ) 4x y 9 = 0 liefert die Lösung x =, y =

4 08rr06 5. Wir suchen eine Kehrwertregel für Ungleichungen: a < b = a? b Experimentiere mit verschiedenen positiven und negativen Zahlen für a und b und schreibe dann die endgültige Regel hin. Achtung: Es gibt drei verschiedene Fälle! Also: < 4 = > 4 4 < = 4 = 4 > = < 4 = = < 4 0 < a < b = a > b a < b < 0 = a > b a < 0 < b = a < b 08rr Warum 0 0 nicht definiert ist Anna bringt folgendes Argument: Daa 0 = fürallea 0schon festgelegt ist, wäre es doch sinnvoll, auch 0 0 = zu definieren. Darauf antwortet Paul: Da 0 n = 0 für alle n N schon festgelegt ist, wäre es doch sinnvoll, auch 0 0 = 0 zu definieren. Zeige, dass beide Definitionen für 0 0 jeweils eines der Potenzgesetze verletzen. Aus Annas Definition 0 0 = folgt: = ( ) = = 0 ( ) 0 Der letzte Term ist aber wegen der Null im Nenner nicht definiert, damit ist das 0 Potenzgesetz an ( a ) n b n = verletzt. b Aus Pauls Definition 0 0 = 0 folgt: 0 = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 0 Der letzte Term 0 0 ist aber wegen der Null im Nenner nicht definiert, damit ist das 0im006 Potenzgesetz a n m = an a m verletzt. 7. Vermischtes zum Thema Wurzeln Ziehe die Wurzeln: (a) 800 (b) 8 (c) 0,8 4

5 (d) 0,008 (e) 5 6 (f) 0, (g) x für x = (h) 5 45 Quelle: mathematik lehren 70 (995) 09ga Welche Gleichung der Form x = a hat als Lösung (a)? (b) 5? (a): x = 4 (b): x = 5 09ga00 9. Schreibe als Quadratwurzel und gib an den Stellen... jeweils an, wann dies möglich ist: ( 0,0; ; a ), falls...; a b, falls...; x, falls...; x x, falls... 0,0004; 6 8 ; a 6, falls a 0; (a b), falls a b; x 6, falls x 0; x 4, falls x 0 09ga Schreibe folgende Terme jeweils als Wurzel, falls dies möglich ist: (a) xz, wobei x,z Q (b) p, wobei p Q (c) yz, wobei y Q +,z Q (d) q p, wobei p,q Q (e) rs, wobei r,s Q (a): x z (b): p 4 (c): y z 4 (d), (e): nicht möglich 09in008. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Gib gegebenenfalls an, was zusätzlich vorausgesetzt werden muß, damit die Aussagen wahr werden. (a) Ist 0 < x < y, so ist x < y (b) Es gilt stets x < x. (c) ( x ) = x (a) wahr (b) nur wahr, falls x > 5

6 (c) nur wahr, falls x 0 09ga00. Zeige, daß die positive Lösung der Gleichung x = eine irrationale Zahl ist. Gehe dazu von der Annahme x = p q dies zu einem Widerspruch. p,q N, p,q teilerfremd, aus und führe 09bo00. Bestimme die Definitionsmenge von: (a) c+4 (b) c (c) ( c) (d) c (a) D = [ 4; [ (b) D = {0} (c) D = R (d) D = R ga07 4. Bestimme die Definitionsmenge des folgenden Terms: x (x 4) D =]0;4[ 09ga Bestimme ausführlich die Definitionsmenge (G = R): 7 (5+x) ( x) D = R\[ 5;] 09bo0 6. Bestimme die Definitionsmenge für den folgenden Term! Grundmenge ist R. Eine Vereinfachung des Terms ist nicht verlangt! 5x x x x + x x + D =]; [\{4} 0im00 7. Wurzelregeln Vergleiche die Terme der linken und rechten Tafelhälfte miteinander. Was vermutest du? 6

7 Vergleiche die Terme der linken und rechten Tafelhälfte miteinander. Was vermutest du? Quelle: Schnittpunkt 9 (995) 0im00 8. Übungen zur Multiplikation und Division von Wurzeln Welcher Film läuft im Kino? (a) 4 6 = 7

8 (b) 96 : = (c) 89 = 4 (d) 675 : = 5 (e) 7 = 9 (f) 80 : 5 = 4 (g) 4 = (h) 50 : = (i) 9 = 46 (j) 96 : 4 = Wenn du richtig gerechnet hast, verraten es dir die Lösungsbuchstaben! Quelle: Schnittpunkt 9 (995) CASABLANCA 09in0 9. Wo liegt der Fehler? Begründe deine Antwort kurz. ( ) 7 = ( ) 7 = 8 ( ) 7 = ( ) 7

9 Deswegen ist =, also = und daher = 09in Für welche x R gilt: (9 x) = ( 9 x) Begründe deine Antwort kurz. L =] ;9] 09ga05. Ziehe unter die Wurzel und gib mit Begründung an, ob das Ergebnis eine rationale Zahl ist! (5+ ) 4+ Q, da sonst Q wäre! 09cm007. (a) Lösung der Gleichung 4 x = 4 über G = R + 0 (b) Diskriminante der Gleichung x 5x+0,5 = 0 (c) (d) = (e) 6!+! Quelle: Kreuzzahlrätsel von Ulrike Schätz (a) 96 (b) (c) 4 (d) 6 (e) 7 09in04. Vereinfache soweit wie möglich, wenn nötig mit Fallunterscheidung. ( 9x ) 9 x 09bo00 4. Vereinfache und radiziere soweit wie möglich: (a) 6x +56x+49 (b) 8c 9

10 (c) 0, ( ) (d) a b 6 c : bc a 4 (e) (a) 4x+7 (b) c (c) 5 7 (d) b 0 4 c ab (e) 9 09ga00 5. Ergänze jeweils den Radikanden um einen Term zu einem vollständigen Quadrat, radiziere dann und stelle das Ergebnis ohne Betrag dar: x4 +x y +... ; 9x +4,5x+... (x,y Q) x 4 +x y +0,5y 4 = x { +0,5y ; x+0,75 für x 0,5 9x +4,5x+0,75 = x 0,75 für x < 0,5 09in04 6. Berechne für x < 0: x x 5 x 09in04 5 ( 4x) 7. Radiziere und vereinfache so weit wie möglich: 4a a 4a+4, (a < 0) a 09in05 8. Vereinfache soweit wie möglich: (x) 8x+8x + 6x ; x < 0 09in00 9. Vereinfache: in Vereinfache und fasse so weit wie möglich zusammen:

11 7 09in04 4. Radiziere und vereinfache soweit wie möglich: 7a +8a b (a+b), a,b > 0 a a+b 09in05 4. Vereinfache soweit wie möglich: 4a (x ) (x (x+) 9) a ; x < a ( x) 09ga Radiziere so weit wie möglich und bestimme jeweils zusätzlich die Bedingungen an die Variablen, damit der Term definiert ist: (a) ( 4) x 4 y 7 z 7 (b) a4 b a 4 b (a) 4 x 7 y z yz, definiert für yz 0 (b) a b b, definiert für b 09ga Radiziere, gegebenenfalls mit Fallunterscheidung: 4x +64 x (x 4) für x 4; (4 x) für x < 4 09ga Gib an, für welche Werte der Variablen die folgenden Wurzelterme definiert sind und radiziere dann so weit wie möglich: x5 y (a +) b (a) z 4 (b) c 8c+6 (a): x y x, z definiert für x 0 und z 0 (b): b c 4 (a +) b, definiert für b 0 und c 4 09ga Radiziere und stelle das Ergebnis ohne Betrag dar: (a) x y 4,x Q

12 (b) 4x 4 +4x + (c) 9x 4 6x y +y (a): xy (b): x + (c): x y, falls x y; x +y, falls x < y 09ga Berechne ausführlich (keine Beträge im Ergebnis!): (a) 0,5x x+ ( x), x Q (b) x 4 + x 4 x +, x Q und x < (a): 0,5x+ (b): 09bo Stelle rationale Nenner her und vereinfache soweit wie möglich: (a) (b) (a) 8 5 (b) 9 09in Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich: bo Stelle einen rationalen Nenner her und vereinfache soweit wie möglich: bo07 5. Stelle einen wurzelfreien Nenner her und vereinfache soweit wie möglich: b a b a a b ab ab 09in Mache den Nenner rational und vereinfache: +

13 0 09bo0 5. Stelle einen wurzelfreien Nenner her und vereinfache: xy +x+y x+ y x x y y x y 09rr0 54. Vereinfache und schreibe das Ergebnis betragsfrei: (a) (x ) x (b) (x ) (x ) (c) (x 4) (x ) (x ) (a) D =],+ [ = x > 0 = (x ) x = x = x { (b) D = R \ {} = (x ) (x ) = x x = sgn(x ) = für x > für x < { (c) D = R \ {} = (x 4) (x ) = (x )(x+) x+ für x > = x x für x < 09rr (a) Bestimme die Definitionsmenge, vereinfache und schreibe das Ergebnis betragsfrei: f(x) = x x (b) Für welche Werte der Variablen ist folgender Term definiert? Radiziere teilweise und schreibe das Ergebnis ohne unnötige Betragsstriche: (c) Schreibe ohne Wurzeln im Nenner: T = 75x 7 y 0 a = (a) D = R, f(x) = x { x 0 für x 0 = x x = x für x < 0 (b) x R + 0, y R, T = 5x x 6 y 0 = 5x y 5 x (c) a = = = ga Bestimme die Lösungsmenge (rationale Nenner herstellen!): ( 5+ 0) : 0,5 = 0 : x L = { }

14 09in0 57. Stelle rationale Nenner her, kürze und fasse zusammen: in Stelle rationale Nenner her und fasse weitmöglichst zusammen: Hauptnenner 6, Ergebnis 09in Gib die Definitionsmenge des Terms an und vereinfache ihn soweit wie möglich: x x + x + x 09in06 D = R + 0 \{4}, Ergebnis x x Gib die Definitionsmenge des Terms an und vereinfache soweit wie möglich: x 9 x+ x x 9 D =]9; + [, Ergebnis x 9 0ma07 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (keine Dezimalbrüche): ( x) 4 = 65 L = { 4 ; } 0ma0 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (keine Dezimalbrüche):,4x 5 = 0,4x 5 L = { 4 } 0in04 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung: 4 x 6 64x = 6 L = {9} 0rr0 64. Formen Sie die linke Gleichungsseite in eine Potenz um, die den gleichen Exponenten hat wie die rechte Seite und berechnen Sie dann die Lösungsmenge! Wenn nötig, sind Fallunterscheidungen vorzunehmen! (a) x 4 = a 6 (b) x 4 = a 8 (c) x = a 4

15 (a) x 4 = a = x 4 = a = L = {± a 4 } (b) x = a = x = ± a = L = {± a } { (c) (x 4 ) = a = x 4 {±a 4} für a 0 = a = L = { } für a < 0 0bo Lösen Sie folgende Gleichung durch Faktorisieren: x 7 6x = 0 L = {0;4} 0bo Lösen Sie folgende Gleichung durch Faktorisieren: x 6x 7 +64x = 0 L = {0; 4 8; 4 8} 0ga Bestimmen Sie rechnerisch die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in G = R: 8 x 9 x 4 + = 0 L = {; 6 } 0ga 68. Lösen Sie folgende Gleichung: 6 x 4 + x 8 = 0 L = { }