1. Mathematikschulaufgabe

Transkript

1 Klasse 9. Bestimme die Lösungsmenge! (G = ) 50x - 8 = 0. Bestimme Definitions- und Lösungsmenge! (G = ) x x x + 7 x + = 6 x. Jemand behauptet: a = a. Hat er recht? Begründung! 4. Vereinfache und führe, falls nötig, eine Fallunterscheidung durch: ( )( a ) ( a ) 9a + a 5. Gegeben sind die Punkte A (0/), B (/), C(5/4,5) und D(8/6). Durch eine zentrische Streckung wird D auf A und C auf B abgebildet. Konstruiere das Streckzentrum. 6. Gegeben sind die eingezeichneten Längen der nicht maßstabsgetreuen Skizze zu einer zentrischen Streckung mit Streckzentrum Z. Bestimme den Streckfaktor. Berechne AA. c) Berechne ZB. GM_A0006 **** Lösungen Seiten

2 Klasse 9. Löse folgende Gleichung! (G=R) ( x+ ) ( x 5) 6x = x ( 4+ x). Bestimme Definitions- und Lösungsmenge! (G = R) x+ x 8,5 x 4 = 4 x x+ x+ x ( ). Gegeben ist der Term T(x) = mit G = R x + x Für welche reellen Zahlen ist der Term definiert? Forme den Term so um, daß der Nenner ohne Wurzel ist. c) Für welche Einsetzungen erhält man den Termwert 5? 4. Gegeben ist die Strecke [AB] mit AB = 8 cm. Zeichne [AB] und konstruiere den inneren und den äußeren Teilpunkt T i bzw. T a, die die Strecke [AB] im Teilverhältnis 7 τ = teilen. Teile die Strecke [AB] mit AB = 8 cm im Verhältnis 5:. 5. Maria steht am Ufer eines Sees und sieht ein Schiff, dessen Länge a = 4,8 m ihr bekannt ist. Sie peilt es mit ihrem Bleistift an, so dass der Stift und das Schiff genau zur Deckung kommen (die Bleistiftspitze sieht sie vor der Bugspitze). Sie misst die Länge des Bleistifts (b = 8 cm) und die Entfernung von ihrem Auge zur Bleistiftspitze (e = 4 cm) und behauptet, dass sie aus allen ihr bekannten Angaben ihre Entfernung von der Bugspitze errechnen kann. Worauf muss Maria achten, damit sie den Strahlensatz anwenden kann? Erstelle eine Skizze mit den Angaben und berechne die Entfernung der Bugspitze zur Bleistiftspitze! GM_A0067 **** Lösungen Seiten

3 Klasse 9 Die Platzhalter in den folgenden Aufgaben seien aus der Grundmenge R so gewählt, dass alle angegebenen Wurzeln definiert sind. Gib alle Endergebnisse so weit wie möglich vereinfacht und ohne unnötige Betragsstriche an. Die Berechnung bzw. Vereinfachung mit dem Taschenrechner wird nicht gewertet.. Berechne! =. Ergänze den Radikanden zu einem vollständigen Quadrat und radiziere! 4 m + m n Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich! ( ) a b a = ab b a b 4. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Folge von unendlich vielen Intervallen eine Intervallschachtelung darstellt? Gib zu der Zahl 5 eine Intervallschachtelung an, indem du die ersten vier Intervalle notierst. 5. Gegeben sei die Strecke [AB] mit AB = 9 cm. Teile die Strecke [AB] durch den Teilpunkt T im Verhältnis τ =,! Berechne die Länge der Strecke [TB]. (Runde auf eine Dezimalstelle.) GM_A0068 **** Lösungen Seiten

4 Klasse 9. Bestimme die Definitionsmenge der Terme: ( G =!) x + 4 x+ c) x + 4 x. Vereinfache die Terme soweit wie möglich! ( a+ b + ( a b + a + ab + b 4 ab a : b 4a ab. Was versteht man unter der Harmonischen Teilung einer Strecke [AB]? Zeichne eine Strecke [AB] der Länge 5,5 cm und teile sie harmonisch im Verhältnis :. Achte auf eine saubere Konstruktion! 4. Berechne die Streckenlängen BC, AE, FG, EG. Gib bei jedem verwendeten Strahlensatz die Art der Strahlensatzfigur (V-Figur bzw. X-Figur) und das Zentrum an! Gegeben: AD FG, BC DF, AG = cm (Skizze nicht maßstäblich!) GM_A0076 **** Lösungen Seiten

5 Klasse 9. Ermittle das Zentrum Z einer zentrischen Streckung mit m = -,5; P(/) und P (6/4) durch Rechnung und Konstruktion. Betrachte anschließend P als Zentrum und Z als Bildpunkt von P! Wie lautet der Streckungsfaktor für diese Abbildung?. Im Dreieck ABC ist c = 5 cm und h c = 4 cm. Mittels einer zentrischen Streckung wird das Dreieck ABC auf ein Dreieck A B C abgebildet, dessen Fläche 80cm größer als die des Ausgangsdreiecks ist. Berechne den Streckungsfaktor m!. Bestimme 8 näherungsweise auf die 5. Stelle nach dem Komma (der Lösungsweg muß erkennbar sein)! 4. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 6x(x - ) - (x - ) = 6 5. Vereinfache soweit wie möglich: a b x a x : 6y b y 7y 5 6 GM_A005 **** Lösungen Seiten

6 Klasse 9. Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. Grundmenge ist!. 4x 6 x = x 6 6 x x+ 6. Ergänze den Radikanden zu einem vollständigen Quadrat und radiziere. Das Ergebnis ist in betragsfreier Form anzugeben.,6p +,8 p +". Radiziere soweit wie möglich, wobei x und y positive reelle Zahlen vertreten. x + x 00a 6 4. Fasse soweit wie möglich zusammen. Die Variablen y und z sind positive reelle Zahlen. y y + y yz + 4y 5. Die zentrische Streckung S Z; m mit m > bildet [CD] auf [C D ] ab. Gegeben sind: ZC' = 4, cm, CC' =,4 cm, DD' =, cm, C'D' =,6 cm. Fertige eine Zeichnung an (Skizze genügt) und berechne m, CD und ZD'. 6. Konstruiere den Urpunkt P, der bei der zentrischen Streckung am Zentrum Z(/) mit dem Streckungsfaktor m = 7 auf den Punkt P (,5 / 4,5) abgebildet wird. 4 GM_A0 **** Lösungen Seiten

7 Klasse 9. Bestimme jeweils die Lösungsmenge 5x + y = 9 x y = 4 7x 7y = 4x + = 7y c) x+ y = 4 8 y = x+ 6. In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel 4mal so groß wie der Winkel an der Spitze. Bestimme die Innenwinkel des Dreiecks.. Zwei Esel tragen Säcke. Da sagt der eine zum anderen: Wenn du mir einen Sack abgibst, dann tragen wir beide gleich viel. Der andere Esel erwidert: Wenn du mir einen Sack abgibst, dann trage ich doppelt so viel wie du. Wie viele Säcke trägt der eine Esel, wie viel der andere? 4. Welche Zahlen muss man für den Parameter k jeweils einsetzen, damit das folgende Gleichungssystem genau eine Lösung unendlich viele Lösungen c) keine Lösung hat? x 6y + k = 0 x+ ky = 0 GM_A055 **** Lösungen Seiten

8 Klasse 9. Bestimme jeweils die Lösungsmenge: 6x y = 9 8x + y = = 57 x y 4 6 = 0 x y c) (x + y) = (x + 0,5y + ) = 0. Bei einem Rechteck ist eine Seite um cm kürzer als die andere. Der Umfang des Rechtecks ist um 0 cm größer als die -fache Länge der kürzeren Seite. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks?. Für welche rationale Zahl a hat das folgende Gleichungssystem genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen, c) keine Lösung? x 6y + = 0 x+ ay 4 = 0 GM_A056 **** Lösungen Seiten

9 Klasse 9. Der Quotient zweier Zahlen ist. Vermindert man jede Zahl um 5, so ist der neue Quotient 4. Bestimme die beiden Zahlen.. Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 40 cm. Jeder Schenkel ist 5 cm länger als die Basis. Wie lang ist die Basis und wie lang sind die Schenkel?. Von drei Zahlen ist die erste um 49 größer als die zweite, diese um 4 größer als die dritte und die Summe aller drei beträgt. Bestimme die drei Zahlen. 4. Bestimme jeweils die Lösungsmenge: (x + 4)(y ) = (x + 7)(y 4) (x )(y + 5) = (x )(y + ) x + y + z = 7 x y + z = x + y z = GM_A066 **** Lösungen Seiten

10 Klasse 9. Radiziere soweit wie möglich 5 4 x y z 7 x y x y x y 4. Fasse unter einer Wurzel zusammen und vereinfache. a b b a ( 5 ) + 5 c) y z 8 d) z 7x : 4. Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich Welche der nachstehenden Aussagen ist richtig? Ist p gerade so ist auch p gerade Ist p gerade, so ist p gerade c) Ist p ungerade so ist p gerade d) Ist p ungerade, so ist p gerade e) Jeden Bruch der Form ungerade Zahl gerade Zahl kann man kürzen 5. Konstruiere die Streckenlänge cm im Maßstab :. GM_A067 **** Lösungen Seiten (GM_L067)

11 Klasse 9. Gib über der Grundmenge die Definitionsmenge D an! Bestimme die Lösungsmenge! 4x + = x 4+ x. Berechne 54 auf vier Nachkommastellen genau! Verwende dabei das Heron- Verfahren mit dem Startwert x0 = 6! Dein Rechenweg soll nachvollziehbar sein!. Radiziere so weit wie möglich und führe (falls nötig) eine Fallunterscheidung durch! 4x x x 4 4. Fasse so weit wie möglich zusammen! ( 4 6 8) ( 6 + 8) 5. Zeichne eine Strecke [AB] der Länge 4,5 cm und teile sie harmonisch im Verhältnis T =. Berechne zusätzlich die Länge der Teilstücke. 6. Berechne die Streckenlängen x, r, y, z. Gib bei jedem verwendeten Strahlensatz die Art der Strahlensatzfigur (V - Figur bzw. X - Figur) und das Zentrum an! Gegeben: ADFG, BCDF y+ z = cm GM_A088 **** Lösungen Seiten (GM_L088)

12 Klasse 9. Radiziere teilweise und vereinfache: =. Radiziere und vereinfache: 9x 9x 6x + wobei x < 0. Stelle rationalen Nenner her und vereinfache: = + = 4. In der Skizze sind gegeben: ED BC, BC= 4, DC= 6,5, FD = EF =,5 und GB = 4,8 Berechne: x = AD, y = FG und z = AF. Untersuche, ob das Viereck AEBD ein Parallelogramm ist. (Antwort begründen, evtl. Rechnung) 5. Berechne s nach unten stehender Skizze! GM_A05 **** Lösungen Seiten (GM_L05)

13 Klasse 9 / G8. Vereinfache und radiziere soweit wie möglich (Zwischenschritte angeben!). 6x 56x 49 8c c) 0, d) e) b a c : bc a 4. Bestimme die Lösungen über der Grundmenge der reellen Zahlen. x x x Vereinfache so weit wie möglich. c) a 4a b 6b 6 4 8a b Was sind irrationale Zahlen? 5. Gegeben ist der Term T(x) x 5. 5 x Für welche reellen Zahlen ist der Term definiert? Forme den Term so um, dass der Nenner ohne Wurzel ist. c) Für welchen x - Wert erhält man den Termwert? 6. Wie weit ragt ein 4 cm langer Strohhalm mindestens aus einem zylindrischen Glas heraus, das einen Durchmesser von 6cm und eine Höhe von 4 cm hat? Fertige eine Skizze an, vernachlässige bei deiner Rechnung die Wanddicke des Glases und die Dicke des Strohhalms. GM_A0686 **** Lösungen Seiten (GM_L0686)

14 Klasse 9 / G8. Die Terme sind definiert. Berechne und radiziere teilweise (exakte Ergebnisse, keine gerundeten Dezimalbrüche). 5 pq 66p q 0p q c) x 5 y 8a 5 8a : a Mache zuerst den Nenner rational. d) 5 r s rs e) a a. Die Terme sind definiert. Vereinfache soweit wie möglich, gehe dabei schrittweise vor. r s s r a 6 a : ; r,s 0 ; a 0 c) x x d) f) a a e) 5 y 80 y y 40. Begründe die Richtigkeit, oder widerlege durch ein Gegenbeispiel. Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist stets irrational. Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist stets irrational. 4. Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 4 cm, ist der Flächeninhalt des neuen Quadrats um 6 cm größer als der des ursprünglichen Quadrats. Berechne die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats. Um wie viel Prozent ist der Umfang des neuen Quadrats länger als der des ursprünglichen Quadrats? 5. Übertrage die Angabe auf dein Lösungsblatt und ergänze die Leerstellen (binomische Formel).... 0a... 0ab... GM_A0687 **** Lösungen Seiten (GM_L0687)

15 Klasse 9 / G8. Vereinfache ohne Taschenrechner soweit wie möglich durch Herstellen von Quadraten im Radikanden und (teilweises) Radizieren: 6,,8 d) 64 6 e) 4 0,9 0 c) x y 4 0 x y 7 für x, y f) 8 5 ab a b für a,b. Radiziere mit Fallunterscheidung, falls nötig: (Variablen aus ) 6 x x 4 4 b b 4 9. Bestimme die Lösungsmenge (Zwischenschritte, ohne Definitionsmenge!): x 9x x x 9 x c) x 4 5 x x 7 4. Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 5 (Längeneinheit cm, Platzbedarf über dem Zahlenstrahl 5cm). Bestimme durch Konstruktion den Bildpunkt der Zahl Bestimme mit dem Heron-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau. 6. Ermittle die Lösungsmengen folgender Gleichungen. x 0 x 4 GM_A0688 **** Lösungen Seiten (GM_L0688)

16 Klasse 9 / G8. Erkläre den Unterschied zwischen einer rationalen und einer irrationalen Zahl.. Berechne 7 mit dem Heron-Verfahren auf drei Dezimalstellen genau.. Löse die folgenden Gleichungen: x x 0 xx 5 4. Berechne: 0,09 y 4a 6a 4 5. Ergänze den Radikanden zu einem vollständigen Quadrat und radiziere: x x Vereinfache so weit wie möglich: x y y x x 4 x 4 7. Schreibe den Faktor der vor der Wurzel steht unter die Wurzel, und fasse zusammen: 6a b k k 8. Mache den Nenner rational, radiziere teilweise, und vereinfache so weit wie möglich: a a a x y y x xy GM_A0689 **** Lösungen Seiten (GM_L0689)

17 Klasse 9 / G8. Begründe, ob die folgenden Zahlen rational oder irrational sind , Vereinfache so weit wie möglich. a a a 0 9a 7a. Multipliziere und radiziere so weit wie möglich! Führe, falls nötig, eine Fallunterscheidung durch. a a a 6 4. Radiziere und fasse so weit wie möglich zusammen! Schreibe das Ergebnis als Wurzel. 5 x 4x 9x 6x :x x 0 5. Bestimme die Definitionsmenge. 9 x x c) x 7 6. In einem Rechteck sind die Seiten a cm und b 4cm, außerdem gilt AE BD. (siehe nebenstehende Skizze). Berechne die Länge der Diagonalen BD. Berechne die Längen BE, DE und AE 7. Konstruiere auf einem Zahlenstrahl mit Hilfe des Höhensatzes eine Strecke der Länge 5cm. GM_A0690 **** Lösungen Seiten (GM_L0690)

18 Klasse 9 / G8. Berechne bzw. vereinfache soweit wie möglich (Nenner rational machen!) c) d) e) 5 5 f) Fasse zusammen, wenn möglich Bestimme die ersten vier Intervalle einer Intervallschachtelung für 8. Dabei ist für jedes Intervall eine Begründung für die Festsetzung der Intervallgrenzen zu geben. 4. Begründe stichhaltig, warum folgende Gleichungen falsch sind a mit einer ungeraden Zahl a 5. Sortiere die folgenden Zahlen richtig ein: 5 9 (I),6 (II) 0,5 8 (III) (IIII) ,0.. gehören zu ohne, sind also nicht rational... gehören zu ohne, sind also rational, aber nicht ganzzahlig... gehören zu, sind also ganze Zahlen. 6. Bestimme die Lösungsmenge in der Grundmenge. x x 4 7. Der erste und zweite Näherungswert einer Wurzel beim Heronverfahren sind die Zahlen 4 bzw.,5. Für welche Wurzel wird das Verfahren durchgeführt? GM_A069 **** Lösungen Seiten (GM_L069)

19 Klasse 9 / G8. Berechne und vereinfache. x x x: x c) x x. Entscheide, ob die nachstehenden Folgen abgeschlossener Intervalle eine Intervallschachtelung bilden. Begründung! Gib gegebenenfalls an, welche Zahl eingeschachtelt wird. [7; 8] [,8;,9] [7,9; 8,9] [,89;,90] [7,99; 8,90] [,899;,900] [7,999; 8,900] [,8999;,9000]..... Vereinfache soweit wie möglich: a 44a a für a ohne Taschenrechner! c) d) abba bb a x y x y x y für a,b 0 x x y x y für x 0, y 0, x y 4. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung in G : x x 0 8x 6 8x 6 x 4 5. Betrachtet wird die Gleichung x 50. Begründe, warum eine Lösung dieser Gleichung irrational sein muss. Konstruiere den Punkt auf der Zahlengeraden, der die positive Lösung dieser Gleichung darstellt (Mit kurzer Erläuterung). GM_A069 **** Lösungen Seiten (GM_L069)

20 Klasse 9 / G8. Gib die Definitionsmenge D an und bestimme die Lösungsmenge. 4x x 4 x für G. Berechne 54 auf vier Nachkommastellen genau. Verwende dabei den Heronalgorithmus mit dem Startwert x0 6. Dein Rechenweg soll nachvollziehbar sein.. Radiziere so weit wie möglich und führe (falls nötig) eine Fallunterscheidung durch. 4x x x 4 4. Fasse so weit wie möglich zusammen Gib die Ergebnisse der folgenden Wurzeln ganzzahlig gerundet an. Der Taschenrechner (TR) darf hierbei verwendet werden. 45 c) 4567 Welche Gemeinsamkeit haben diese drei Ergebnisse? 6. Vereinfache das folgende Produkt so weit wie möglich (ohne TR und nachvollziehbar) Gib für jeden der folgenden Terme den größtmöglichen Zahlenbereich für a an, damit der Term jeweils definiert ist. Begründe deine Angaben. a a 5 8. Gib jeweils die Lösungsmenge an. x 44 0 x0,5 0,6 c) x GM_A069 **** Lösungen Seiten (GM_L069)

21 Klasse 9 / G8 Voraussetzung zur Bearbeitung der nachfolgenden Aufgaben. Die Variablen in den Wurzeltermen sind stets so gewählt, dass die Terme definiert sind.. Gib an, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. 90 ist eine irrationale Zahl wahr falsch 5 9 ist eine natürliche Zahl wahr falsch 7 wahr falsch Der Wert eines Produktes aus zwei irrationalen Zahlen ist stets eine rationale Zahl. wahr falsch. Vereinfache unter der angegebenen Voraussetzung. Schreibe das Endergebnis ohne Betrag. 0,6 a ab 6,5b 0,49 a a, b. Fasse soweit wie möglich zusammen y y : y c) 4 a a a a 4. Vereinfache soweit wie möglich (Zwischenschritte angeben). x,y xy b c bc c) 49 x 9y 5. Gib die Definitionsmenge des Terms an und mache anschließend den Nenner rational. x x,5 6. Patrick soll folgenden Term vereinfachen. Runden ist dabei nicht erlaubt. 45 a 845 a 0 a 45 a Er behauptet aber, dass der gegebene Term nicht weiter vereinfacht werden kann, weil Wurzeln nur dann exakt addiert werden können, wenn sie den gleichen Radikanden aufweisen. Nimm Stellung zu Patricks Aussage und vereinfache wenn möglich den Term. 7. Fülle die Lücken so, dass eine wahre Aussage entsteht. 4x 0,5 GM_A0694 **** Lösungen Seiten (GM_L0694)

22 Klasse 9 / G8. Radiziere durch Zerlegung in Quadratzahlfaktoren Vereinfache so weit wie möglich. Verwende Betragstriche nur wo sie erforderlich sind a 4ab 6b a ab b für a,b. Fasse so weit wie möglich zusammen Mache den Nenner rational und fasse zusammen Auf 9 geltende Ziffern genau ist , Gib nur anhand dieser Angabe die Werte der folgenden Wurzeln auf 9 geltende Ziffern genau an: 45,6789, c) Die Wurzel aus 0 ist annähernd so groß wie die Kreiszahl. Um wie viel Prozent weicht der Wert für vom Wert für 0 ab? Gib das Ergebnis auf 0,0 Prozent genau an. 7. Bildet das folgende Intervall eine Intervallschachtelung? Begründe deine Entscheidung! [0,49; 0,6] [0,499; 0,6] [0,4999; 0,6]... GM_A0695 **** Lösungen Seite (GM_L0695)

23 Klasse 9 / G8. Vereinfache so weit wie möglich. 5 4 x x 6 5 x 6 x 0. Radiziere durch Zerlegung in Quadratzahlfaktoren. 76. Fasse zusammen Mache die Nenner rational und fasse zusammen. 4 4w Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen. x y x xy y x y 6. Bestimme die maximale Definitionsmenge des Terms. 5 x x 7 x 7 7. Bestimme über der Grundmenge die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. 6 5x 4x x x x x x 5 9 x x x 4 8. Im Würfel der Kantenlänge a halbieren die Punkte B und C jeweils die Kanten. Bestimme den Umfang des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von a. Berechne den Umfang des Dreiecks ABC auf Millimeter gerundet, wenn gilt: a 8,0 cm. GM_A0696 **** Lösungen Seiten (GM_L0696)

24 Klasse 9 / G8. Berechne! 6 6 d) 4s 4s e) 6 c) 8 f) 5 x 5 0,4 0,5 0, 0,5. Welche der Dezimalbruchentwicklungen stellt eine rationale, welche eine irrationale Zahl dar? Begründung! a, b 0, c 0, Radiziere so weit wie möglich und führe, falls notwendig, eine Fallunterscheidung durch. c) 4 49m n 9a a 0,5 c) 6x 5y 5x 4x 0,04 4. Mache jeweils den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich. Welche Bedingungen müssen die Variablen im ursprünglichen und im umgeformten Term erfüllen, damit er definiert ist? a 5 4a6 a 5 a 5. Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4x x für G GM_A0697 **** Lösungen Seiten (GM_L0697)

25 Klasse 9 / G8 Der Taschenrechner ist nicht zugelassen!. Vereinfache so weit wie möglich und fasse zusammen. 8 e) 4a abc 5 : 5b 6 a x x c) a 5b 6 7 d) 7 7 a b y x f) x 0,9 y 0,6x. Verwandle in eine Summe. ax by 8 9x y y 8x. Radiziere so weit wie möglich. Führe ggf. eine Fallunterscheidung durch. 8x 44 x 5a 5b c) 5x 0x 4. Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind 5. Gegeben ist ein gleichseitiges gegeben: h,cm, q,8cm Dreieck ABC. Leite eine Formel zur (siehe Skizze unten). Berechnung der Höhe h her. Berechne die Längen p und c. Berechne die Höhe h für a 6cm. 6. Bestimme die Lösungsmenge. c) x x 0 8 x x x 0 GM_A0698 **** Lösungen Seiten (GM_L0698)

26 Klasse 9 / (G8). Vereinfache soweit wie möglich! 7 =, = 7 a b : b 7a =. Richtig oder falsch? Korrigiere die falschen Lösungen! 48 = = = = 8 6 = 7 44 = 0,5. Fasse soweit wie möglich zusammen! = a a a a 4 a a = a + 4. Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich! x x + = x a = a + 5. Gib für alle Variablen in folgendem Term die Definitionsmenge an! x + 4 y + a 6 = GM_A0699 **** Lösungen Seiten (GM_L0699)

27 Klasse 9 / (G8). Welche der folgenden Zahlen sind irrational, welche rational? Begründe Deine Antwort durch eine geeignete Vereinfachung des Terms. 6 4,6 69 Berechne auf Hundertstel gerundet mit dem Taschenrechner Vereinfache so weit wie möglich! Teilweises Radizieren und Rationalmachen des Nenners dort wo möglich! a b 4 + c) 0 ( 5 ) + 8 ( 0 ). Bestimme den Definitionsbereich des Terms T( x) = 7 4x. 4. Peter soll zum Punkt A ( ) einen Punkt B( xb ) 6 so finden, dass der Abstand AB der beiden Punkte den Wert 5 hat. Finde durch überlegtes Probieren eine geeignete x - Koordinate x B des Punktes B! 5. Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen AB= 8cm und BC = 5 cm. Ein Kreis um B mit Radius 8 cm schneidet die Seite [ DC ] im Punkt E. F ist der Fußpunkt des Lotes von C auf [ EB ]. Berechne die Länge EC und den Flächeninhalt A BCE des Dreiecks BCE. Welchen Prozentsatz der Rechtecksfläche macht A aus? BCE Berechne die Länge FC = h. Gib h exakt und auf Millimeter gerundet an! GM_A0700 **** Lösungen Seiten (GM_L0700)

28 Klasse 9 / (G8). Vereinfache so weit wie möglich. Gib deine Rechenschritte an. ( )( + ) 8 y xy x ( x, y > 0) c) ( 4 b + ( a >. Schreibe wenn möglich ohne Wurzelzeichen: ( 4x) xy c) x y d) x + y xy 4 9 e),56 + 0,4 a + 0,4a. Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich: Welche Bedingungen muss die Variable erfüllen, damit der ursprüngliche (bzw. der umgeformte) Term definiert ist? x x x 4. Kürze: 5a 45 a 5. Gib die Definitions- und Lösungsmenge an: x 4 = x x = 0 6. Grundwissen In der (nicht maßstäblichen) Abbildung gilt: AB CD AB BD, AB= 4cm, ED, [ ] [ ] = 6 cm und BD = 9 cm Berechne CD sowie den Flächeninhalt des Dreiecks ABE. GM_A070 **** Lösungen Seiten (GM_L070)

29 Klasse 9 / (G8). Bestimme ein Intervall der Länge 0,0, in dem die Quadratwurzel 7 liegt.. Fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Gib das exakte Ergebnis an, nicht den gerundeten Wert. Die Variablen x und y stehen für positive reelle Zahlen. 5x + 48y 8 60x + 75 y = 4. Mache den Nenner rational und vereinfache dann so weit wie möglich: = 4. Radiziere! Schreibe Betragsstriche nur wenn nötig. Im Ergebnis sollen keine Wurzeln vorkommen, schreibe diese gegebenenfalls als Potenz. Die Variablen stehen für beliebige reelle Zahlen. 4 x y 4 96 z = 4x + x + 64 = 5. Du befindest Dich auf der Spitze eines Leuchtturms. Deine Augenhöhe ist 0 Meter über dem Meeresspiegel. In welcher Entfernung siehst du frühestens die Flagge eines Piratenschiffs, die 0 m über der Wasseroberfläche weht? Der Erdradius beträgt ungefähr 670 Kilometer. Gib das Ergebnis als sinnvoll gerundete Dezimalzahl an! 6. Wie hoch darf ein 70 cm breiter Schrank höchstens sein, damit man ihn in einem,0 m hohen Kellerraum durch Kippen aufstellen kann. Die nebenstehende Skizze zeigt den Vorgang des Aufstellens. (Ist der Schrank zu hoch, dann steht er an der Kellerdecke an) 7. Die Kathete a eines bei C rechtwinkligen Dreiecks ABC mißt 6 cm. Seine Höhe h auf die Hypothenuse c hat die Länge cm. Berechne die Länge der Seite b. GM_A070 **** Lösungen Seiten (GM_L070)

30 Klasse 9 / (G8). Begründe jeweils sorgfältig, ob x eine rationale Zahl sein kann: x =,6 c) x 5 0 x = = d) x = ( )( + ). Ermittle die maximale Definitionsmenge des Terms und vereinfache ihn dann soweit wie möglich: x 9x 8 + x 4. Radiziere teilweise und fasse soweit wie möglich zusammen: = 4. Für welche reellen Zahlen sind folgende Gleichungen richtig? a a = a x = x 5. Konstruiere mit Hilfe des Kathetensatzes! 6. Ausgehend von einem Quadrat mit Seitenlänge s = 4 cm soll ein Quadrat mit Flächeninhalt 8 cm konstruiert werden. Erläutere, inwieweit die Diagonalen des Ursprungs-Quadrates dabei hilfreich sein können. 7. Ein gerades, dreiseitiges Prisma mit den Ecken ABCDEF hat ein gleichschenkliges Dreieck als Grundfläche, AB die Basis ist und C die Spitze. bei dem [ ] Der Punkt G ist der Mittelpunkt der Seite [ AB ]. Es gelte: s = 5cm, AB= 6cm, h= cm Begründe anschaulich, dass das Dreieck GCF rechtwinklig ist. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks GCF. c) Bestimme den Abstand d von Punkt C zur Geraden GF, wenn GF = 5 cm und GC = 4 cm ist. Hinweis: Skizziere das Dreieck GCF isoliert! GM_A070 **** Lösungen Seiten (GM_L070)

31 Klasse 9 / (G8). Ordne - aufsteigend - der Größe nach: 9 54;,48;,48; 7 6 Welche Menge ist Teilmenge einer anderen? Finde alle möglichen Paare:,,,, Vereinfache ohne Taschenrechner (Zwischenschritte angeben, eventuell radizieren): 6 0 : 6 = =. Ergänze die Summe, so dass der entstehende Term als Quadrat einer Summe oder Differenz geschrieben werden kann (binomische Formel!) und schreibe das Quadrat auf: x + x 4a s 5 t + 0, st = 4. Vereinfache: ( ) 5. Vereinfache durch Rationalmachen des Nenners so weit wie möglich: Gib jeweils eine Funktion f(x) an, die bei x = ihre einzige Nullstelle besitzt. die den Graphen der Funktion y x c) mit der Definitionsmenge D = \{ } = + im Punkt ( P ) Py schneidet. GM_A0704 **** Lösungen Seiten (GM_L0704)

32 Klasse 9 / (G8). Das Dreieck ABC ist bei B rechtwinklig. Die Höhe auf die Seite b werde mit h bezeichnet, ihr Höhenfußpunkt mit F. Berechne alle Seitenlängen sowie den Flächeninhalt des Dreiecks, für AF= 0cm und CF = 4 cm. Achte dabei auf einen nachvollziehbaren Rechenweg und gib alle Ergebnisse mathematisch exakt an (nicht gerundet, aber so weit wie möglich radiziert).. Bei den folgenden Kurzfragen sollst du jeweils nur die richtige Antwort angeben! Rechenweg und Begründung sind nicht verlangt. Wie lautet beim Heron-Verfahren für 80 der nächste Wert für die Breite, wenn man mit dem Startwert 8 für die Breite beginnt? Gib eine irrationale Zahl zwischen 5,5 und 5,6 an. Gib zwei verschiedene irrationale Zahlen an, deren Produkt 6 ergibt. Bestimme die größtmögliche Menge aller Zahlen x, für die gilt: x = x Wie viele Flächen hat ein Prisma mit einem n-eck als Grundfläche? Ergebnis / Antwort. Welche Bedingungen müssen für x gelten, damit der Term (Eine Vereinfachung des Terms ist nicht verlangt) x x 4 definiert ist? 4. Bringe unter eine Wurzel und vereinfache soweit wie möglich! Ist das Ergebnis eine rationale Zahl? Begründe! ( 7 ) + 7 Vereinfache! Gib außerdem an, welche Einsetzungen für die Variablen a und b erlaubt sind! 7a b : a 6 = Blatt beachten! GM_A0705 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0705) ()

33 Klasse 9 / (G8) 5. Konstruiere sauber und nachvollziehbar ein Quadrat mit Flächeninhalt 0 cm²! Irrationale Streckenlängen sollen dabei mit Zirkel und Lineal konstruiert werden! 6. Zur Messung von Geschossgeschwindigkeiten kann man ein so genanntes Ballistisches Pendel verwenden. Das Geschoss wird in einen Plastilinklumpen gefeuert, der an einem Faden aufgehängt ist. Der senkrechte Abstand des Geschosses bis zum Aufhängepunkt des Fadens hat die Länge l. Aus dem Höhenzuwachs h, den der Klumpen erreicht, kann man die Geschossgeschwindigkeit berechnen. Leichter zu messen ist allerdings die maximale Auslenkung d. (Vergleiche Skizze) Leite deshalb einen Term h(d) her, mit dem man die Höhe h aus der Auslenkung d berechnen kann! GM_A0705 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0705) ()

34 Klasse 9 / (G8). Berechne! ( 7 ) 7 4,5 75 = 4 5. Vereinfache den Term! ( ) ( ac cb ) ( + ( 8 a a b : = c a. Bestimme die Definitionsmenge! x + 7 0,5x 4. Mache den Nenner rational und vereinfache! Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung x 4x = x+! 6. Quadrate Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 4 ha. Berechne die Länge seiner Diagonalen! In einem Quadrat beträgt die Länge einer Diagonalen 8 cm. Berechne den Umfang des Quadrates! GM_A0706 **** Lösungen Seiten (GM_L0706)

35 Klasse 9 / (G8). Gib die Definitionsmenge der folgenden Terme an: 5z 5 a 4 + a. Kreuze richtige Antworten an und ergänze ggf.: (I) (II) a : b ist immer irrational + ist rational 9 nein, nur dann, wenn a und b selbst irrational sind nein, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt: a = ;b = ; a : b = ja, denn der Quotient zweier irrationaler Zahlen kann nie rational sein ja, denn Summe und Differenz von rationalen Zahlen sind immer rational nein, weil negative Zahlen beteiligt sind nein, weil und 9 Primzahlen sind +. Vereinfache soweit wie möglich (a, b, c ): ab c 9c ( 4. Löse die Klammern auf und vereinfache ohne Verwendung des TR: ( ) ( 4 4 ) = 5. Ergänze die Leerstellen so, dass eine binomische Formel angewendet werden kann. 9c 66cd + = Vereinfache den Bruchterm 0pq 5p + 4pq 4pq pq = 6. Mache den Nenner rational, kürze falls möglich (kein TR-Ergebnis!). s s = = s Gegeben ist der Term T(x) = 4 x + x+ Für welche reellen Zahlen ist der Term definiert? Forme den Term so um, dass im Nenner keine Wurzel mehr auftritt. c) Bestimme diejenige reelle Zahl, für die der Termwert ist. GM_A0707 **** Lösungen Seiten (GM_L0707)

36 Klasse 9 / G8. Vereinfache die Terme so weit wie möglich. a b c) : 9a b d) 0 0 e) : 5 f) Gib jeweils die maximal mögliche Definitionsmenge an. 5 x 49 a x 5 c). Ergänze die Leerstellen so, dass eine wahre Aussage entsteht. 4x... y Der Bedarf an Packpapier um ein würfelförmiges Weihnachtspaket einzupacken, ist um 0% größer, als sein Oberflächeninhalt. Berechne die Fläche des Packpapiers in m, wenn gleiche Weihnachtspakete einzeln verpackt werden sollen, die ein Gesamtvolumen von 5 dm besitzen. 5. Entscheide bei jeder der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist. a a für a x x y xy für x,y wahr falsch 69 \ 6. Welcher der nachfolgenden Terme gibt den grauen Flächeninhalt in nebenstehender Figur in m an? 5 : 4 c) e) 5 d) 5 : 4 f) 5 : GM_A0708 **** Lösungen Seiten (GM_L0708)

37 Klasse 9 / G8. Bestimme wo erforderlich die Definitionsmenge und radiziere so weit wie möglich G. 8 7 x c) 4 6x d) 6 y 6x 9. Vereinfache so weit wie möglich ,9, 0,57. Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen. 4 x x c) x Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich. x 4 x 5x 0x x 0x x 4x x x 5x 0x 5. Bestimme den Wert für x im nebenstehenden Bild. Kästchen = cm. Hinweis: Berechne zunächst x 6. Fasse zusammen und gib das Ergebnis wieder als Wurzel an. x x x a a a Übertrage die Termmauer auf dein Lösungsblatt. Führe die in den Kreisen angegebene Rechenoperation durch, die berechneten Terme sind möglichst weit zu vereinfachen. Notiere das Ergebnis im entsprechenden Feld darüber. GM_A0709 **** Lösungen Seiten (GM_L0709)

38 Klasse 9 / G8. Ergänze den Radikanden in den folgenden Termen so, dass er als Quadrat einer Summe oder Differenz geschrieben werden kann, und radiziere x 8x 6x.... Forme in einen Term ohne Wurzelzeichen um und vereinfache. Gib an, welche Bedingungen die Variablen erfüllen müssen, damit der Term definiert ist. Verwende Betragsstriche nur, wenn sie notwendig sind. 7a 7a c) 4 z d) 0,09 x : 0,49 x y. Kürze so weit wie möglich. 4 x 6x x,(x 0) x x 4. Fasse so weit wie möglich zusammen. x x x x x x, x 0; 5. Gib die Lösungsmenge folgender Gleichung an. 0,5 4x 6 x 5 6. Gegeben sind die Punkte A, B,5 5 und C. Berechne im Dreieck ABC die Seitenlängen c AB und b AC. Stefan sagt, das Dreieck ist bei C rechtwinklig. Zeige mit einer nachvollziehbaren Rechnung, ob Stefans Annahme stimmt. c) Berechne die Länge der Höhe d CD im Dreieck ABC. 7. Heron-Verfahren Gib einen ganzzahligen Startwerte an, der möglichst schnell (also mit wenig Iterationen) zu einer hohen Genauigkeit bei der Berechnung von 5 führt. Eine Berechnung von 5 ist nicht erforderlich. Berechne 0 mit dem Heron-Verfahren auf zwei Dezimalstellen. Verwende als Startwerte x0 4 und y0 5. GM_A070 **** Lösungen Seiten (GM_L070)

39 Klasse 9 / G8. Berechne (radiziere) bzw. vereinfache soweit wie möglich (Nenner rational machen) c) d) x x, x 0 x e) f) x x 9x, x 0 x. Wandle sofern möglich den Radikanden in ein Binom um, radiziere teilweise, und fasse zusammen. 45a 0a x y c) 5x 50xy 5y. Ergänze den Term so, dass er als Quadrat einer Summe / Differenz geschrieben werden kann und gib dieses an. x x a a x Erläutere kurz, wie man mit Hilfe des Heron-Algorithmus den Wert von 99 bestimmen kann. 5. Bilden die folgenden Intervalle den Beginn einer Intervallschachtelung? Begründe deine Entscheidung. [6,; 6,6] [8,5; 8,6] [6,9; 6,5] [8,65; 8,66] [6,99; 6,50] [8,665; 8,666] [6,999; 6,500] [8,6665; 8,6666] 6. Kreuze richtige Aussagen an (Mehrfachnennungen möglich, Punktabzug bei Falschnennung). x x für x 0 Unendliche Dezimalbrüche sind x x für x 0 Jede reelle Zahl ist auch eine rationale Zahl x 0 für x Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl x y x Irrationale Zahlen sind unendliche Dezimalbrüche y 7. Ein Schiffsmast wurde auf einem Viertel seiner Höhe vom Sturm geknickt. Seine Spitze berührt 8 m vom Mast entfernt den Schiffsboden. Skizziere vereinfacht die Situation und berechne die ursprüngliche Höhe des Mastes. GM_A07 **** Lösungen Seiten (GM_L07)

40 Klasse 9 / G8. Vereinfache und fasse zusammen (radiziere teilweise). 96x 6x 4x Ergänze zu einem Binom. a b 0y x 5 y. Ziehe unter die Wurzel und vereinfache so weit wie möglich Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich. 8 x 5 c) 7 5 x 5. Schreibe ohne Wurzelzeichen. 6 a 6a 9 6. Konstruiere auf der Zahlengeraden den Bildpunkt der Zahl,5. 7. Handelt es sich um eine Intervallschachtelung, wenn man die Folge der Intervalle sinngemäß fortsetzt? Begründe! [0,49; 0,5] [,5;,9] [0,499; 0,5] [,50;,99] [0,4999; 6,5] [,500;,999] [0,49999; 0,5] [,5000;,9999] Ein Quadrat der Seitenlänge 8cm wird in ein Rechteck verwandelt, indem man eine Seite um x cm verlängert, die andere Seite um xcm verkürzt. Gib einen Term an, der den Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks in Abhängigkeit von x beschreibt. Gib die Definitionsmenge an. Für welchen x - Wert beträgt der Flächeninhalt des Rechtecks 4 cm? GM_A07 **** Lösungen Seiten (GM_L07)