Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunktionen.

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Linus Lichtenberg
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1 Hans Walser, [ a] Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunktionen. 1 Fibonacci und Kreisfunktionen 1.1 Einstiegsbeispiel Wir untersuchen die Folge mit der Rekursion a n+ = 0.95a n+1 a n = 1.9a n+1 a n und den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = Excel liefert für die ersten 50 Folgenglieder: n a_n n a_n n a_n

2 Hans Walser /10 Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Kosinuskurve erkennen: Diagramm. Kosinuskurve 1. Rekursion und Startwerte Wir untersuchen Folgen mit der Rekursion: a n+ = pa n+1 a n, p < 1 Mit den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Kosinuskurve liegen. Mit derselben Rekursion, aber den Startwerten a 0 = 0 und a 1 = 1 p ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Sinuskurve liegen. Beispiel: p = Startwerte a 0 = 0 und a 1 = 1 p. n a_n n a_n n a_n

3 Hans Walser 3/10 Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Sinuskurve erkennen: Diagramm. Sinuskurve 1.3 Beweis Wir untersuchen den Fall a n+ = pa n+1 a n, p < 1 mit den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p, und setzen = arccos( p). Wir haben also die Rekursion a n+ = cosa n+1 a n und die Startwerte a 0 = cos( 0) sowie a 1 = cos. Dann gilt: a n = cos( n ) Beweis induktiv. Die Startwerte erfüllen die Behauptung. Weiter ist: a n+ = cosa n+1 a n a n+ = coscos( ( n + 1) ) cos( n ) a n+ = coscos( n + ) cos( n ) a n+ = cos ( cos( n )cos sin( n )sin ) cos( n ) a n+ = cos( n )( cos 1) cossin ( ) sin ( n ) cos( ) sin( ) a n+ = cos( n )cos( ) sin( )sin( n ) a n+ = cos n + a n+ = cos ( n + ) Damit ist die Behauptung bewiesen.

4 Hans Walser 4/10 Im Fall a n+ = pa n+1 a n, p < 1 mit den Startwerten a 0 = 0 und a 1 = 1 p setzen wir wieder = arccos( p). Wir haben also dieselbe Rekursion a n+ = cosa n+1 a n und die Startwerte a 0 = sin( 0) sowie a 1 = sin. Dann gilt: Der Beweis läuft analog. a n = sin n 1.4 Periodenlänge Für die Periodenlänge T der so generierten Kreisfunktionen gilt: T 1 = T = arccos p In unserem Beispiel mit p = 0.95 erhalten wir: T = arccos( 0.95) Aus den Diagrammen lesen wir eine Periodenlänge von etwa 0 ab. 1.5 Noch ein Beispiel Wir verwenden einen negativen Wert für p. Startwerte a 0 = 1 und a 1 = p. Beispiel: p = 0.99 n a_n n a_n n a_n

5 Hans Walser 5/10 Das Diagramm sieht lustig aus: Diagramm Wir haben einen Flipflop-Effekt. Es ist aber immer noch a n = cos( n ). Und nicht, wie der Schreiber dieses zuerst vermutete, a n = ( 1) n cos( n ). Die Periodenlänge ist viel kürzer, als man denkt: Wie ist das zu verstehen? T =.0944 arccos( 0.99)

6 Hans Walser 6/ Andere Startwerte Beispiel: p = 0.95, Startwerte a 0 = 0.5 und a 1 = 1.1. Wir erhalten das Diagramm: Diagramm Wir haben eine Linearkombination einer Kosinusfunktion und einer Sinusfunktion.

7 Hans Walser 7/10 p > 1 Bis jetzt war p < 1, und das war ja auch gut so, weil wir in unseren Überlegungen mit gearbeitet haben, was für p > 1 nicht ginge. Allerdings können wir = arccos p gleichwohl mit der Rekursion a n+ = pa n+1 a n und den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p arbeiten..1 Beispiel Im Beispiel p = 1.01 erhalten wir n a_n n a_n n a_n mit dem Diagramm: Diagramm Das schmeckt sehr nach hyperbolischem Kosinus. Tatsächlich gilt: mit = arcosh p wird a n = cosh n. Und mit den Startwerten a 0 = 0 und a 1 = p 1 ergibt sich a n = sinh( n ). Die Beweise laufen analog zu denen der Kreisfunktionen, wobei der Leser / die Leserin gut tut, vor dem Beweis die einschlägigen Formeln für die hyperbolischen Funktionen nachzu-

Hans Walser 8/10 sehen. Wir haben damit ohne Würgen und Murksen einen Link von den Kreisfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen gefunden.. p < 1 Im Beispiel p = 1.

8 Hans Walser 8/10 sehen. Wir haben damit ohne Würgen und Murksen einen Link von den Kreisfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen gefunden.. p < 1 Im Beispiel p = 1.01 erhalten wir n a_n n a_n n a_n mit dem Diagramm: Diagramm Hier kommt man wohl nicht darum herum, die Formel a n = 1 zu akzeptieren. ( ) n cosh narcosh p

9 Hans Walser 9/10 3 Hintergrund 3.1 Die Formel von Binet Eine Folge mit der Rekursion a n+ = pa n+1 + qa n und den Startwerten a 0 und a 1 kann explizit dargestellt werden mit: a n = 1 n a 1 1 a n ( ( a0 1 a 1 ) ) Dabei ist: 1 = p + ( p + q) 1 Beweis induktiv mit einiger Rechnung. In unserem Fall ist q = 1, also: und = p ( p + q) 1 1 = p + ( p 1) 1 und = p ( p 1) 1 Weiter haben wir 1 = p + ( p 1) 1 p ( p 1) 1 = ( p 1) 1 und: 1 = p + ( p 1) 1 p ( p 1) 1 = p ( p 1)= 1 = Spezielle Startwerte Mit den speziellen Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p erhalten wir: 1 a 1 a 0 = p p p 1 1 = p 1 a 0 1 a 1 = p + ( p 1) 1 p = ( p 1) 1 Eingesetzt in die explizite Formel von Binet liefert: a n = 1 n a 1 1 a n ( a0 1 a 1 ) a n = 1 1 p 1 ( p 1) 1 n 1 + p ( 1 ) 1 n a n = 1 1 n + 1 n Das erinnert an die Definitionen von cos und cosh. Wir machen nun eine Fallunterscheidung bezüglich p.

10 Hans Walser 10/ p < 1 In diesem Fall ist: Es ist also: 1 = p + ( p 1) 1 = p + i 1 p 1 = p + 1 p = 1 arg( 1 )= arccos( p)= 1 = e i Die explizite Formel von Binet wird zu: a n = 1 1 n n ( + 1 )= 1 ( ein + e in )= cos n 3.. p > 1 Hier ist: Weiter ist: ln( 1 )= ln p + p 1 1 = p + ( p 1) 1 > 0 1 = Formelsammlung Die explizite Formel von Binet wird zu: a n = 1 1 n n ( + 1 )= 1 en ln ( 1) + e n ln( 1 ) arcosh( p)= = 1 en + e n = cosh n

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