n x n y n Tab.1: Zwei Beispiele

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1 Hans Walser, [0404] Konvergente Fibonacci-Folgen Worum geht es? Die klassische Fibonacci-Folge,,,, 5, 8,,,... ist divergent. Wir untersuchen Beispiele von konvergenten Folgen mit der Rekursion: a n = pa n + qa n Jedes Folgenglied ist also eine Linearkombination der beiden vorangehenden Folgenglieder (Walser 0, S.5). Der Grenzwert der Folge soll aber von null verschieden sein. Beispiel. Arithmetisches Mittel Wir arbeiten mit der Rekursion: a n = a n + a n Jedes Folgenglied ist das arithmetische Mittel der beiden vorangehenden Folgenglieder. Die Tabelle zeigt Beispiele x n und y n mit zwei verschiedenen Startwertpaaren. n x n y n Tab.: Zwei Beispiele

2 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen / 6. Visualisierungen Wir fassen x n und y n als Koordinaten eines Punktes A n (x n,y n ) auf. Wir erhalten eine Punktfolge, in welcher jeder Punkt Mittelpunkt der beiden vorangehenden Folgenpunkte ist (Abb. ). y A A A 5 A 4 A Abb. : Punktfolge ( ). Die Punktfolge hat einen Grenzpunkt (Häufungspunkt) G, A 0 x

3 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen / 6 Die Abbildung zeigt eine andere Visualisierung.. Beweis Die Tabelle lässt vermuten: Abb. : Visualisierung lim x n =, lim y n = Für den Beweis für die Folge x n arbeiten wir mit Brüchen relativ zum vermuteten Grenzwert (Tab. ).

4 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 4 / 6 n x n ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + = + 0 = = + = + 6 = + ( ) ( ) 4 ( ) 5 4 = = = + 4 = = 48 = + Tab. : Darstellung in Brüchen Es drängt sich die Vermutung für die explizite Formel auf: ( ) n x n = + Dies kann induktiv bewiesen werden. Für die Startwerte ist die Formel ok. Einsetzen in die Rekursionsformel ergibt: ( ) n x n + x n = + = + ( ) n + + ( ) n ( ) + ( )!## #" #### $ Aus der expliziten Formel folgt der vermutete Grenzwert lim x n =. Für die Folge y n gilt entsprechend: y n = ( ) n = + ( ) n = x n Für die Folge a n ergibt sich für die Startwerte a 0 und a wegen der Linearität die Folge: Weiter ist dann: ( ) n a n = a 0 x n + a y n = a 0 + = a 0 + a + ( ) n ( a 0 a ) lim a n = a 0 + a ( ) n + a Das heißt aber, dass wir mit geeigneter Wahl der Startwerte a 0 und a jeden beliebigen Grenzwert erreichen können.

5 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 5 / 6 Die triviale Lösung besteht darin, die beiden Startwerte gleich dem anvisierten Grenzwert zu setzen. Wir erhalten dann eine konstante Folge. Wir können einen der beiden Startwerte normieren. Beispiel: Für den Grenzwert π haben wir die Bedingung: a 0 + a =! π Mit der Normierung a 0 = 0 ergibt sich a = π. Die Tabelle zeigt die numerischen Werte..4 Matrizen Die Rekursion n a n Tab. : Grenzwert π a n = a n + a n kann auch in Matrizenform geschrieben werden: a n a n = 0 a n a n

6 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 6 / 6 Damit wird explizit: a n a n = 0 Die Tabelle 4 gibt einige Potenzen der Matrix A = n a a 0 0 n A n Es ist: Die Grenzmatrix ist singulär. Allgemein. Formel von Binet Tab. 4: Potenzen der Matrix lim An = : Für eine Folge mit der Rekursion a n = pa n + qa n und den Startwerten a 0 und a gilt die explizite Formel (Formel von Binet): a n = n a γ γ ( a 0 γ )γ + n ( a0 γ a )γ ( ) Dabei sind γ, die Lösungen der quadratischen Gleichung (man beachte die abweichende Schreibweise zu der in der Schule üblichen p-q-formel ) also: γ = p+ ( p +4q) γ pγ q = 0 und γ = p ( p +4q) Die Folge a n ist also eine Linearkombination von zwei geometrischen Folgen mit den Quotienten γ und γ (Walser 0, S.5, 6).. Sonderfall Im Sonderfall p + q = ist jedes Folgenglied ein gewichtetes Mittel der beiden vorangehenden Folgenglieder. In diesem Fall ist q = p und damit:

7 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 7 / 6 Daher wird: ( p + 4q) = p + 4 p ( ( )) = 4 4 p + p ( ) = (( p) ) = p γ = und γ = p = q Damit erhalten wir für die Formel von Binet: a n = +q ( ( a + qa ) 0 + ( a 0 a ) ( q ) n ) Für q < erhalten wir den Grenzwert: lim a n = a +qa 0 +q Somit haben wir drei freie Parameter, um einen anvisierten Grenzwert zu erhalten. Wir kontrollieren die Grenzwertformel an unserem schon bekannten Beispiel der Folge x n. Es ist q =, x 0 =, x = 0 und damit: lim x n = x +qx 0 = +q + =. Der Goldene Schnitt Ein interessantes Beispiel ist folgendes. Wir arbeiten mit dem Goldenen Schnitt (Walser, 0). Rekursion: Φ = ( + 5 ) a n = ( ) a n + Φ a n Φ

8 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 8 / 6 Die Tabelle 5 gibt die numerischen Werte für zwei Startwertpaare. Es ist: n x n y n Tab. 5: Goldener Schnitt lim x n = Φ ( ) und lim y n = Φ

9 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 9 / 6 Die Abbildung illustriert die Lage der Punkte A n (x n,y n ). y A A A 5 A6 A 4 A Abb. : Goldener Schnitt Der Punkt A unterteilt die Strecke A 0 A im Verhältnis Minor-Mayor, der Grenzpunkt unterteilt dieselbe Strecke im umgekehrten Verhältnis. Wer Lust hat, kann ein Pentagramm einpassen (Abb. 4). A 0 x

10 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 0 / 6 y A A A 5 A6 A 4 A A 0 x Abb. 4: Pentagramm

11 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen / 6 Die Abbildung 5 zeigt das Analogon zur Abbildung. Abb. 5: Die Goldene Fresse.4 Die Matrix Die Rekursion kann wie folgt beschrieben werden: a n a n = p q a n 0 a n Die Rekursionsmatrix hat die oben beschriebenen Eigenwerte: γ = p+ ( p +4q) und γ = p ( p +4q) Im Sonderfall p + q = sind die beiden Zeilensummen. Bei nicht negativen Einträgen p und q handelt es sich um eine so genannte Übergangsmatrix (auch stochastische Matrix oder Prozessmatrix genannt). 4 Alternierende Rekursion 4. Die Rekursion Wir verwenden zwei Zahlen p und q mit p + q = und verfahren wie folgt. n gerade: n ungerade: a n = pa n + qa n a n = qa n + pa n

12 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen / 6 4. Beispiel Für p = erhalten wir: n x n y n Wir vermuten: lim x n = 4 7 Tab. 6: Beispiel und lim y n = 7

13 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen / 6 Die Abbildung 6 illustriert den Sachverhalt. Abb. 6: Grenzpunkt Für beliebige Startwerte a 0 und a erhalten wir den Grenzwert: lim a n = 4 7 a a 4. Allgemein Für ein beliebiges p und damit q = p erhalten wir für die Startwerte n x n y n a n 0 0 a 0 0 a die Grenzwerte: sowie: lim x n = q p +q und lim y n = p p +q Beweis? lim a n = q p +q a 0 + p p +q a

14 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 4 / Nochmals der Goldene Schnitt Wir wählen wiederum p = ( ). Damit erhalten wir die Tabelle 7. Φ n x n y n Tab. 7: Goldener Schnitt Interessant ist die jeweilige Vertauschung bei aufeinanderfolgenden Paaren. Es ist lim x n = lim y n =

15 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 5 / 6 Wir haben einen Drang zur Mitte (Abb. 7). Abb. 7: Goldener Schnitt und Symmetrie

16 Hans Walser: Konvergente Fibonacci-Folgen 6 / 6 Die Abbildung 8 zeigt die zugenhörige Flächendarstellung. Abb. 8: Symmetrischer Goldener Schnitt Literatur Walser, Hans (0): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz 0. ISBN Walser, Hans (6. Auflage). (0). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN