Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwar WS 0/ Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge um. Übungsblatt Aufgabe (Übung) a) Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert, die daraus durch Umordnung entstehende Reihe jedoch divergiert. b) Weisen Sie nach, dass das Cauchyprodukt der konvergenten Reihe aus a) mit sich selbst divergiert. a) Die Reihe ( ) n+ n ( ) n n konvergiert nach dem Leibnikriterium, weil ( n ) n N eine monoton fallende Nullfolge ist. Es gilt Für jedes n N ist n + ( n + + ( ) n n n n n n n ). ( ) n n n 0. Da n divergiert, ist ( ) n eine divergente Minorante für die Reihe in ( ). b) Wie wir gesehen haben, ist die konvergente Reihe aus a) gegeben durch ( ) n+ n ( ) n. n +

2 Sei nun a n : ( )n n+ für n N 0. Für das Cauchyprodukt c n der Reihe a n mit sich selbst gilt c n a n k a k ( ) n k ( ) k ( ) n n k + k +. n k + k + Mit folgt 0 ( a b) a a b + b a b (a + b) (für a,b > 0) c n n k + k + n + (n k + + k + ) (n + ) n + + /n (n ). + /n Demnach ist (c n ) keine Nullfolge und damit c n divergent. Aufgabe (Tutorium) n + Für welche C konvergieren die folgenden Potenreihen? Bestimmen Sie im Falle der Konvergen den Reihenwert. a) n n b) Der Konvergenradius beider Potenreihen ist, da n n lim n n n lim n. n n Somit sind beide Reihen für < konvergent und für > divergent. Für ist der Betrag der Folgenglieder, also n bw. n, keine Nullfolge, weshalb auch dort Divergen folgt (siehe auch Vorlesung). Kommen wir nun um Reihenwert, wobei ab nun < vorausgesett sei. a) Es gilt (siehe Vorlesung) ( ) ( ) n k n k k n (n + ) n. Somit folgt (n + ) n ( ). Die geforderte Reihe müssen wir nun nur noch leicht umformen, um auf diesen nun bekannten Reihenwert urückgreifen u können. Wir berechnen n 0 n n n n Index-Shift (n + ) n. Somit folgt n n ( ).

3 b) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass Damit folgt: k n(n + ) ( ( ) ) n n k n n Mit Teil a) erhalten wir schließlich n n ( ) k n + n n k n ( ) ( ) ( n k )(k k ) n n n k k n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ). Aufgabe 7 (Übung) a) Rechnen Sie nach, dass die aus der Vorlesung auf R bekannten Formeln e i cos() + isin(), sin () + cos (), auch für C gelten. b) Zeigen Sie, dass die Sinusfunktion ungerade und die Kosinusfunktion gerade ist, also sin( ) sin(), cos( ) cos(), für alle C. c) Beweisen Sie, dass für x + iy ( e y + e y ) ( e y e y ) sin() sin(x) + icos(x), ( e y + e y ) ( e y e y ) cos() cos(x) isin(x), und schließen Sie daraus, dass die beiden Funktionen auf C unbeschränkt sind. a) Wir fangen auf der rechten Seite der ersten Gleichung an und beobachten, dass Zudem gilt cos() + isin() (ei + e i ) + i i (ei e i ) (ei + e i + e i e i ) e i. sin () + cos () (ei + e i ) (ei e i ) (ei + + e i (e i + e i )).

4 b) Es gilt und sin( ) i (ei( ) e i( ) ) i (ei e i ) sin() cos( ) (ei( ) + e i( ) ) (ei + e i ) cos() für alle C. Alternativ erkennt man diese Gleichungen auch an der Potenreihenentwicklung, da jeweils nur ungerade beiehungsweise gerade Potenen von auftauchen. c) Es gilt sin() i (ei e i ) i (eix e y e ix e y ) i ((cos(x) + isin(x))e y (cos(x) isin(x))e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) sin(x) + cos(x) sin(x) + icos(x) i und analog cos() (ei + e i ) (eix e y e ix e y ) ((cos(x) + isin(x))e y + (cos(x) isin(x))e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) cos(x) + isin(x) cos(x) isin(x). Für die Unbeschränktheit begeben wir uns auf die imaginäre Achse (also x 0 und somit sin(x) 0, cos(x) ). Es gilt für y > 0 (also 0 < e y < e 0 < e y wegen Monotonie) sin(iy) ey e y cos(iy) ey + e y > ey, Da nach Vorlesung sup{e y : y R} und 0 < e y für y 0, gilt auch sup{e y : y > 0}. Somit existiert u jedem C R ein y C > 0 mit e y C > C +, also ey C > ey C > C und somit sowohl sin(iy) > C als auch cos(iy) > C. > ey Aufgabe 8 (Tutorium) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die folgenden Formeln für alle,w C. a) sin() sin() cos() ( ) ( ) + w w c) sin() + sin(w) sin cos b) cos() sin () cos () ( ) ( ) + w w d) cos() + cos(w) cos cos a) Das Additionstheorem sin( + w) sin() cos(w) + cos() sin(w) liefert für jedes C sin() sin( + ) sin()cos() + cos()sin() sin()cos().

5 b) Ebenso folgt aus cos( + w) cos() cos(w) sin() sin(w) die Gleichung cos() cos( + ) cos()cos() sin()sin() cos () sin (). Wie wir in Aufgabe 7 a) gesehen haben, gilt die aus der Vorlesung bekannte Formel cos () + sin () auch für jedes C. Somit folgt cos () sin ( sin ()) sin () sin (), () cos () ( cos ()) cos (). c) Nach den bekannten Additionstheoremen und Aufgabe 7 b) gilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + w w w sin sin cos + cos sin, ± w cos cos ( ) ( cos ± w ) sin ( ) ( sin ± w ) cos cos sin Somit folgt ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))( ( ) + w w w w sin cos sin cos + cos sin cos cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w w sin cos cos + sin cos sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w w + sin cos cos + sin cos sin ( ) ( )( ( ) ( )) w w sin cos sin + cos ( ) ( )( ( ) ( )) w w + sin cos sin + cos d) Es gilt ( ) ( ) ( + w w cos cos cos a), A7a) sin() + sin(w) cos ) sin ) sin ) ( ))( w cos ) cos sin + sin + sin ( ( ( ( w w cos cos sin sin ( ( ))( ( )) ( ) ( ) A7 a) w w sin sin sin sin ( ( )) ( ( )) w sin + sin b) cos() + cos(w). sin sin ( )) w ( )) w Aufgabe 9 (Übung) a) Welche Funktionen von C nach C werden durch die folgenden Potenreihen dargestellt?

6 (i) n (n + )! n (ii) ( ) n (n + )! ( + )n+ b) Bestimmen Sie jeweils eine Potenreihenentwicklung der Funktion f um die angegebene Entwicklungsstelle 0. Wie groß ist dabei der Konvergenradius? (i) f : C C, sin, 0 (ii) f : C \ {, } C,, 0 0 Hinweis: In Teil (ii) hilft die Gleichung + + für alle C \ {, } weiter. a) (i) Die Potenreihe lässt sich als Differen weier Potenreihen darstellen: n (n + )! n n + (n + )! n n! n (n + )! n. Die erste Reihe ergibt e, die weite liefert für 0 den Wert und für 0 gilt (n + )! n Insgesamt folgt: Die von (n + )! n+ k k k! ( e ). n (n+)! n dargestellte Funktion f : C C ist gegeben durch f (0) e 0, f () e e ( )e + ( 0). (ii) Hier ergibt sich gemäß der Reihendarstellung der Sinus-Funktion für jedes C ( ) n (n + )! ( + )n+ ( + ) ( ) n (n + )! ( + )n+ ( + )sin( + ). b) (i) Wir kennen die Potenreihen für sin und cos um die Entwicklungsstelle 0. In Verbindung mit dem Additionstheorem für sin ergibt sich für jedes C mit f () sin( + ( )) sin()cos( ) + cos()sin( ) ( ) k sin() (k)! ( ( ) k )k + cos() (k + )! ( )k+ a n : sin() ( )n/ n!, falls n gerade, cos() ( )(n )/ n!, falls n ungerade Der Konvergenradius der Reihe ist offensichtlich. a n ( ) n (n N 0 ). (ii) Für jedes C \ {, } erhalten wir unter Verwendung des Hinweises f () / + + / ( ) + ().

7 Für < gilt und für < ist ( ) ( ) n () () n. Hiermit folgt für jedes C mit < min{, } f () ( ) n + () n a n n mit a n : ( )n + n (( )n + n ), n N 0. Wegen lim n n a n beträgt der Konvergenradius der Potenreihe. / + + / Bemerkung: Die Darstellung kann man auf die folgende Weise erhalten ( Partialbrucherlegung): Wegen ( + )( ) machen wir den Ansat a + + b und müssen die Konstanten a,b R berechnen. Die rechte Seite dieser Gleichung liefert a + + b a( ) + b( + ) a + b + ( a + b) ( + )( ). Die Darstellung gelingt also, wenn a + b und a + b sind. Dies bedeutet a und b. Aufgabe 0 (Tutorium) Für welche x R bw. C konvergieren die folgenden Potenreihen? a) c) n n + (n ) xn e n(+( )n) x n b) d) ( i)n nn ( ) n n e) n n f) ( + i) n n a) Für a n : (n + )/(n ) gilt a n a n+ n + (n ) n n + + /n ( /n) + /n n. 7

8 Die Reihe hat daher den Konvergenradius. Wir müssen nun noch die Ränder des Konvergenintervalls, also x und x, untersuchen. Dies liefert die wei Reihen n n + (n ) ( )n und n n + (n ). Die Konvergen der ersten Reihe wird durch das Leibnikriterium garantiert, denn a n n + (n ) + (n ) (n ) n + (n ) n + n n + n a n+. Die weite Reihe hingegen divergiert wegen a n n/n /n und des Minorantenkriteriums. Insgesamt: Die Reihe konvergiert nur für x [,). b) Wegen n /n n /n n 0 hat diese Reihe den Konvergenradius, d. h. sie konvergiert für alle C. c) Die Reihe hat die Form k a k x k mit a n e n(+( )n) und a n+ 0 für alle n N. Somit ist n a n n e n(+( )n) e n/n e, e 0/n, n gerade, n ungerade, und wegen n+ k a n+ 0 für alle n N folgt limsup k ak e, d. h. die Potenreihe hat den Konvergenradius e. Für x ±e ergibt sich die Reihe e n(+( )n) e n. Diese Reihe ist divergent, da für gerades n gilt: e n(+( )n) e n e n e n 0 (n ). Die Potenreihe konvergiert daher nur für x ( e,e ). Bemerkung: Man kann auch y : x seten und e n(+( )n) y n betrachten. Diese Reihe hat Konvergenradius e, d.h. sie ist konvergent für y < e und divergent für y > e. Hieraus folgt dann Konvergen für x < e und Divergen für x > e. d) Für a n : n gilt offenbar a n n. Wegen n n n folgt hieraus n n a n. Die Potenreihe a n n hat also den Konvergenradius R. Für konvergiert die Reihe nicht, denn dann gilt a n n n a n, d. h. die Reihenglieder konvergieren nicht gegen 0. Konvergen der Reihe liegt also nur für < vor. e) Auch diese Potenreihe hat den Konvergenradius, denn n n n n n n n n n 0, <,, >. Auf dem Rand des Konvergenkreises liegt keine Konvergen vor, denn für gilt n n n 0 (n ). Die Reihe n n konvergiert somit nur für <. f) Für den Konvergenradius R von (+i) n a n ( + i) n mit a n : ergibt sich wegen n lim sup n n n an limsup n ( n n) 8

9 R. Die Potenreihe (+i) n konvergiert also für C mit +i < und divergiert n für C mit + i >. Für C mit + i gilt ( + i)n + i n n n n für jedes n N. Wegen der Konvergen von ist die Reihe (+i) n n für + i nach dem Majorantenkriterium konvergent. Also konvergiert die Reihe genau für C mit + i n. 9