Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/ Höhere Mathemati für die Fachrichtung Physi Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt Aufgabe 49 Übung) Beweisen Sie die Leibnizregel: Seien I R ein Intervall, f,g : I R zwei in x 0 I unendlich oft differenzierbare Funtionen, d.h., f und g sowie alle deren Ableitungen sind beide differenzierbar in x 0. Dann gilt für n N f g) n) x 0 ) f ) x 0 )g n ) x 0 ). Wir beweisen die Aussage durch vollständige Indution. Indutionsanfang: Für n ist die Aussagen gerade die gewöhnliche Produtregel. Es ist nämlich f g) ) x 0 ) f x 0 )gx 0 ) + f x 0 )g x 0 ) ) f ) x 0 )g ) x 0 ) Indutionsschritt: Es gelte f g) n) x 0 ) n n ) f ) x 0 )g n ) x 0 ) Indutionsbehauptung). Dann gilt nach Aufgabe 9a) n n + ) f g) n+) x 0 ) [f g) n) ] x 0 ) IB n )f ) g n ) x 0 ) ) IA n [f +) x 0 )g n ) x 0 ) + f ) x 0 )g n+ ) x 0 )] f +) x 0 )g n ) x 0 ) + f ) x 0 )g n+ ) x 0 ) Indexshif t n+ f ) x 0 )g n+ ) x 0 ) + 9 a)iii) f n+) x 0 )gx 0 ) + f x 0 )g n+) x 0 ) + 9 a)i) n+ + f ) x 0 )g n+ ) x 0 ). Die letzten 3 Schritte sind genau analog zu Aufgabe 9b). f ) x 0 )g n+ ) x 0 ) [ ) )] n n + f ) x 0 )g n+ ) x 0 )

2 Aufgabe 50 Tutorium) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. sinsinx)) a) lim, b) lim x a) Die Funtionen f,f : R R definiert durch x x x x + logx), c) lim f x) sinsinx)) und f x) x x ) tanx). sind differenzierbar und es gilt lim f x) lim f x) 0. Ferner ist f x) cossinx))cosx) und f x) 0 für alle x R. Folglich gilt nach der Regel von l Hospital sinsinx)) f lim lim x) x f x) lim f x) lim x) f cossinx)) cosx) b) Wir wenden zwei Mal hintereinander die Regel von de l Hospital an Zähler und Nenner nehmen in beiden Fällen den Wert 0 an). Wegen x x ) x x + lnx) siehe Aufgabe 48 f)) ergibt sich c) Es gilt x x x lim x + logx) lim x x + logx)) + x Mit der Regel von de l Hospital folgt Aufgabe 5 Übung) ) lim x ) x sinx) tanx) lim cosx) lim x x + logx)) + x x lim x +. x f x) 0 lim gx). f x) : lim gx). lim x ) f x) tanx) lim g x) lim sinx) + ) x cosx). sinx) Es sei f : R R,x cosx)e x gegeben. Bestimmen Sie die Taylorreihe von f um 0 und bestimmen Sie deren Konvergenzradius. Hinweis: Sei x : max{z Z z x} für x R die untere Gaußlammer. Zeigen Sie folgende Identität: a l : a l a ) l + ) l. l0 l gerade l0 l0

3 Definiere gx) : cosx) und hx) : e x. Es gelten für N 0, falls 4l, g ) 0), falls 4l +, 0 sonst und Nach der Leibnizregel, Aufgabe 49, gilt also f n) 0) h ) 0). g ) 0)h n ) 0) gerade i. Nun sehen wir, wo der Hinweis einfließt. Es sei dem Leser als leichte Übung zur Indution überlassen, den Hinweis zu zeigen. Um mit der Gaußlammer zurechtzuommen, unterscheide man in gerade und ungerade. Es gilt dann weiter f n) 0) gerade i [ + i)n + i) n ], i + ) ) i n + i) n wobei wir im letzten Schritt den binomischen Lehrsatz verwendet haben. Mithilfe der Polardarstellung ± i e ±i/4 erhalten wir weiter f n) 0) [ + i)n + i) n ] n e in/4 + e in/4) n n cos 4 Wir zeigen nun, dass für x R das Restglied R n ξ) f n+) ξ)/n + )!x n+, ξ zwischen 0 und x, im Grenzfall n verschwindet. Es gilt mithilfe der Dreiecsungleichung und mit g ) ξ) sowie n n ) n ). R n ξ) g ) ξ) h n ) x n+ ξ) n + )! n e ξ x n+ n + )! 0, wenn n. Damit onvergiert die Taylorreihe von f um 0 puntweise!) gegen f und es gilt f n) 0) n f x) x n cos ) n 4 x n. n! n! Offensichtlich hat diese Potenzreihe den Konvergenzradius. n0 n0 3

4 Aufgabe 5 Tutorium) Die Funtion f :, ) R sei durch f x) e x + +x für alle x, ) definiert. Berechnen Sie das Taylorpolynom T f, /) und geben Sie eine Konstante C > 0 an, für die für alle x [0,] gilt. f x) T f, /)x) C x / 3 Die Funtion f ist beliebig oft differenzierbar. Wir berechnen die ersten drei Ableitungen. Für alle x, ) gilt: f x) e x + + x f ) x) e x + x) f ) x) e x + + x) 3 f 3) x) e x 6 + x) 4 Das Taylor-Polynom T f, /) ist nach der Definition vor Satz 0. durch f ) ) T f, /)x) x )! e + + e + ) + x ) + e + ) + 3 x ) e + ) 3 e + 4 ) x ) + 9 e + 6 ) x ) 7 für alle x, ) gegeben. Sei nun x [0,]. Nach dem Satz von Taylor gibt es ein ξ zwischen x und derart, dass gilt. Wegen 0 < ξ und damit f x) T f, /)x) f 3) ξ) x 3 ) 3! ) 6 e + + ξ) 4 x ) 3 f 3) ξ) e ξ 6 + ξ) 4 e ξ + 6 Monotonie + ξ) 4 e ) 4 7 folgt mit C : 7 6 wie gefordert f x) T f, /)x) C x 3 für alle x [0,]. 4

5 Aufgabe 53 Übung) Finden Sie ein offenes Intervall I R mit 0 I und eine differenzierbare Funtion f : I R mit f x) + xf x) 0, f 0), indem Sie annehmen, dass f sich auf einer δ-umgebung U δ 0) I durch seine Taylorreihe darstellen lässt. Gibt es weitere Funtionen mit obigen Eigenschaften? Sei δ,δ) eine Umgebung von 0, in der die Taylorreihe von f um 0 onvergiert. Es gelte also f x) n0 f n) 0) x n n! für x δ,δ). und δ,δ) I. Wir bestimmen zunächst die ersten beiden Ableitungen von f in 0. Nach Voraussetzung gilt f 0) f ) 0) 0 f 0) 0 f ) 0) f ) ) 0) Id f ) 0) f 0) Um allgemein die n-te Ableitung auszurechnen, verwenden wir wieder die Leibnizregel Aufgabe 49) sowie die Voraussetzung an f. Es gilt nämlich n f n) 0) f ) n ) Id f ) n ) 0) Id ) 0)f n ) 0). In dieser Summe bleiben lediglich die Terme stehen, in der die Identität Idx) x) genau einmal abgeleitet wird. Damit gilt f n) 0) n )f n ) 0). Aus dieser Reursionsformel folgt diret mithilfe von Indution), dass alle ungeraden Ableitungen verschwinden, da f 0) 0 wie oben gesehen. Für n lässt sich durch Indution leicht f ) 0) )! )! ) zeigen. Damit gilt und schließlich f x) f ) 0) )! )! )! x e x 5

6 für alle x < δ. Offensichtlich hat die Potenzreihe Konvergenzradius, also gilt I R. Angenommen, es gäbe eine weitere Funtion g mit denselben Eigenschaften wie f. Dann gälte für h : g/f h x) g x)f x) gx)f x) f x) g x) xgx))e x e x 0 für alle x δ,δ). Dann folgt aus Folgerung 0.7 ) mit der Voraussetzung hx) c h0) g0) f 0), d.h. g f auf δ, δ). Damit ist f die einzige differenzierbare) Funtion mit den geforderten Eigenschaften. Beachte: Streng genommen ist jede Einschränung von f, die auf dem Intervall δ,δ) definiert ist, eine weitere Funtion mit den geforderten Eigenschaften. Fordert man jedoch maximal möglichen Definitionsbereich der Funtion, so ist f doch eindeutig durch obige Eigenschaften charaterisiert. Aufgabe 54 Tutorium) Die Funtion f : R R sei durch f x) x + x 3 für alle x R definiert. Bestimmen Sie eine Potenzreihe, die in einer Umgebung von x 0 die Funtion f darstellt. Zunächst stellen wir fest, dass die f sich wie folgt in Linearfatoren zerlegen lässt: f x) x )x + 3). Als nächstes verwenden wir sogenannte Partialbruchzerlegung, um den Bruch /f aufzuspalten. Wir zerlegen!) x A + x 3 x + B Ax + 3) + Bx ) A + B)x + 3A B x + 3 x )x 3) x )x 3) mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A und B. Koeffizientenvergleich liefert A /4 B und damit x + x 3 4 x 4 x + 3. Wir wollen nun beide Terme durch eine geometrische Reihe darstellen. Um eine Potenzreihenentwiclung um zu erhalten, müssen wir die Nenner jeweils entsprechend umformen. Eine leichte Rechnung ergibt Für x < gilt folglich x + x 3 4 x 4 x x+ + ) x+ ). x + x ) x + ) x + ). 6