Analysis I MATH, PHYS, CHAB. 2 k (2 k ) s = 2 k(1 s) = k=0. (2n 1) n=1. n=1. n n 2. n=1. n=1. = ζ(2) 1 4 ζ(2) = 3 4 ζ(2)

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1 Prof. D. Salamon Analysis I MATH, PHYS, CHAB HS 204 Musterlösung Serie 7. Der Vollständigeit wegen, zeigen wir zunächst die Konvergenz der Reihendarstellung der ζ-funtion für s >. ζs : n n s 2 + n s 0 n s 0 2 s 0 2 s 2 s a Da die Reihen absolut onvergieren, önnen wir die Summationsreihenfolge beliebig verändern. Es folgt n 2n 2 2n 2 + n n 2n 2 + 2n 2 n n n 2 4 n n 2 ζ2 4 ζ2 3 4 ζ2 2n 2 n n 2n 2 2n 2 b Wir berechnen zunächst die Partialbruchzerlegung der Summanden und machen den Ansatz: nn + n + 2 a n + b n + + c n +. Indem wir mit allen Nennern durchmultiplizieren erhalten wir a + b + cn 2 + 3a + 2b + cn + 2a nn + n + 2 nn + n + 2. Somit sind die Koezienten a, b, c durch das lineare Gleichungssystem a + b + c 0, 3a + 2b + c 0, 2a bestimmt und wir erhalten a 2, b sowie c 2. Mit dieser PBZ berechnen wir N n N nn + n + 2 /2 n n + + /2 /2 n + 2 /2 2 /2 N + + /2 N + 2. n n Dies folgt leicht mit vollständiger Indution, da sich aufeinander folgende Terme suzessiv aufheben. Wir erhalten damit nn + n + 2 lim N 4 2N + + 2N + 2 4

2 c Wir bemeren zunächst: Damit folgt und somit f n f n+2 N n0 f n f n+2 f n+ f n f n+ f n+2 n0 N n0 f n f n+ f n+2 f n f n f n+ f n+2 lim f n f n+2 N f n f n+ f n+ f n+2 f n+ f n+2 f N+ f N+2. f N+ f N+2 2. a Der Konvergenzradius ist mit dem Quotientenriterium gegeben durch den Grenzwert f n f n+ ρ lim lim n f n+ n f n Wir haben in Serie 6, Aufgabe 3 c gesehen, dass f n+ /f n gegen den goldene Schnitt φ onvergiert, d.h. 5 ρ φ φ. 2 Da die Potenzreihe für z < ρ absolut onvergiert, önnen also die Reihenfolge der Summation beliebig vertauschen und erhalten: z z 2 fz f n z n f n z n+ f n z n+2 n0 n0 n0 n n0 f n z n f n z n f n 2 z n f 0 + f z f 0 z + + z z + 0 n2 f n f n f n 2 z n b Mit dem goldenen Schnitt φ 2 + 5, önnen wir die Fibonacci Zahlen explizit schreiben als f n φ n+ φ n+. 5 Für z < ρ φ onvergiert die Reihe absolut und wir berechnen mit der Formel für die geometrische Reihe f n z n φ n+ φ n+ z n 5 n0 n0 n2 φ φz n + φ 5 5 n0 n0 φ z n φ 5 φz + φ 5 + φ z 5 φ z + φ + z φ + φ 5 z2 + φ φz + z 2 z 2

3 3. a Durch Vertauschen der Summationsreihenfolge erhalten wir: a + b + b a + b + a + b a n+ b n+ a b + a n+ b n+ a b a b a + b a + a b b Der Konvergenzradius ρ ist nach dem Quotientenriterium gegeben durch n + ρ lim. n n Folglich onvergiert die Potenzreihe absolut in dem Einheitsreis { z < } und divergiert auf { z > }. Über das Konvergenzverhalten auf der Kreislinie { z } trit das Quotientenriterium eine Aussage. Sei nun z. Für z erhalten wir die harmonische Reihe, die beanntlich divergiert. Für z erhalten wir die alternierende harmonische Reihe, welche nach dem Leibniz-Kriterium onvergiert. Wir wollen zeigen, dass die Reihe für alle z mit z onvergiert. Dazu verwenden wir die partielle Summationsregel aus a mit b, a + z + z z z z Dann gilt a + a z und wir erhalten z n + z+ z + z z. Wir müssen zeigen, dass die rechte Seite für n onvergiert. Die Terme vor der Summe onvergieren oenbar gegen, da lim n n + z+ z 2 lim z n n + 0. Hierbei haben wir z z und z benutzt. Die Reihe auf der rechten Seite onvergiert sogar absolut, denn es gilt + z z 2 z 2 + z Insbesondere onvergiert die rechte Seite in mit z, z für n und das zeigt die Behauptung. 4. Wir beginnen mit ein paar Vorbemerungen zur Exponentialfuntion. Diese ist für x R deniert durch die absolut onvergente Reihe expx : n0 x n n! + x + x 2 + x2 6 + Aus dieser Darstellung folgt für x 0 diret die Abschätzung expx + x. 2 3

4 In der Vorlesung haben wir für alle x, y R die grundlegende Identität expx + y expx expy gesehen. Zunächst folgt aus dem Spezialfall expx exp x exp0, zusammen mit der Abschätzung 2 für positive x, dass die Werte der Exponentialfuntion in 0, liegen. Zusätzlich erhalten wir für y x expy expx expx expy x exp0 expx expy x 0 und somit ist die die Exponentialfuntion monoton wachsend. Deniere s n : a, p n : + a. Beachte, dass s n und p n monoton wachsende Folgen sind, da a 0 gilt. Die Grenzwerte S : lim s n sup s n, n n P : lim p n sup n n p n sind also wohldeniert in R + 0 {} und wir wollen zeigen, dass entweder beide endlich oder beide unendlich sind. Wir nehmen zunächst S < an. Dann folgt mit 2 n p n + a expa exp a exps n exps Folglich ist die Folge der p n beschränt und es gilt P exps <. Sein nun umgeehrt P <. Ausmultiplizieren des Produtes p n liefert p n + a n r r i <...<i r j a ij a s n. In Worten: Wenn wir beim ausmultiplizieren aus n Fatoren stets wählen und aus dem verbleibenden Fator a, dann erhalten wir genau die Summanden von s n. Die weiteren Fatoren, die wir beim ausmultiplizieren erhalten, sind alle positiv und das liefert p n s n. Insbesondere also S P <. 5. Jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutige Primfatorzerlegung n wobei α N 0 angibt wie oft n durch p teilbar ist. Insbesondere sind fast alle α 0 in obiger Darstellung und jede natürlich Zahl ist ein endliches Produt von Primzahlen. Wir betrachten { } N J N : n p α : α,..., α N N 0. Da die ζ-reihe für s > absolut onvergiert, önnen wir die Summanden beliebig permutieren und erhalten: N s N n s p α p s α n J N α,,α N N 0 α,,α N N 0 N N p s α p s α p α 4

5 Die Vertauschung von Summe und Produt im vorletzten Schritt ist intuitiv lar. Formal rechtfertigt man diese Rechnung mit Indution über N aus dem Doppelsummensatz für summierbare Familien. Dafür zerlegen wir die Indexmenge N N 0 N N 0 N 0 und erhalten den Indutionsschritt N N p s α α,,α N N N 0 Da {,, N} J N, erhalten wir α,,α N ;α N N N 0 N 0 N p s α α,,α N N N 0 N n s n n J N n s ζs. p s α p s N α N p s N α N α N 0 Für N onvergiert die line Seite per denitionem gegen ζs und wir folgern: ζs lim N n J N n s lim N N p s : p s. 6. a Sei x X und ɛ > 0 gegeben. Dann gilt d Y fx, fy L d X x, y < ɛ b falls d X x, y < Lɛ : δx, ɛ erfüllt ist. Also ist f stetig. i. Die Funtion fx x 2 ist für x [0, ] Lipschitz-stetig mit L 2, denn es gilt x 2 y 2 x yx + y x + y x y 2 x y. Insbesondere ist f nach Teil a stetig. ii. Die Funtion fx x ist stetig, aber nicht Lipschitz-stetig. Betrachte x und y 0, dann gilt fx fy x y f/ f0 /. Da die rechte Seite gegen + strebt für, ann die Funtion nicht Lipschitzstetig sein. Sei nun x 0, ] und ɛ > 0 gegeben. Dann folgt mit der dritten binomischen Formel fx fy x x y y. x + y Mit δx, ɛ : ɛ x gilt dann y x < δx, ɛ fx fy und folglich ist f stetig in x. Sei schliesslich x 0. Dann gilt fy 0 y < ɛ falls y < ɛ 2 : δ0, ɛ und somit ist f auch in 0 stetig. x y x y < ɛ x + y x 5

6 iii. Die Funtion fx : gilt { x x 0, ] 0 x 0 ist nicht stetig in dem Punt x 0, denn es f0 fx x für alle x 0. Folglich ann es ein δ0, ɛ > 0 geben, für das die Stetigeitsbedingung erfüllt ist. 6