Probeklausur: HM I. Prof. Dr. Rudolf Stens Aachen 3. Etage

Transkript

1 Prof. Dr. Rudolf Stens Kármánstraße 506 Aachen 3. Etage Probelausur: HM I Tel.: Ser.: Fax: stens@matha.rwth-aachen.de B. Sc./Vordiplom Januar 03 WS /3 Dauer: 90 Minuten Aufgabe Zeigen Sie mithilfe des Prinzips der vollständigen Indution, dass für alle n N gilt: A(n) : Hinweis: Sie önnen die folgende Identität verwenden: = n. ( ) ( ) n n + = ( n + ). IA): Überprüfe A(): = ( ) = = o.. IV): A(n) gelte für ein n N. IS): n n + n+ + ( ) ( ) n + n + = + = + + n + ( ) IV n n = n + + = n + =0 n ( ) n n ( ) n = n + + = n n = n + IV = n + n = n = n+ Beh. A(n) gilt n N nach dem Prinzip der vollständigen Indution.

2 HM I-Probelausur, WS /3 Seite von 6 Januar 03 Aufgabe Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N, gegeben durch a n :=, n N. n 3 3 a n := n 3 ( n 3 ) = n 3 n! 3!(n 3)! = 6n n(n )(n ) = 3 6 ( 3n + n ) n 3 3n + n n 3 = 6 6

3 HM I-Probelausur, WS /3 Seite 3 von 6 Januar 03 Aufgabe 3 Die Folge (x n ) n N0 sei definiert durch x 0 := a, x n+ := (x n + axn ), n N 0, und es sei < a R. Prüfen Sie, ob die Folge onvergiert, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert. Mögliche Grenzwerte: Angenommen, (x n ) n N0 onvergiere gegen einen Wert x R. x = lim x n = lim x n+ = lim n n n (x n + axn ) ( ) ( ) Falls x = 0, liefert ( ) eine Aussage, da der Grenzwert der rechten Seite nicht (ohne Weiteres) bestimmt werden ann. Falls x 0, folgt aus ( ): x = ( x + a ) x x = x + a x = a x = ± a Mögliche Grenzwerte sind also a, 0, a. Beschräntheit von (x n ) n N0 : Indution ist hier eigentlich nicht nötig, da die obere Schrane nicht verwendet wird und die untere ohne Benutzung der IV folgt es gilt: A(n) : a x n a. Beweis über vollständige Indution: IA: x 0 = a a a> < x 0 a IV: A(n) gelte für ein n N 0 IS : n n +. Es gilt: IS: (x n+ ) a = 4 ( x n + a ( ) IV x n + a x n ) x n a = 4 x n a + 4 ( ) a + a a> a a = x n 4 IS: x n+ = (a + a) = a Mit dem Prinzip der vollständigen Indution folgt die Behauptung. Monotonie von (x n ) n N0 : (x n ) n N0 ist monoton fallend, da gilt: ( x n a x n ) 0 und ( ) x n+ x n 0 x n + a x n x n 0 x n + a x n 0 x n a Die letzte Ungleichung ist aufgrund der Beschräntheit von (x n ) n N0 erfüllt, und somit folgt die Monotonie. Aus Beschräntheit und Monotonie folgt die Konvergenz der Folge (x n ) n N0. Die Beschräntheit schließt die möglichen Grenzwerte 0 und n a aus. Daher gilt: x n a

4 HM I-Probelausur, WS /3 Seite 4 von 6 Januar 03 Aufgabe 4 Sei f : [, ) R, definiert durch f(x) = x, gegeben. Zeigen Sie, dass f stetig ist, indem Sie zu x jedem x 0 [, ) und zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 angeben, so dass f(x 0 ) f(x) < ɛ für alle x [, ) mit x 0 x < δ. Sei x 0 [, ) und ɛ > 0. Wähle δ := ɛ. Für x [, ) mit x 0 x < δ gilt Damit ist f stetig. x 0 f(x 0 ) f(x) = x 0 x = (x 0x x 0 ) (xx 0 x) x x 0 = x (x 0 )(x ) (x 0 )(x ) x x 0 < δ = ɛ.

5 HM I-Probelausur, WS /3 Seite 5 von 6 Januar 03 Aufgabe 5 ( ) n log(n) (a) Überprüfen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihe:. log(n ) n= n 3 + n + cos(n) (b) Finden Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe: x n. 3 n (c) Geben Sie an, ob die folgende Reihe onvergiert oder divergiert: n= n= n [log(n)] [log(log(n))]. (a) Überprüfe die Reihe zunächst auf die Anwendbareit des Trivialriteriums. ( ) n log(n) = ( )n log(n) = ( )n 0, n. log(n ) log(n) Wegen des Trivialriteriums ist die Reihe divergent. (b) Wir setzen a n := n3 + n +cos(n) und berechnen den Konvergenzradius. 3 n a /r = lim n+ n a n /r = lim n+ (n+)3 / n+ ++cos(n+)/ n+ 3n n 3 n+ n n 3 / n ++cos(n)/ n GW S == /r = /3 r = 3/. Der Konvergenzradius der Reihe ist 3/. (c) Idee: Verwende den Cauchy schen Verdichtungssatz. Überprüfe dazu zunächst die Voraussetzungen für dessen Anwendbareit: Setze a n :=. Da log( ) monoton wächst, ist a n [log(n)] [log(log(n))] n eine antitone Nullfolge mit positiven Gliedern. Verwende den Cauchy schen Verdichtungssatz zweifach(!) und berechne b = a = sowie c j = j b j = / log() [log( log())] / log() j [log( log() /j )] [ ] / log() j [log( log())]. Da die Reihe über /j onvergiert, onvergiert auch die in der Aufgabe gegebene Reihe. [ ] : (log() / ) N wächst streng monoton mit Grenzwert für. Damit ist log( log() / ) log( log()) N. Mit anderen Worten: [log( log() / )] [log( log())] N. Das ist aber [ ].

6 HM I-Probelausur, WS /3 Seite 6 von 6 Januar 03 Aufgabe 6 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit 3 3 A = 3 4 R 3 3 und b = R 3. 0 Lösen Sie dieses Gleichungssystem und bestimmen Sie den Kern der durch A induzierten linearen Abbildung L : R 3 R 3 mit L(v) := Av Indem wir die ersten drei Spalten dieser Matrix betrachten, erhalten wir, dass für Vetoren v = v R 3 v 3 im Kern von A gelten muss 3v + 3v + v 3 = 0 und v + v 3 = 0, also v = v 3 und v = 5v 3. Daraus ergibt sich 5 Kern(L) = r 3 : r R. 3 Weiterhin lesen wir aus den Matrixumformungen über die ompletten vier Spalten ab, dass das GleichungssystemAx = b mehr als eine besitzt. Hierbei önnen wir eine Unbeannte frei wählen. Sei x nun also x = x R 3 eine solche und setze x 3 = t R. Dann ist x 3 x = 3 ( 3x x 3 ) = 3 ( 3(t + ) t ) = 5 3 t 7 3, x =x 3 + = t +. Der sraum ist folglich x x L = x = x R 3 : x = x 3 x t 5 3, t R. v