Die Binomialreihe. Sebastian Schulz. Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung Prof. Dr.

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1 Die Binomialreihe Sebastian Schulz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 008/09, Leitung Prof. Dr. Eberhard Freitag Zusammenfassung: Diese Ausarbeitung beschäftigt sich mit der Binomialreihe und soll sowohl wesentliche einfache Anwendungsmöglicheiten als auch die Verwendung in einem speziellen Beweis beinhalten. Zunächst werden deshalb einige Eigenschaften, Anwendungen und Querverbindungen der Binomialreihe angegeben. Vor allem aber soll diese Ausarbeitung dem Vortrag folgen und auf eine Konstrution eingehen, mithilfe derer die Betragsfuntion in [-1,1] gleichmäÿig durch eine Folge von Polynomen approximiert werden ann. Diese Konstrution stützt sich auf die Binomialreihe und ist von fundamentaler Bedeutung für den Beweis des Approximationssatzes von Stone-Weierstrass. Neben der besagten Konstrution möchte ich im dritten Gliederungspunt noch auf eine vollommen andere Möglicheit eingehen, eine Approximation der Betragsfuntion zu erreichen. Ihre Eleganz mag angezweifelt werden, doch besticht sie durch ihre Eetivität. Inhaltsverzeichnis 1 Die binomische Reihe Die Approximation von x 4 3 Eine andere Variante 8

2 1 Die binomische Reihe Der Ursprung der Binomialreihe reicht wahrscheinlich bis ins 11. Jahrhundert zurüc, als sie zum ersten Mal in Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz gebracht wurde, allerdings zunächst nur für natürliche Exponenten. Später identizierte Newton die binomische Reihe als die Taylorreihe der Funtion (1+x α für reelle Exponenten, bevor Abel den Konvergenzradius sogar im omplexen Fall bestimmen onnte. Dementsprechend wird als Binomialreihe auch die Potenzreihe bezeichnet, die bereits als besagte Taylorreihe beannt ist: ( α (1 + x α = x (1.1 Im weiteren Verlauf werden nur reelle Exponenten α von Interesse sein, weshalb hier auch der verallgemeinerte Binomialquotient verwendet werden muss: ( α α(α 1... (α + 1 := (1. 1 Der Konvergenzradius der Binomialreihe ist bereits aus der Analysis I Vorlesung als r = 1 beannt. Innerhalb des Konvergenzradiusses stellt sie dann gerade die Funtion =0 f(x = (1 + x α als Taylorreihe dar. An diesem Punt mag dem Leser bereits deutlich werden, dass die Schwierigeiten für die Konstrution im nächsten Gliederungspunt gerade an den Grenzen des Intervalls [-1,1] zu suchen sind (Wir werden feststellen, dass dies gerade für den "Knic" bei x = 0 der Fall sein wird. Um die Bedeutung der Binomialreihe zu veranschaulichen, sind im Folgenden einige Beispiele dafür angegeben, wie sich aus der Binomialreihe sehr schnell andere Potenzreihen oder Identitäten ergeben: 1 Die binomische Formel ist der Spezialfall denn dann gilt (1 ± x = =0 α =, ( (±x = x ± x + 1, weil für > der Binomialoezient per obiger Denition (1. verschwindet. Die geometrische Reihe erhält man durch α = 1 und x x,

3 denn dann ist (1 x 1 = ( 1 ( x = x, =0 wobei die Gleichung ( 1 = ( 1 benutzt wurde, die oenbar gilt, da nach (1. gelten muss ( 1 ( 1( ( 3... ( = = = ( 1. =0 3 Ersetzt man nun in der geometrischen Reihe beispielsweise x durch x, so erhält man leicht x = 1 x + x 4... Diese Anwendung ist zwar eine sehr einfache, dennoch ist es bemerenswert, dass der Konvergenzradius der rechten Seite unverändert 1 ist, auf der linen Seite allerdings eine auf ganz R glatte Funtion steht. 4 Etwas interessanter (wenn auch wenig schwieriger ist die Möglicheit, die Reihen von 1 und 1 zu integrieren, wodurch man leicht die Reihendarstellungen 1 x 1+x und log(1 x = arctan(x = erhalten ann. (Vgl. Analysis Sript III.6 =0 =1 x n n ( 1 n xn+1 n + 1 3

4 Die Approximation von x Wie bereits in der Einführung versprochen, soll nun ein Möglicheit angegeben werden, die Betragsfuntion gleichmäÿig auf dem abgeschlossenen Einheitsintervall zu approximieren. Genauer wird eine Folge von Polynomen p n onstruiert, die der folgenden Proposition genügt: Proposition Auf dem Intervall [-1,1] existiert eine Folge von Polynomen p n : [ 1, 1] R, die gleichmäÿig gegen die Betragsfuntion x onvergiert. Dazu schreibt man zunächst x = x = 1 (1 x und substituiert dann mit y := 1 x. Aus x [ 1, 1] folgt dann 0 y 1. Damit wurde das Problem darauf übertragen, eine Folge von Polynomen q n (y zu nden, die in [0, 1] gleichmäÿig gegen die Funtion 1 y onvergiert (man erhält dann durch p n (x = q n (1 x leicht die Polynome in x. Nach der Vorbetrachtung sollte nun lar sein, dass im Folgenden versucht wird, q n (y aus der Binomialreihe abzuleiten. Um die Taylorreihe von 1 y zu erhalten, setzt man also α = 1 und beommt lim n n =0 ( y. Der Konvergenzradius ist als 1 beannt, allerdings bleibt zu zeigen, dass die Reihe tatsächlich auch 1 y darstellt. Auÿerdem ist noch das Verhalten der Reihe am Konvergenzrand zu untersuchen, da die gleichmäÿige Approximation sogar im abgeschlossenen Intervall [0, 1] erzielt werden soll. Zunächst folgt aus der Konvergenz innerhalb des Konvergenzradius, dass die Reihe eine Funtion f : ( 1, 1 R darstellt. Innerhalb des Konvergenzintervalls ist die gliedweise Ableitung natürlich gestattet, deshalb ann man für diese Funtion folgende Dierentialgleichung nden: (1 yf (y = 1 f(y (.1 Für den Nachweis, dass f diese Dierentialgleichung löst, bedarf es einer urzen Nebenrechnung: ( = ( + 1 ( 1 ( 3... ( + 1! = ( 1 ( ! = 4

5 Damit lässt sich nun die Dierentialgleichung (.1 verizieren: (1 yf (y = ( + 1( 1 +1 y ( 1 y + 1 =0 =1 = ( 1 ( y ( y =0 =1 = 1 ( y =0 = 1 f(y Für α = 1 gilt also (1 yf (y + αf(y = 0 und damit ergibt sich mit der Quotientenregel f(y ( (1 y α = (1 yα f (y + α(1 y α 1 f(y (1 y α = (1 yf (y + αf(y (1 y α+1 = 0. Deshalb önnen sich Zähler und Nenner nur um einen onstanten Fator unterscheiden, d.h. f(y = c (1 y α. Durch Einsetzen (z.b. y = 0 erhält man c = 1, deshalb ist f(y = 1 y. Sei deshalb im Folgenden die Folge von Polynomen deniert durch q n (y := n =0 ( y. Zur Erinnerung: Bislang wurde die Funtion nur auf dem Intervall (-1,1 betrachtet. Daher ist nur beannt, dass die Folge der Polynome q n (y in (-1,1 gegen 1 y onvergiert (auÿerdem ist die Konvergenz natürlich gleichmäÿig in jedem Intervall [ 1+ ɛ, 1 ɛ] für beliebige ɛ (0, 1. Um die gleichmäÿige Konvergenz sogar in [0,1] zu erhalten (wie bereits angedeutet ist der Punt y = 1 gerade die Knicstelle x = 0 der Betragsfuntion, bleibt also noch zweierlei zu zeigen: Erstens dass sich die Konvergenz der Folge q n (y in y = 1 stetig fortsetzen lässt, die Folge der Polynome hier also gegen 1 1 = 0 onvergiert, und zweitens dass die Konvergenz in [0,1] auch gleichmäÿig ist. Für diese Betrachtung bedarf es eines leinen Trics: Zunächst betrachtet man die Vorzeichen der Terme der Folge q n. Für gerade ist ja oensichtlich ( 1 positiv, für ungerade ist es negativ. Anders verhält sich da der Binomialoezient ( 1, denn er ist für gerade > 0 negativ und für ungerade positiv. Deshalb lässt sich also schreiben ( 1 = 5 ( > 0.

6 Damit ergibt sich für die Folge von Polynomen n q n (y = ( 1 y =0 n = ( y 0 0 =1 n 1 = 1 ( y =1 y Oenbar handelt es sich hier für 0 y 1 um eine monoton fallende Folge q 1 (y q (y q 3 (y.... Auÿerdem ist für 0 y < 1 beannt, dass lim q n(y = 1 y 0. n Aufgrund der Monotonie der Polynomfolge muss dann aber q n (y 0 n N, y [0, 1 gelten. Weil nun die q n aber stetig in y = 1 sind, folgt die Aussage sogar für y [0, 1]. Da die Folge q n für alle 0 y 1 monoton und beschränt ist, onvergiert sie folglich für eben jene y. Betrachtet man nun lim q n (1, so erhält man aufgrund der Konvergenz der Folge in n diesem Punt auch die Konvergenz von =1 ( 1. Nun wiederum gilt aber sicher für alle ( 1 y 0 y 1. Damit ist eine Majorante für die Folge q n gefunden und nach dem Majorantenriterium bereits die gleichmäÿige Konvergenz derselben nachgewiesen. Der Rest ist jetzt schnell getan: Die Stetigeit von n q n (y in [0, 1] ist beannt, und auÿerdem, dass lim n q n (y = 1 y in [0,1 gilt. Weil aber 1 y ebenfalls stetig ist, muss bereits lim q n(1 = 1 1 = 0 n gelten. Damit ist gezeigt, dass die Folge q n (y in [0,1] gleichmäÿig gegen 1 y onvergiert. Deshalb onvergiert aber die Folge von Polynomen p n (x = q n (1 x gleichmäÿig gegen x in [-1,1]. 6

7 Zur Veranschaulichung sind auf der nächsten Seite einige der Folgenglieder zu sehen. Zur Erinnerung sei an dieser Stelle noch einmal gesagt, dass dabei die Beschriftung verwendet wurde. p n (x := n =0 ( y An den Graphen der Funtionen sieht man wunderbar, dass: 1 Die Folge der Polynome in [-1,1] monoton fallend ist. Die Funtionen gerade sind, d.h. symmetrisch bezüglich der y-achse. 3 Das Verhalten der Funtionen auÿerhalb des Intervalls [-1,1] vollommen chaotisch und unvorhersehbar ist. Insgesamt muss man sagen, dass die Konvergenz jedoch eine sehr langsame ist. Im nächsten Kapitel wird eine weitere Folge von Polynomen angegeben, die im gleichen Intervall gegen die Betragsfuntion onvergiert, allerdings wird diese Folge monoton wachsend sein. Im Unterschied zu der hier durchgeführten Konstrution werden die Polynome im Folgenden etwas willürlich deniert, was allerdings einen weitaus eetiveren Beweis zur Folge haben wird. 7

8 3 Eine andere Variante Ziel dieses Kapitels ist wiederum der Beweis der Proposition aus dem vorhergehenden Kapitel: Proposition Auf dem Intervall [-1,1] existiert eine Folge von Polynomen p n : [ 1, 1] R, die gleichmäÿig gegen die Betragsfuntion x onvergiert. Dazu betrachte man die folgende Folge von Funtionen f n : [ 1, 1] R: f n+1 (x := f n (x + 1 (x f n(x (3.1 f 0 (x := 0 (3. Das ist tatsächlich schon die gesuchte Folge von Polynomen f n (x, allerdings muss diese Tatsache erst noch auf einigen Umwegen gezeigt werden. Wie man leicht sieht, sind alle f n Polynome. Dann ann man folgende Äquivalenz zeigen: ( x f n (x (1 1 x 1 f n(x = x 1 x f n (x + 1 f n(x = x (f n (x + 1 (x f n (x = x f n+1 (x (3.3 Wie bereits angesprochen, nähert sich die Polynomfolge von unten an die Betragsfuntion an, für x [ 1, 1] erfüllt sie also die Bedingung wie die folgende Indution nach n zeigt: Indutionsvoraussetzung: 0 f n (x x Indutionsbehauptung: 0 f n+1 (x x Indutionsanfang: n = 0 f n (x 0 Beh. 0 f n (x x, (3.4 Indutionsschritt: Laut Annahme ist 0 f n (x und 0 x f n (x Damit ist f n+1 (x = f n (x + 1 (x f n (x f n (x 0. Auÿerdem gilt für x 1: x f n+1 (x = ( x f n (x (1 1 x 1 f n(x ( x f n (x (1 x 0 x f n+1 (x 8

9 Aus dieser Feststellung folgt nun auch leicht, dass die Folge f n auf [ 1, 1] monoton steigt, dass also f n f n+1 gilt (nach (1.1. Genauer folgt aus (3.3 und (3.4 folgende Ungleichung 0 x f n+1 (x ( x f n (x(1 1 x. (3.5 Durch eine weitere Indution nach n erhält man sogar die Ungleichung 0 x f n (x (1 1 x n (3.6 Die Abschätzung nach unten ist lar, die andere beweist man durch: Indutionsvoraussetzung: x f n (x (1 1 x n Indutionsbehauptung: x f n+1 (x (1 1 x n+1 Indutionsanfang: n = 0 x 1 ist richtig, da x [ 1, 1] Indutionsschritt: x f n+1 (x ( x f n (x(1 1 x (nach (3.5 (1 1 x n (1 1 x (nach Voraussetzung = (1 1 x n+1 Die bereits gefundenen Eigenschaften der Polynomfolge reichen nun, um die Aussage zu beweisen. Wähle man dazu ein beliebiges ɛ (0, 1 und bestimme ein N N, sodass (1 ɛ n < ɛ für alle n > N erfüllt ist. Dann folgt für eben jene n nach der folgenden Fallunterscheidung: 1 Für x > ɛ folgt die Aussage diret aus (3.6, weil x f n (x (1 1 x n (1 ɛ n < ɛ. Für x ɛ gilt einfach 0 x f n (x x ɛ. x f n (x < ɛ (3.7 9

10 Zum Abschluss sind in der folgenden Abbildung zwei Folgenglieder zu sehen. Obwohl diese Folge monoton wächst, ist wieder der Knic der Betragsfuntion bei x = 0 der ritische Punt, wie man in dem Graphen von f 8 (x leicht sehen ann. Literatur [1] Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funtionalanalysis. Vieweg+Teubner Verlag, 008. [] Eberhard Freitag: Vorlesungen über die Analysis. Teil I + II. [3] Wiipedia - die freie Enzylopädie. (Stand: