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1 POTENZFUNKTIONEN

2 Potenzfuntionen Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Definition Parabeln Hyperbeln Wurzelfuntionen 6 Graphien erstellt mit Mathcad 5 Januar 0

3 Potenzfuntionen Potenzfuntionen. Definition Eine Funtion f mit dem Funtionsterm f(x) a x mit IR, air\ {0}, x D heißt Potenzfuntion. Die Definitionsmenge D ist geeignet zu wählen. Graphen für a = 0 = = = = = 5 = - = - = - = - = / = / = / = / = 5/ Um die Eigenschaften der Potenzfuntionen systematisch zu erfassen, werden im Folgenden n ganzzahlige >0 bzw. <0 sowie mit teilerfremden n und m getrennt betrachtet. m Dabei reicht die Beschränung auf den Fall a aus, weil die Kurven gegenüber den von y x in Richtung der für a mit dem Fator a gestrect und für a mit dem Fator a gestaucht werden.

4 Potenzfuntionen. Parabeln f(x) ax,,,5,6,7 Definitionsmenge: ID = IR. Eigenschaften für a = Graphen Gerade Parabeln.5 Ungerade Parabeln Gemeinsame Punte a =, = a =, = a =, = 6 a =, = a =, = 5 a =, = 7 ( /) (0/0) (/) ( / ) (0/0) (/) Symmetrie achsensymmetrisch zur puntsymmetrisch zum Ursprung Monotonie Verhalten für x für x ] ; 0 ] für x [ 0 ; [ für x gilt: f(x) lim f(x) für x gilt: f(x) lim f(x) für x IR für x gilt: f(x) lim f(x) für x gilt: f(x) lim f(x)

5 Potenzfuntionen. Eigenschaften für a = Graphen Gerade Parabeln.5 Ungerade Parabeln a = -, = a = -, = a = -, = 6 a = -, = a = -, = 5 a = -, = 7 Gemeinsame Punte ( / ) (0/0) (/ ) ( /) (0/0) (/ ) Symmetrie achsensymmetrisch zur puntsymmetrisch zum Ursprung Monotonie Verhalten für x für x ] ; 0 ] für x [ 0 ; [ für x gilt: f(x) lim f(x) für x gilt: f(x) lim f(x) für x IR für x gilt: f(x) lim f(x) für x gilt: f(x) Limes-Schreibweise lim f(x)

6 Potenzfuntionen. Hyperbeln f (x) a n,,,, 5, 6 f (x) a x,,,, 5, 6 Definitionsmenge: ID = IR \ {0} n n x. Eigenschaften für a = Gerade Hyperbeln Ungerade Hyperbeln Graphen 0 0 Gemeinsame Punte a =, = - a =, = - ( /) (/) ( / ) (/) a =, = - a =, = - Symmetrie achsensymmetrisch zur puntsymmetrisch zum Ursprung Monotonie Verhalten für x für x ] ; 0[ für x ]0 ; [ für x gilt: f(x) lim f(x) 0 x für x gilt: f(x) lim f(x) 0 x für x ] ; 0[ für x ]0 ; [ für x gilt: f(x) lim f(x) 0 x für x gilt: f(x) lim f(x) 0 x Asymptoten Waagerechte (horizontale) Asymptote y = 0 () Senrechte (vertiale) Asymptote x = 0 ()

7 Potenzfuntionen Bezeichnung Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich eine Kurve anschmiegt, ohne sie zu berühren.. Eigenschaften für a = Gerade Hyperbeln Ungerade Hyperbeln Graphen 0 0 Gemeinsame Punte a = -, = - a = -, = - ( / ) (/ ) ( /) (/ ) a = -, = - a = -, = - Symmetrie achsensymmetrisch zur puntsymmetrisch zum Ursprung Monotonie Verhalten für x für x ] ; 0[ für x ]0 ; [ für x gilt: f(x) lim f(x) 0 für x gilt: f(x) lim f(x) für x ] ; 0[ für x ]0 ; [ für x gilt: f(x) lim f(x) 0 für x gilt: f(x) lim f(x) Asymptoten Waagrechte (horizontale) Asymptote y = 0 () Senrechte (vertiale) Asymptote x = 0 () 5

8 Potenzfuntionen. Wurzelfuntionen Definition Die Umehrfuntionen der auf dem Intervall x 0 beschränten Potenzfuntionen vom Typ y x mit IN \ {0} heißen Wurzelfuntionen und sind in der Form y darstellbar. x mit x 0 Potenzfuntion: f (x) x gerade Umehrfuntion: u (x) x gerade Potenzfuntion, = Wurzelfuntion, = 0 0 Die ubische Parabel y x verläuft in ihrem Definitionsbereich x streng monoton wachsend, ist dort also umehrbar. Die Wurzelfuntion y x ist definitionsgemäß die Umehrfuntion der auf den. Quadranten beschränte Parabel. Die Funtionsgleichung der Umehrfuntion für x < 0 lautet: y x. Potenzfuntion: f (x) x ungerade Umehrfuntion: u(x) x für x 0 x für x 0 Potenzfuntion, = Wurzelfuntion, = 0 0 6

9 Potenzfuntionen Definition m Eine Potenzfuntion mit rationalen Exponenten, wobei n, m ganzzahlig, positiv und n teilerfremd sind, ist folgendermaßen definiert: m n n m f(x) x x x 0 Man bezeichnet die Potenzfuntion m n x y auch als die n-te Wurzel aus der Potenz x m. > 0: Definitionsmenge ID IR0 x IR x 0 Wurzelfunt., 0<< Wurzelfunt., > 0 = / = / = / 0 = / = 5/ = 7/ < 0: Definitionsmenge ID IR x IR x 0 Wurzelfunt., -<<0 Wurzelfunt., <- 0 = - / = - / 0 = - / = - 5/ 7

10 Potenzfuntionen Vorzeichenuntersuchung für die erste und zweite Ableitung Funtionsterm: Erste Ableitung: Zweite Ableitung: Funtionswert: f(x) f '(x) x mit x 0 0 für 0 0 für 0 x 0 für 0 f ''(x) ( ) x 0 für f() Folgerungen Alle Graphen der Potenzfuntionen gehen durch den Punt (/). Die Graphen der Wurzelfuntionen mit >0 sind streng monoton steigend. Die Graphen der Wurzelfuntionen mit 0<< sind rechtsgerümmt. Die Graphen der Wurzelfuntionen mit > sind linsgerümmt. Die Graphen der Wurzelfuntionen mit <0 sind streng monoton fallend. Die Graphen der Wurzelfuntionen mit <0 sind linsgerümmt. Bemerungen Der Begriff der Potenzfuntionen lässt sich auch auf reelle Exponenten r ausdehnen. r r ln(x ) r ln(x) Es gilt: y x e e Deshalb gilt für die Definitionsmenge der allgemeinen Potenzfuntion: x IR Es gibt auch Potenzfuntionen mit irrationalen Exponenten (z. B.,,,, e,... ). Potenzfuntionen mit reellen Exponenten werden im Rahmen der Schulmathemati nicht behandelt. 8