Bernstein-Polynome. Autor: Johannes Erath. Schriftliche Ausarbeitung zum Vortrag vom

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1 Bernstein-Polynome Autor: Johannes Erath Schriftliche Ausarbeitung zum Vortrag vom

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Einführung Etwas Geschichte Denition der Bernstein-Polynome Beispiele Der Weierstraÿ'sche Approximationssatz Vorbemerungen Beweis Weitere Eigenschaften Endpunt-Interpolation Lineare Unabhängigeit Symmetrie Reursive Darstellung Maximum/ Ableitung Ordnungserhöhung Integration Quellen und weiterführende Literatur 15 2

3 1 Einleitung Liebe Leserin, lieber Leser, dieses Doument entstand im Rahmen des Proseminars Analysis des Sommersemester 2009 unter der Leitung von Prof. Freitag. Es bleibt im folgenden zu beachten, dass dies eine schriftliche Ausarbeitung zum mündlichen Vortrag ist, das heiÿt hier werden sicherlich nicht alle Aspete der Bernstein- Polynome betrachtet, sondern der Schwerpunt lag auf dem Beweis des Weierstraÿ'schen Approximationssatzes. Hinzu ommen noch einige weitere Eigenschaften der Bernsteinpolynome. 2 Einführung 2.1 Etwas Geschichte... Die Bernstein-Polynome sind benannt nach dem russischen Mathematier Sergei Natanowitsch Bernstein. Geboren wurde er am 5.März 1880 in Odessa, in der heutigen Uraine. Nach seinem Schulabschluss 1898, ging er nach Paris und studierte dort, abgesehen von einem Auslandssemester 1902/03 in Göttingen/ Deutschland, bis In seiner ersten Promotion in Paris löste er Hilberts 19. Problem über die Analyzität der Lösungen von Lagrangefuntionen. Da damals in Russland eine ausländischen Abschlüsse anerannt wurden, begann Bernstein nach seiner Rücehr 1905 erneut zu studieren (in Charow/ heutige Uraine). Infolgedessen erwarb er seinen russischen Hochschulabschluss 1908 und seinen zweiten Dotortitel Um diesen zu beommen löste er Hilberts 20. Problem, welches die Fragestellung behandelt, unter welchen Bedingungen Randwertprobleme Lösungen besitzen. Bereits 1907 begann Bernsteins Lehrtätigeit in Charow und diese dauerte 25 Jahre ging er nach Leningrad (heutiges Sant Petersburg/ Russland) um dort an der Universität und am Polytechnischen Institut zu lehren bis er schlieÿlich 1943 nach Mosau zog, um an der dortigen Universität weiterzuarbeiten. Am 26.Otober 1968 verstarb er dann auch dort. Während seiner Forschungsarbeit beschäftigte er sich insbesondere im Bereich der Wahrscheinlicheitstheorie und mit der Theorie zur Approximation von Funtionen. Bereits 1911 führte er dabei die nach ihm benannten Polynome ein, um damit den Weierstraÿ'schen Approximationssatz zu beweisen. Dasselbe wollen wir im Folgenden auch tun. 3

4 2.2 Denition der Bernstein-Polynome Für n N 0 und 0 n, sowie t [0, 1] sind die Bernstein-Polynome deniert als: b n (t) : (1 t) n t wobei : Für < 0 und > n denieren wir: n!!(n )! b n (t) : 0 Hinweis: Die Bernstein-Polynome önnen auch auf einem beliebigen Intervall [a, b] deniert werden. Und zwar wie folgt: b n ( t a b a ) ( n ) t a b a (t a) 1 (b a) (b a b a ( t a b a ))n Es wird also lediglich t t a b a. 2.3 Beispiele (1 t a b a )n 1 n (t a) (b t) n (b a) n (t a) 1 1 (b a) ((b t)n (b a) ) n In der Tabelle sehen sie die Bernsteinpolynome für n 0, 1, 2, 3, 4 b n (t) b 0 (t) 1 b 1 (t) 1 t t b 2 (t) (1 t)2 2(1 t)t t 2 b 3 (t) (1 t)3 3(1 t) 2 t 3(1 t)t 2 t 3 b 4 (t) (1 t)4 4(1 t) 3 t 6(1 t) 2 t 2 4(1 t)t 3 t 4 Anhand dieser Tabelle önnen Sie zum besseren Verständnis die ein oder andere Eigenschaft anhand von onreten Beispielen überprüfen. 4

5 dritten Grades.jpg Abbildung 1: Bernstein-Polynome dritten Grades im Intervall [0,1] 5

6 vierten Grades.jpg Abbildung 2: Bernstein-Polynome vierten Grades im Intervall [0,1] 6

7 3 Der Weierstraÿ'sche Approximationssatz Jede stetige Funtion auf einem ompaten Intervall [a,b] lässt sich beliebig gut durch Polynome approximieren, das heiÿt für jedes ɛ > 0 gibt es ein Polynom p, so daÿ gilt: 3.1 Vorbemerungen max a t b f(t) p(t) < ɛ Wir betrachten im folgenden nur den Bereich im Intervall von [0, 1], da jedes Intervall [a, b] linear auf [0, 1] transformiert werden ann. Für den Hauptteil werden einige Umformungen benötigt, die hier nun bewiesen werden. Die Eins: Für n N 0 und 0 n gilt: b n (t) 0 0 (1 t) n t ist nach der binomischen Formel gleich: ((1 t) + t) n 1 Für t gilt: 0 n bn (t) n! n!(n )! (1 t)n t 0 1 (n 1)! ( 1)!(n )! (1 t)n t t (n 1)! ( 1)!(n )! (1 n 1 t)n t 1 t b n 1 (t) t 1 0 Eine weitere Gleichung, die wir später noch gebrauchen ist: ( 1) b n ( 1) n! n (t) 2 n 2!(n )! (1 t)n t 0 0 n 1 1 (n 1)! n 1 n ( 2)!(n )! (1 t)n t n 1 n 2 b n 2 (t) n 2 0 7

8 n 1 n Dementsprechend folgt: f(t) (1 t) n t f(t) (1 t) n t f(t)((1 t)+t) n f(t) Beweis Wir denieren eine Summe von Polynomen, die sich f annähern sollen, wie folgt: p n f( n ) (1 t) n t n0 Daher ann man, um f(t) p n (t) näher zu bestimmen folgende Umformung vornehmen: f(t) p n (t) f(t) (1 t) n t f( n ) (1 t) n t (f(t) f( n )) (1 t) n t Nun versuchen wir den Abstand f(t) p n (t) für alle t [0, 1] abzuschätzen. Da f nach Voraussetzung auf einem ompaten Intervall und stetig ist, ist f sogar gleichmäÿig stetig. Damit gilt: Für jedes ɛ > 0 und s, t [0, 1] muss gelten: t s < δ f(t) f(s) < ɛ Wir wählen nun ein festes t [0, 1] und teilen den Index in zwei Teile: f(t) p n (t) (f(t) f( n )) (1 t) n t 0 n (f(t) f( n )) (1 t) n t + n (f(t) f( n )) (1 t) n t t n <δ t n δ Denn dadurch önnen wir nun folgende Abschätzungen vornehmen: 8

9 Vorderer Teil: n (f(t) f( n )) (1 t) n t t n <δ ɛ 2 Dreiecsungl. t n <δ ( n ( n f(t) f( n ) t n ) (1 t) n t ɛ 2 n0 ) (1 t) n t (1 t) n t ɛ 2 ((1 t) + t)n ɛ 2 Hinterer Teil: Da t δ t n 1 (t n )2 1 folgt: n δ δ 2 n f(t) f( n ) (1 t) n t t n δ Dreiecsungl. f(t) f( n ) ( n ) (1 t) n t (t n )2 δ 2 1 Wir denieren: M : max t [0,1] f(t) Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecsungl.: f(t) f( ) f(t) + f( ) 2M Und damit: n n f(t) f( n ) (1 t) n t 2M (t n )2 δ 2 1 (t n )2 δ 2 1 (1 t) n t 2M (t n )2 δ 2 1 (t n )2 δ 2 (1 t) n t 2M (t n )2 n (1 t) n t δ 2 0 2M (t δ 2 n )2 (1 t) n t 0 9

10 Betrachten wir nun den Term n 0 (t n )2 b n etwas genauer: (t n )2 b n (t) 0 (t 2 2t n + ( n )2 )b n (t) 0 0 (t 2 2t n + 2 n 2 + n 2 n 2 )bn (t) (t 2 2t n 0 + ( 1) n 2 + n 2 )bn (t) nachv orbem. t 2 2t n t + n 1 n t2 t 2 ( n ) + 1 n t 1 t(1 t) n Also ist: 2M (t δ 2 n )2 (1 t) n t 2M t(1 t) nδ2 0 M 2nδ 2 für alle t [0, 1], denn t 2 t 1. 4 Also ist: n f(t) f( n ) (1 t) n t M 2nδ 2 t n δ Zusammengefasst erhalten wir: f(t) p n (t) ɛ 2 + M 2nδ 2 M Wir müssen unser n also so wählen, dass < ɛ erfüllt wird, also besser 2nδ 2 2 ausgedrüct n > M. Ist dies erfüllt so gilt: f(t) p δ 2 n (t) < ɛ t [0, 1]. Es lässt sich also sagen, dass je leiner f(t) p n (t) 4 Weitere Eigenschaften Endpunt-Interpolation b n (0) n!!(n )! (1 0)n 0 b n(0) 10 { 1 für 1 0 sonst

11 b n (1) (1 1) n 1 { n 0 n 1 b 1 für n n(1) 0 sonst Die Eigenschaft, dass alle Werte, abgesehen von dem ersten oder letzten, gleich sind nennt man Endpunt-Interpolation Lineare Unabhängigeit Behauptung: Die Bernstein-Polynome sind linear unabhängig, es gilt also: n 0 λ b n (t) 0 Beweis: Da die Polynome vom Grad n sind ergibt sich nach n-maliger Ableitung: d y λ dt y bn (t) 0 0 mit t [0, 1]; 1 y n. Nun wissen wir aber auch, dass dieser Term für t 0 0 ergibt, also: d y λ dt y bn (0) 0 0 Und damit auch λ n 0. Durch Indution erhält man dann λ n... λ 0 0. Daraus folgt dann die Behauptung Symmetrie Behauptung: Die Bernstein-Polynome sind symmetrisch, das heiÿt b n (t) b n n (1 t) Beweis: b n n (1 t) (1 (1 t)) n (n ) (1 t) n n n! (n )!(n (n ))! t (1 t) n Reursive Darstellung Behauptung: b n (t) tb n 1 1 (t) + (1 t)bn 1 (t) t (1 t) n b n(t) 11

12 Beweis: n!!(n )! n(n 1)!!(n )! ( + (n ))(n 1)!!(n )! (n 1)! (n )(n 1)! +!(n )!!(n )! (n 1)! ( 1)!((n 1) ( 1))! + (n 1)!!(n 1)! (n 1)! ( 1)!(n )! + (n 1)!!(n 1)! Damit ann man nun unsere Behauptung ganz einfach nachweisen: tb n 1 1 (t) + (1 t)bn 1(t) n 1 n 1 t (1 t) n 1 ( 1) t 1 + (1 t) (1 t n 1 t ) 1 1 (1 t) n t Maximum/ Ableitung ( n 1 ) (1 t) n t b n(t) Behauptung: (b n ) (t) n( b n 1 (t) + b n 1 1 (t)) Beweis: Nach Produt- und Kettenregel gilt: (b n ) (t) ((n )(1 t) n 1 ( 1)t + t 1 (1 t) n ) ((n )(1 t) n 1 ( 1)tt 1 + t 1 (1 t)(1 t) n 1 ) n 1 n 1 n (1 t) n 1 t ( 1)+n t 1 (1 t)n n( b n 1 (t)+b n (t)) * 12

13 Behauptung: b n hat ein eindeutig bestimmtes Maximum für t n für t [0, 1] Beweis: Überprüfen wir zuerst die Randstellen: b n (0) b n (1) n!!(n )! (1 0)n 0 0 n!!(n )! (1 1)n 1 0 Nach obiger Ableitung bei (*) gilt: ((n )(1 t) n 1 ( 1)tt 1 + t 1 (1 t)(1 t) n 1 ) Denn: n (n!) und (n ) ( n (1 t) n 1 t 1 (( 1)(n )t + (1 t)) n (n 1)! n n 1 ( 1)!(n )! ( 1)!(n )! 1!(n )! n! ) (n )n! n!!(n )!!(n 1)! n(n 1)! n( n 1!(n 1 )! Damit dieser Term Null wird (um alle Extremwerte zu nden), muss ( 1)(n )t + (1 t) Null werden, also: ) ( 1)(n )t + (1 t) 0 t nt t nt t n Dies ist das eindeutig bestimmte Maximum, denn wie oben gesehen sind beide Randstellen gleich Null und wie man sehr einfach sieht (jeder Fator ist positiv), sind die Bernstein-Polynome für alle t [0, 1] positiv Ordnungserhöhung Behauptung: Beweis: b n (t) 1 n 1 bn+1 +1 (t) + n + 1 n + 1 b n+1 (t) b n (t) ((1 t) + t) (1 t) n t n!!(n )! (1 t)n tt n! +!(n )! (1 t)(1 t)n t 13

14 + 1 (n + 1)! n + 1 ( + 1)!(n )! (1 t)n t +1 + n + 1 (n + 1)! n + 1!(n + 1 )! (1 t)n+1 t Integration + 1 n + 1 bn+1 +1 (t) + n + 1 n + 1 b n+1 (t) Behauptung: 1 0 bn dt 1 n+1 Beweis: Für den Beweis hierzu verwenden wir das Ergebnis der Dierentialgleichung, wonach: (b n ) (t) n( b n 1 (t) + b n 1 1 (t)) (bn+1 +1 ) (t) (n + 1)b n (t) (n + 1)b n +1(t) b n (t) 1 n + 1 (bn+1 +1 (t)) + b n +1(t) b n +1 (t) ist nach Denition gleich Null, daher ist dieses Bernsteinpolynom vernachlässigbar. Desweiteren gilt: 1 0 (b n+1 +1 (t)) dt [b n+1 +1 (t)]1 0 ( n n ) + 1 (1 1) n 1 +1 (1 0) n n Da das Integral unabhängig von und n aufgrund der Endpunt-Interpolation dasselbe Ergebnis ergibt, folgt: Da die n bn+1 +1 b n 0(t)dt 1 0 (t) 1 ist folgt: 1 0 b n 1(t)dt... b n (t) 1 n b n+1 +1 (t)dt 14

15 5 Quellen und weiterführende Literatur Günther Hämmerlin/ Karl-Heinz Homann: Numerische Mathemati, 3.Auage, Springer-Verlag, Berlin 1994 Ole Christensen/ Khadija L. Christensen: Approximation Theory, Birhäuser Verlag, Boston